微分積分学準備例

$y^{2} (5 y + 3) (y - 6) > 0$

ステップ 1

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$y^{2} = 0$

$5 y + 3 = 0$

$y - 6 = 0$

ステップ 2

$y^{2}$ を $0$ に等しくし、 $y$ を解きます。

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ステップ 2.1

$y^{2}$ が $0$ に等しいとします。

$y^{2} = 0$

ステップ 2.2

$y$ について $y^{2} = 0$ を解きます。

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ステップ 2.2.1

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$y = \pm \sqrt{0}$

ステップ 2.2.2

$\pm \sqrt{0}$ を簡約します。

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ステップ 2.2.2.1

$0$ を $0^{2}$ に書き換えます。

$y = \pm \sqrt{0^{2}}$

ステップ 2.2.2.2

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$y = \pm 0$

ステップ 2.2.2.3

プラスマイナス $0$ は $0$ です。

$y = 0$

ステップ 3

$5 y + 3$ を $0$ に等しくし、 $y$ を解きます。

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ステップ 3.1

$5 y + 3$ が $0$ に等しいとします。

$5 y + 3 = 0$

ステップ 3.2

$y$ について $5 y + 3 = 0$ を解きます。

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ステップ 3.2.1

方程式の両辺から $3$ を引きます。

$5 y = - 3$

ステップ 3.2.2

$5 y = - 3$ の各項を $5$ で割り、簡約します。

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ステップ 3.2.2.1

$5 y = - 3$ の各項を $5$ で割ります。

$\frac{5 y}{5} = \frac{- 3}{5}$

ステップ 3.2.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 3.2.2.2.1

$5$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.2.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{5 y}{5} = \frac{- 3}{5}$

ステップ 3.2.2.2.1.2

$y$ を $1$ で割ります。

$y = \frac{- 3}{5}$

ステップ 3.2.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 3.2.2.3.1

分数の前に負数を移動させます。

$y = - \frac{3}{5}$

ステップ 4

$y - 6$ を $0$ に等しくし、 $y$ を解きます。

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ステップ 4.1

$y - 6$ が $0$ に等しいとします。

$y - 6 = 0$

ステップ 4.2

方程式の両辺に $6$ を足します。

$y = 6$

ステップ 5

最終解は $y^{2} (5 y + 3) (y - 6) > 0$ を真にするすべての値です。

$y = 0, - \frac{3}{5}, 6$

ステップ 6

各根を利用して検定区間を作成します。

$y < - \frac{3}{5}$

$- \frac{3}{5} < y < 0$

$0 < y < 6$

$y > 6$

ステップ 7

各区間から試験値を選び、この値を元の不等式に代入して、どの区間が不等式を満たすか判定します。

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ステップ 7.1

区間 $y < - \frac{3}{5}$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 7.1.1

区間 $y < - \frac{3}{5}$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$y = - 3$

ステップ 7.1.2

$y$ を元の不等式の $- 3$ で置き換えます。

${(- 3)}^{2} (5 (- 3) + 3) ((- 3) - 6) > 0$

ステップ 7.1.3

左辺 $972$ は右辺 $0$ より大きいです。つまり、与えられた文は常に真です。

真

ステップ 7.2

区間 $- \frac{3}{5} < y < 0$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 7.2.1

区間 $- \frac{3}{5} < y < 0$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$y = - 0.3$

ステップ 7.2.2

$y$ を元の不等式の $- 0.3$ で置き換えます。

${(- 0.3)}^{2} (5 (- 0.3) + 3) ((- 0.3) - 6) > 0$

ステップ 7.2.3

左辺 $- 0.8505$ は右辺 $0$ より大きくありません。つまり、与えられた文は偽です。

偽

ステップ 7.3

区間 $0 < y < 6$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 7.3.1

区間 $0 < y < 6$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$y = 3$

ステップ 7.3.2

$y$ を元の不等式の $3$ で置き換えます。

${(3)}^{2} (5 (3) + 3) ((3) - 6) > 0$

ステップ 7.3.3

左辺 $- 486$ は右辺 $0$ より大きくありません。つまり、与えられた文は偽です。

偽

ステップ 7.4

区間 $y > 6$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 7.4.1

区間 $y > 6$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$y = 8$

ステップ 7.4.2

$y$ を元の不等式の $8$ で置き換えます。

${(8)}^{2} (5 (8) + 3) ((8) - 6) > 0$

ステップ 7.4.3

左辺 $5504$ は右辺 $0$ より大きいです。つまり、与えられた文は常に真です。

真

ステップ 7.5

区間を比較して、どちらが元の不等式を満たすか判定します。

$y < - \frac{3}{5}$ 真

$- \frac{3}{5} < y < 0$ 偽

$0 < y < 6$ 偽

$y > 6$ 真

$y < - \frac{3}{5}$ 真

$- \frac{3}{5} < y < 0$ 偽

$0 < y < 6$ 偽

$y > 6$ 真

ステップ 8

解はすべての真の区間からなります。

$y < - \frac{3}{5}$ または $y > 6$

ステップ 9

不等式を区間記号に変換します。

$(- \infty, - \frac{3}{5}) \cup (6, \infty)$

ステップ 10

微分積分学準備 例

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