微分積分学準備例

$x^{4} - 2 x^{3} + 10 x^{2} - 50 x - 375 = 0$

ステップ 1

方程式の左辺を因数分解します。

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ステップ 1.1

項を再分類します。

$- 2 x^{3} + 10 x^{2} + x^{4} - 50 x - 375 = 0$

ステップ 1.2

$- 2 x^{2}$ を $- 2 x^{3} + 10 x^{2}$ で因数分解します。

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ステップ 1.2.1

$- 2 x^{2}$ を $- 2 x^{3}$ で因数分解します。

$- 2 x^{2} x + 10 x^{2} + x^{4} - 50 x - 375 = 0$

ステップ 1.2.2

$- 2 x^{2}$ を $10 x^{2}$ で因数分解します。

$- 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 5 + x^{4} - 50 x - 375 = 0$

ステップ 1.2.3

$- 2 x^{2}$ を $- 2 x^{2} (x) - 2 x^{2} (- 5)$ で因数分解します。

$- 2 x^{2} (x - 5) + x^{4} - 50 x - 375 = 0$

ステップ 1.3

有理根検定を用いて $x^{4} - 50 x - 375$ を因数分解します。

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ステップ 1.3.1

多項式関数が整数係数をもつならば、すべての有理数0は $\frac{p}{q}$ の形をもち、 $p$ は定数の因数、 $q$ は首位係数の因数です。

$p = \pm 1, \pm 375, \pm 3, \pm 125, \pm 5, \pm 75, \pm 15, \pm 25$

$q = \pm 1$

ステップ 1.3.2

$\pm \frac{p}{q}$ のすべての組み合わせを求めます。これらは、多項式関数の可能な根です。

$\pm 1, \pm 375, \pm 3, \pm 125, \pm 5, \pm 75, \pm 15, \pm 25$

ステップ 1.3.3

$5$ を代入し、式を簡約します。この場合、式は $0$ に等しいので、 $5$ は多項式の根です。

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ステップ 1.3.3.1

$5$ を多項式に代入します。

$5^{4} - 50 \cdot 5 - 375$

ステップ 1.3.3.2

$5$ を $4$ 乗します。

$625 - 50 \cdot 5 - 375$

ステップ 1.3.3.3

$- 50$ に $5$ をかけます。

$625 - 250 - 375$

ステップ 1.3.3.4

$625$ から $250$ を引きます。

$375 - 375$

ステップ 1.3.3.5

$375$ から $375$ を引きます。

$0$

ステップ 1.3.4

$5$ は既知の根なので、多項式を $x - 5$ で割り、多項式の商を求めます。この多項式は他の根を求めるために利用できます。

$\frac{x^{4} - 50 x - 375}{x - 5}$

ステップ 1.3.5

$x^{4} - 50 x - 375$ を $x - 5$ で割ります。

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ステップ 1.3.5.1

多項式を分割します。すべての指数に項がない場合、 $0$ の値の項を挿入します。

$x$

$5$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$50 x$

$375$

ステップ 1.3.5.2

被除数 $x^{4}$ の最高次項を除数 $x$ の最高次項で割ります。

$x^{3}$

$x$

$5$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$50 x$

$375$

ステップ 1.3.5.3

新しい商の項に除数を掛けます。

$x^{3}$

$x$

$5$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$50 x$

$375$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

ステップ 1.3.5.4

式は被除数から引く必要があるので、 $x^{4} - 5 x^{3}$ の符号をすべて変更します。

$x^{3}$

$x$

$5$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$50 x$

$375$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

ステップ 1.3.5.5

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

$x^{3}$

$x$

$5$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$50 x$

$375$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

ステップ 1.3.5.6

元の被除数から次の項を現在の被除数に引き下げます。

$x^{3}$

$x$

$5$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$50 x$

$375$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$0 x^{2}$

ステップ 1.3.5.7

被除数 $5 x^{3}$ の最高次項を除数 $x$ の最高次項で割ります。

$x^{3}$

$5 x^{2}$

$x$

$5$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$50 x$

$375$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$0 x^{2}$

ステップ 1.3.5.8

新しい商の項に除数を掛けます。

$x^{3}$

$5 x^{2}$

$x$

$5$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$50 x$

$375$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$0 x^{2}$

$5 x^{3}$

$25 x^{2}$

ステップ 1.3.5.9

式は被除数から引く必要があるので、 $5 x^{3} - 25 x^{2}$ の符号をすべて変更します。

$x^{3}$

$5 x^{2}$

$x$

$5$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$50 x$

$375$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$0 x^{2}$

$5 x^{3}$

$25 x^{2}$

ステップ 1.3.5.10

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

$x^{3}$

$5 x^{2}$

$x$

$5$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$50 x$

$375$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$0 x^{2}$

$5 x^{3}$

$25 x^{2}$

ステップ 1.3.5.11

元の被除数から次の項を現在の被除数に引き下げます。

$x^{3}$

$5 x^{2}$

$x$

$5$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$50 x$

$375$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$0 x^{2}$

$5 x^{3}$

$25 x^{2}$

$50 x$

ステップ 1.3.5.12

被除数 $25 x^{2}$ の最高次項を除数 $x$ の最高次項で割ります。

$x^{3}$

$5 x^{2}$

$25 x$

$x$

$5$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$50 x$

$375$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$0 x^{2}$

$5 x^{3}$

$25 x^{2}$

$50 x$

ステップ 1.3.5.13

新しい商の項に除数を掛けます。

$x^{3}$

$5 x^{2}$

$25 x$

$x$

$5$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$50 x$

$375$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$0 x^{2}$

$5 x^{3}$

$25 x^{2}$

$50 x$

$25 x^{2}$

$125 x$

ステップ 1.3.5.14

式は被除数から引く必要があるので、 $25 x^{2} - 125 x$ の符号をすべて変更します。

$x^{3}$

$5 x^{2}$

$25 x$

$x$

$5$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$50 x$

$375$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$0 x^{2}$

$5 x^{3}$

$25 x^{2}$

$50 x$

$25 x^{2}$

$125 x$

ステップ 1.3.5.15

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

$x^{3}$

$5 x^{2}$

$25 x$

$x$

$5$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$50 x$

$375$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$0 x^{2}$

$5 x^{3}$

$25 x^{2}$

$50 x$

$25 x^{2}$

$125 x$

$75 x$

ステップ 1.3.5.16

元の被除数から次の項を現在の被除数に引き下げます。

$x^{3}$

$5 x^{2}$

$25 x$

$x$

$5$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$50 x$

$375$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$0 x^{2}$

$5 x^{3}$

$25 x^{2}$

$50 x$

$25 x^{2}$

$125 x$

$75 x$

$375$

ステップ 1.3.5.17

被除数 $75 x$ の最高次項を除数 $x$ の最高次項で割ります。

$x^{3}$

$5 x^{2}$

$25 x$

$75$

$x$

$5$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$50 x$

$375$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$0 x^{2}$

$5 x^{3}$

$25 x^{2}$

$50 x$

$25 x^{2}$

$125 x$

$75 x$

$375$

ステップ 1.3.5.18

新しい商の項に除数を掛けます。

$x^{3}$

$5 x^{2}$

$25 x$

$75$

$x$

$5$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$50 x$

$375$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$0 x^{2}$

$5 x^{3}$

$25 x^{2}$

$50 x$

$25 x^{2}$

$125 x$

$75 x$

$375$

$75 x$

$375$

ステップ 1.3.5.19

式は被除数から引く必要があるので、 $75 x - 375$ の符号をすべて変更します。

$x^{3}$

$5 x^{2}$

$25 x$

$75$

$x$

$5$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$50 x$

$375$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$0 x^{2}$

$5 x^{3}$

$25 x^{2}$

$50 x$

$25 x^{2}$

$125 x$

$75 x$

$375$

$75 x$

$375$

ステップ 1.3.5.20

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

$x^{3}$

$5 x^{2}$

$25 x$

$75$

$x$

$5$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$50 x$

$375$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$0 x^{2}$

$5 x^{3}$

$25 x^{2}$

$50 x$

$25 x^{2}$

$125 x$

$75 x$

$375$

$75 x$

$375$

$0$

ステップ 1.3.5.21

余りが $0$ なので、最終回答は商です。

$x^{3} + 5 x^{2} + 25 x + 75$

ステップ 1.3.6

$x^{4} - 50 x - 375$ を因数の集合として書き換えます。

$- 2 x^{2} (x - 5) + (x - 5) (x^{3} + 5 x^{2} + 25 x + 75) = 0$

ステップ 1.4

$x - 5$ を $- 2 x^{2} (x - 5) + (x - 5) (x^{3} + 5 x^{2} + 25 x + 75)$ で因数分解します。

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ステップ 1.4.1

$x - 5$ を $- 2 x^{2} (x - 5)$ で因数分解します。

$(x - 5) (- 2 x^{2}) + (x - 5) (x^{3} + 5 x^{2} + 25 x + 75) = 0$

ステップ 1.4.2

$x - 5$ を $(x - 5) (- 2 x^{2}) + (x - 5) (x^{3} + 5 x^{2} + 25 x + 75)$ で因数分解します。

$(x - 5) (- 2 x^{2} + x^{3} + 5 x^{2} + 25 x + 75) = 0$

ステップ 1.5

$- 2 x^{2}$ と $5 x^{2}$ をたし算します。

$(x - 5) (x^{3} + 3 x^{2} + 25 x + 75) = 0$

ステップ 1.6

因数分解。

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ステップ 1.6.1

因数分解した形で $x^{3} + 3 x^{2} + 25 x + 75$ を書き換えます。

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ステップ 1.6.1.1

各群から最大公約数を因数分解します。

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ステップ 1.6.1.1.1

前の2項と後ろの2項をまとめます。

$(x - 5) ((x^{3} + 3 x^{2}) + 25 x + 75) = 0$

ステップ 1.6.1.1.2

各群から最大公約数を因数分解します。

$(x - 5) (x^{2} (x + 3) + 25 (x + 3)) = 0$

ステップ 1.6.1.2

最大公約数 $x + 3$ を因数分解して、多項式を因数分解します。

$(x - 5) ((x + 3) (x^{2} + 25)) = 0$

ステップ 1.6.2

不要な括弧を削除します。

$(x - 5) (x + 3) (x^{2} + 25) = 0$

ステップ 2

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x - 5 = 0$

$x + 3 = 0$

$x^{2} + 25 = 0$

ステップ 3

$x - 5$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 3.1

$x - 5$ が $0$ に等しいとします。

$x - 5 = 0$

ステップ 3.2

方程式の両辺に $5$ を足します。

$x = 5$

ステップ 4

$x + 3$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 4.1

$x + 3$ が $0$ に等しいとします。

$x + 3 = 0$

ステップ 4.2

方程式の両辺から $3$ を引きます。

$x = - 3$

ステップ 5

$x^{2} + 25$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 5.1

$x^{2} + 25$ が $0$ に等しいとします。

$x^{2} + 25 = 0$

ステップ 5.2

$x$ について $x^{2} + 25 = 0$ を解きます。

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ステップ 5.2.1

方程式の両辺から $25$ を引きます。

$x^{2} = - 25$

ステップ 5.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 25}$

ステップ 5.2.3

$\pm \sqrt{- 25}$ を簡約します。

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ステップ 5.2.3.1

$- 25$ を $- 1 (25)$ に書き換えます。

$x = \pm \sqrt{- 1 (25)}$

ステップ 5.2.3.2

$\sqrt{- 1 (25)}$ を $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{25}$ に書き換えます。

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{25}$

ステップ 5.2.3.3

$\sqrt{- 1}$ を $i$ に書き換えます。

$x = \pm i \cdot \sqrt{25}$

ステップ 5.2.3.4

$25$ を $5^{2}$ に書き換えます。

$x = \pm i \cdot \sqrt{5^{2}}$

ステップ 5.2.3.5

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$x = \pm i \cdot 5$

ステップ 5.2.3.6

$5$ を $i$ の左に移動させます。

$x = \pm 5 i$

ステップ 5.2.4

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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ステップ 5.2.4.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$x = 5 i$

ステップ 5.2.4.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$x = - 5 i$

ステップ 5.2.4.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$x = 5 i, - 5 i$

ステップ 6

最終解は $(x - 5) (x + 3) (x^{2} + 25) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 5, - 3, 5 i, - 5 i$

ステップ 7

微分積分学準備 例

微分積分学準備例