微分積分学準備例

$x^{3} - 3 x^{2} - 54 x < 0$

ステップ 1

不等式を方程式に変換します。

$x^{3} - 3 x^{2} - 54 x = 0$

ステップ 2

方程式の左辺を因数分解します。

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ステップ 2.1

$x$ を $x^{3} - 3 x^{2} - 54 x$ で因数分解します。

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ステップ 2.1.1

$x$ を $x^{3}$ で因数分解します。

$x \cdot x^{2} - 3 x^{2} - 54 x = 0$

ステップ 2.1.2

$x$ を $- 3 x^{2}$ で因数分解します。

$x \cdot x^{2} + x (- 3 x) - 54 x = 0$

ステップ 2.1.3

$x$ を $- 54 x$ で因数分解します。

$x \cdot x^{2} + x (- 3 x) + x \cdot - 54 = 0$

ステップ 2.1.4

$x$ を $x \cdot x^{2} + x (- 3 x)$ で因数分解します。

$x (x^{2} - 3 x) + x \cdot - 54 = 0$

ステップ 2.1.5

$x$ を $x (x^{2} - 3 x) + x \cdot - 54$ で因数分解します。

$x (x^{2} - 3 x - 54) = 0$

ステップ 2.2

因数分解。

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ステップ 2.2.1

たすき掛けを利用して $x^{2} - 3 x - 54$ を因数分解します。

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ステップ 2.2.1.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $- 54$ で、その和が $- 3$ です。

$- 9, 6$

ステップ 2.2.1.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$x ((x - 9) (x + 6)) = 0$

ステップ 2.2.2

不要な括弧を削除します。

$x (x - 9) (x + 6) = 0$

ステップ 3

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x = 0$

$x - 9 = 0$

$x + 6 = 0$

ステップ 4

$x$ が $0$ に等しいとします。

$x = 0$

ステップ 5

$x - 9$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 5.1

$x - 9$ が $0$ に等しいとします。

$x - 9 = 0$

ステップ 5.2

方程式の両辺に $9$ を足します。

$x = 9$

ステップ 6

$x + 6$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 6.1

$x + 6$ が $0$ に等しいとします。

$x + 6 = 0$

ステップ 6.2

方程式の両辺から $6$ を引きます。

$x = - 6$

ステップ 7

最終解は $x (x - 9) (x + 6) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 0, 9, - 6$

ステップ 8

各根を利用して検定区間を作成します。

$x < - 6$

$- 6 < x < 0$

$0 < x < 9$

$x > 9$

ステップ 9

各区間から試験値を選び、この値を元の不等式に代入して、どの区間が不等式を満たすか判定します。

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ステップ 9.1

区間 $x < - 6$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 9.1.1

区間 $x < - 6$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = - 8$

ステップ 9.1.2

$x$ を元の不等式の $- 8$ で置き換えます。

${(- 8)}^{3} - 3 {(- 8)}^{2} - 54 \cdot - 8 < 0$

ステップ 9.1.3

左辺 $- 272$ は右辺 $0$ より小さいです。つまり、与えられた文は常に真です。

真

ステップ 9.2

区間 $- 6 < x < 0$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 9.2.1

区間 $- 6 < x < 0$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = - 3$

ステップ 9.2.2

$x$ を元の不等式の $- 3$ で置き換えます。

${(- 3)}^{3} - 3 {(- 3)}^{2} - 54 \cdot - 3 < 0$

ステップ 9.2.3

左辺 $108$ は右辺 $0$ より小さくありません。つまり、与えられた文は偽です。

偽

ステップ 9.3

区間 $0 < x < 9$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 9.3.1

区間 $0 < x < 9$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 4$

ステップ 9.3.2

$x$ を元の不等式の $4$ で置き換えます。

${(4)}^{3} - 3 {(4)}^{2} - 54 \cdot 4 < 0$

ステップ 9.3.3

左辺 $- 200$ は右辺 $0$ より小さいです。つまり、与えられた文は常に真です。

真

ステップ 9.4

区間 $x > 9$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 9.4.1

区間 $x > 9$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 12$

ステップ 9.4.2

$x$ を元の不等式の $12$ で置き換えます。

${(12)}^{3} - 3 {(12)}^{2} - 54 \cdot 12 < 0$

ステップ 9.4.3

左辺 $648$ は右辺 $0$ より小さくありません。つまり、与えられた文は偽です。

偽

ステップ 9.5

区間を比較して、どちらが元の不等式を満たすか判定します。

$x < - 6$ 真

$- 6 < x < 0$ 偽

$0 < x < 9$ 真

$x > 9$ 偽

$x < - 6$ 真

$- 6 < x < 0$ 偽

$0 < x < 9$ 真

$x > 9$ 偽

ステップ 10

解はすべての真の区間からなります。

$x < - 6$ または $0 < x < 9$

ステップ 11

不等式を区間記号に変換します。

$(- \infty, - 6) \cup (0, 9)$

ステップ 12

微分積分学準備 例

微分積分学準備例