微分積分学準備例

$2 \cos (θ) - 1 = 0$

ステップ 1

方程式の両辺に $1$ を足します。

$2 \cos (θ) = 1$

ステップ 2

$2 \cos (θ) = 1$ の各項を $2$ で割り、簡約します。

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ステップ 2.1

$2 \cos (θ) = 1$ の各項を $2$ で割ります。

$\frac{2 \cos (θ)}{2} = \frac{1}{2}$

ステップ 2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 2.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 \cos (θ)}{2} = \frac{1}{2}$

ステップ 2.2.1.2

$\cos (θ)$ を $1$ で割ります。

$\cos (θ) = \frac{1}{2}$

ステップ 3

方程式の両辺の逆余弦をとり、余弦の中から $θ$ を取り出します。

$θ = \arccos (\frac{1}{2})$

ステップ 4

右辺を簡約します。

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ステップ 4.1

$\arccos (\frac{1}{2})$ の厳密値は $\frac{π}{3}$ です。

$θ = \frac{π}{3}$

ステップ 5

余弦関数は、第一象限と第四象限で正となります。2番目の解を求めるには、 $2 π$ から参照角を引き、第四象限で解を求めます。

$θ = 2 π - \frac{π}{3}$

ステップ 6

$2 π - \frac{π}{3}$ を簡約します。

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ステップ 6.1

$2 π$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$θ = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

ステップ 6.2

分数をまとめます。

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ステップ 6.2.1

$2 π$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$θ = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

ステップ 6.2.2

公分母の分子をまとめます。

$θ = \frac{2 π \cdot 3 - π}{3}$

ステップ 6.3

分子を簡約します。

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ステップ 6.3.1

$3$ に $2$ をかけます。

$θ = \frac{6 π - π}{3}$

ステップ 6.3.2

$6 π$ から $π$ を引きます。

$θ = \frac{5 π}{3}$

ステップ 7

$\cos (θ)$ の周期を求めます。

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ステップ 7.1

関数の期間は $\frac{2 π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{2 π}{| b |}$

ステップ 7.2

周期の公式の $b$ を $1$ で置き換えます。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

ステップ 7.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{2 π}{1}$

ステップ 7.4

$2 π$ を $1$ で割ります。

$2 π$

ステップ 8

$\cos (θ)$ 関数の周期が $2 π$ なので、両方向で $2 π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$θ = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

微分積分学準備 例

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