微分積分学準備例

$f (x) = x^{4} - 4 x^{3} + 4 x^{2}$

ステップ 1

関数が奇関数、偶関数、またはそのどちらでもないか判定し、対称を求めます。

1. 奇数のとき、この関数は原点に対して対称です。

2. 偶数のとき、関数はy軸に対して対称です。

ステップ 2

$f (- x)$ を求めます。

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ステップ 2.1

$f (x)$ 内の $x$ の出現回数をすべて $- x$ に代入して $f (- x)$ を求めます。

$f (- x) = {(- x)}^{4} - 4 {(- x)}^{3} + 4 {(- x)}^{2}$

ステップ 2.2

各項を簡約します。

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ステップ 2.2.1

積の法則を $- x$ に当てはめます。

$f (- x) = {(- 1)}^{4} x^{4} - 4 {(- x)}^{3} + 4 {(- x)}^{2}$

ステップ 2.2.2

$- 1$ を $4$ 乗します。

$f (- x) = 1 x^{4} - 4 {(- x)}^{3} + 4 {(- x)}^{2}$

ステップ 2.2.3

$x^{4}$ に $1$ をかけます。

$f (- x) = x^{4} - 4 {(- x)}^{3} + 4 {(- x)}^{2}$

ステップ 2.2.4

積の法則を $- x$ に当てはめます。

$f (- x) = x^{4} - 4 ({(- 1)}^{3} x^{3}) + 4 {(- x)}^{2}$

ステップ 2.2.5

$- 1$ を $3$ 乗します。

$f (- x) = x^{4} - 4 (- x^{3}) + 4 {(- x)}^{2}$

ステップ 2.2.6

$- 1$ に $- 4$ をかけます。

$f (- x) = x^{4} + 4 x^{3} + 4 {(- x)}^{2}$

ステップ 2.2.7

積の法則を $- x$ に当てはめます。

$f (- x) = x^{4} + 4 x^{3} + 4 ({(- 1)}^{2} x^{2})$

ステップ 2.2.8

$- 1$ を $2$ 乗します。

$f (- x) = x^{4} + 4 x^{3} + 4 (1 x^{2})$

ステップ 2.2.9

$x^{2}$ に $1$ をかけます。

$f (- x) = x^{4} + 4 x^{3} + 4 x^{2}$

ステップ 3

$f (- x) = f (x)$ ならば関数は偶関数です。

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ステップ 3.1

$f (- x) = f (x)$ ならば確認します。

ステップ 3.2

$x^{4} + 4 x^{3} + 4 x^{2}$ $\neq$ $x^{4} - 4 x^{3} + 4 x^{2}$ なので、関数は偶関数ではありません。

関数は偶関数ではありません

ステップ 4

$f (- x) = - f (x)$ ならば関数は奇関数です。

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ステップ 4.1

$- f (x)$ を求めます。

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ステップ 4.1.1

$x^{4} - 4 x^{3} + 4 x^{2}$ に $- 1$ をかけます。

$- f (x) = - (x^{4} - 4 x^{3} + 4 x^{2})$

ステップ 4.1.2

分配則を当てはめます。

$- f (x) = - x^{4} - (- 4 x^{3}) - (4 x^{2})$

ステップ 4.1.3

簡約します。

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ステップ 4.1.3.1

$- 4$ に $- 1$ をかけます。

$- f (x) = - x^{4} + 4 x^{3} - (4 x^{2})$

ステップ 4.1.3.2

$4$ に $- 1$ をかけます。

$- f (x) = - x^{4} + 4 x^{3} - 4 x^{2}$

ステップ 4.2

$x^{4} + 4 x^{3} + 4 x^{2}$ $\neq$ $- x^{4} + 4 x^{3} - 4 x^{2}$ なので、関数は奇関数ではありません。

関数は奇関数ではありません

ステップ 5

関数は奇関数でも偶関数でもありません

ステップ 6

関数が奇数ではないので、原点に対して対称ではありません。

原点対称がありません

ステップ 7

関数が偶数ではないので、y軸に対して対称ではありません。

y軸対称がありません

ステップ 8

関数が奇数でも偶数でもないので、原点/y軸に対象ではありません。

関数が対称ではありません

ステップ 9

微分積分学準備 例

微分積分学準備例