微分積分学準備例

$y = \sqrt{x + 5}$

ステップ 1

変数を入れ替えます。

$x = \sqrt{y + 5}$

ステップ 2

$y$ について解きます。

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ステップ 2.1

方程式を $\sqrt{y + 5} = x$ として書き換えます。

$\sqrt{y + 5} = x$

ステップ 2.2

方程式の左辺から根を削除するため、方程式の両辺を2乗します。

${\sqrt{y + 5}}^{2} = x^{2}$

ステップ 2.3

方程式の各辺を簡約します。

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ステップ 2.3.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{y + 5}$ を ${(y + 5)}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

${({(y + 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = x^{2}$

ステップ 2.3.2

左辺を簡約します。

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ステップ 2.3.2.1

${({(y + 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ を簡約します。

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ステップ 2.3.2.1.1

${({(y + 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ の指数を掛けます。

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ステップ 2.3.2.1.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

${(y + 5)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = x^{2}$

ステップ 2.3.2.1.1.2

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.3.2.1.1.2.1

共通因数を約分します。

${(y + 5)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = x^{2}$

ステップ 2.3.2.1.1.2.2

式を書き換えます。

${(y + 5)}^{1} = x^{2}$

ステップ 2.3.2.1.2

簡約します。

$y + 5 = x^{2}$

ステップ 2.4

方程式の両辺から $5$ を引きます。

$y = x^{2} - 5$

ステップ 3

$y$ を $f^{- 1} (x)$ で置き換え、最終回答を表示します。

$f^{- 1} (x) = x^{2} - 5$

ステップ 4

$f^{- 1} (x) = x^{2} - 5$ が $f (x) = \sqrt{x + 5}$ の逆か確認します。

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ステップ 4.1

逆を確認するために、 $f^{- 1} (f (x)) = x$ と $f (f^{- 1} (x)) = x$ か確認します。

ステップ 4.2

$f^{- 1} (f (x))$ の値を求めます。

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ステップ 4.2.1

合成結果関数を立てます。

$f^{- 1} (f (x))$

ステップ 4.2.2

$f^{- 1}$ に $f$ の値を代入し、 $f^{- 1} (\sqrt{x + 5})$ の値を求めます。

$f^{- 1} (\sqrt{x + 5}) = {(\sqrt{x + 5})}^{2} - 5$

ステップ 4.2.3

${\sqrt{x + 5}}^{2}$ を $x + 5$ に書き換えます。

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ステップ 4.2.3.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x + 5}$ を ${(x + 5)}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$f^{- 1} (\sqrt{x + 5}) = {({(x + 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2} - 5$

ステップ 4.2.3.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f^{- 1} (\sqrt{x + 5}) = {(x + 5)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 5$

ステップ 4.2.3.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$f^{- 1} (\sqrt{x + 5}) = {(x + 5)}^{\frac{2}{2}} - 5$

ステップ 4.2.3.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.2.3.4.1

共通因数を約分します。

$f^{- 1} (\sqrt{x + 5}) = {(x + 5)}^{\frac{2}{2}} - 5$

ステップ 4.2.3.4.2

式を書き換えます。

$f^{- 1} (\sqrt{x + 5}) = (x + 5) - 5$

ステップ 4.2.3.5

簡約します。

$f^{- 1} (\sqrt{x + 5}) = x + 5 - 5$

ステップ 4.2.4

$x + 5 - 5$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 4.2.4.1

$5$ から $5$ を引きます。

$f^{- 1} (\sqrt{x + 5}) = x + 0$

ステップ 4.2.4.2

$x$ と $0$ をたし算します。

$f^{- 1} (\sqrt{x + 5}) = x$

ステップ 4.3

$f (f^{- 1} (x))$ の値を求めます。

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ステップ 4.3.1

合成結果関数を立てます。

$f (f^{- 1} (x))$

ステップ 4.3.2

$f$ に $f^{- 1}$ の値を代入し、 $f (x^{2} - 5)$ の値を求めます。

$f (x^{2} - 5) = \sqrt{(x^{2} - 5) + 5}$

ステップ 4.3.3

$- 5$ と $5$ をたし算します。

$f (x^{2} - 5) = \sqrt{x^{2} + 0}$

ステップ 4.3.4

$x^{2}$ と $0$ をたし算します。

$f (x^{2} - 5) = \sqrt{x^{2}}$

ステップ 4.3.5

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$f (x^{2} - 5) = x$

ステップ 4.4

$f^{- 1} (f (x)) = x$ と $f (f^{- 1} (x)) = x$ なので、 $f^{- 1} (x) = x^{2} - 5$ は $f (x) = \sqrt{x + 5}$ の逆です。

$f^{- 1} (x) = x^{2} - 5$

微分積分学準備 例

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