微分積分学準備例

$y = x^{2} - 1$

ステップ 1

変数を入れ替えます。

$x = y^{2} - 1$

ステップ 2

$y$ について解きます。

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ステップ 2.1

方程式を $y^{2} - 1 = x$ として書き換えます。

$y^{2} - 1 = x$

ステップ 2.2

方程式の両辺に $1$ を足します。

$y^{2} = x + 1$

ステップ 2.3

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$y = \pm \sqrt{x + 1}$

ステップ 2.4

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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ステップ 2.4.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$y = \sqrt{x + 1}$

ステップ 2.4.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$y = - \sqrt{x + 1}$

ステップ 2.4.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$y = \sqrt{x + 1}$

$y = - \sqrt{x + 1}$

$y = \sqrt{x + 1}$

$y = - \sqrt{x + 1}$

$y = \sqrt{x + 1}$

$y = - \sqrt{x + 1}$

ステップ 3

$y$ を $f^{- 1} (x)$ で置き換え、最終回答を表示します。

$f^{- 1} (x) = \sqrt{x + 1}, - \sqrt{x + 1}$

ステップ 4

$f^{- 1} (x) = \sqrt{x + 1}, - \sqrt{x + 1}$ が $f (x) = x^{2} - 1$ の逆か確認します。

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ステップ 4.1

逆の定義域は元の関数の値域です、逆も同じです。定義域と $f (x) = x^{2} - 1$ の値域、 $f^{- 1} (x) = \sqrt{x + 1}, - \sqrt{x + 1}$ を求め、それらを比較します。

ステップ 4.2

$f (x) = x^{2} - 1$ の値域を求めます。

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ステップ 4.2.1

値域はすべての有効な $y$ 値の集合です。グラフを利用して値域を求めます。

区間記号：

$[- 1, \infty)$

ステップ 4.3

$\sqrt{x + 1}$ の定義域を求めます。

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ステップ 4.3.1

$\sqrt{x + 1}$ の被開数を $0$ 以上として、式が定義である場所を求めます。

$x + 1 \geq 0$

ステップ 4.3.2

不等式の両辺から $1$ を引きます。

$x \geq - 1$

ステップ 4.3.3

定義域は式が定義になる $x$ のすべての値です。

$[- 1, \infty)$

ステップ 4.4

$f (x) = x^{2} - 1$ の定義域を求めます。

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ステップ 4.4.1

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

$(- \infty, \infty)$

ステップ 4.5

$f^{- 1} (x) = \sqrt{x + 1}, - \sqrt{x + 1}$ の定義域が $f (x) = x^{2} - 1$ の範囲で、 $f^{- 1} (x) = \sqrt{x + 1}, - \sqrt{x + 1}$ の範囲が $f (x) = x^{2} - 1$ の定義域なので、 $f^{- 1} (x) = \sqrt{x + 1}, - \sqrt{x + 1}$ は $f (x) = x^{2} - 1$ の逆です。

$f^{- 1} (x) = \sqrt{x + 1}, - \sqrt{x + 1}$

ステップ 5

微分積分学準備 例

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