微分積分学準備例

$f (x) = \frac{- x^{2} - 2 x + 3}{x - 2}$

ステップ 1

式 $\frac{- x^{2} - 2 x + 3}{x - 2}$ が未定義である場所を求めます。

$x = 2$

ステップ 2

$n$ が分子の次数、 $m$ が分母の次数である有理関数 $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ を考えます。

1. $n < m$ のとき、x軸 $y = 0$ は水平漸近線です。

2. $n = m$ のとき、水平漸近線は線 $y = \frac{a}{b}$ です。

3. $n > m$ のとき、水平漸近線はありません（斜めの漸近線があります）。

ステップ 3

$n$ と $m$ を求めます。

$n = 2$

$m = 1$

ステップ 4

$n > m$ なので、水平漸近線はありません。

水平漸近線がありません

ステップ 5

多項式の割り算を利用して斜めの漸近線を求めます。

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ステップ 5.1

式を簡約します。

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ステップ 5.1.1

群による因数分解。

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ステップ 5.1.1.1

$a x^{2} + b x + c$ の形の多項式について、積が $a \cdot c = - 1 \cdot 3 = - 3$ で和が $b = - 2$ である2項の和に中央の項を書き換えます。

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ステップ 5.1.1.1.1

$- 2$ を $- 2 x$ で因数分解します。

$\frac{- x^{2} - 2 (x) + 3}{x - 2}$

ステップ 5.1.1.1.2

$- 2$ を $1$ プラス $- 3$ に書き換える

$\frac{- x^{2} + (1 - 3) x + 3}{x - 2}$

ステップ 5.1.1.1.3

分配則を当てはめます。

$\frac{- x^{2} + 1 x - 3 x + 3}{x - 2}$

ステップ 5.1.1.1.4

$x$ に $1$ をかけます。

$\frac{- x^{2} + x - 3 x + 3}{x - 2}$

ステップ 5.1.1.2

各群から最大公約数を因数分解します。

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ステップ 5.1.1.2.1

前の2項と後ろの2項をまとめます。

$\frac{(- x^{2} + x) - 3 x + 3}{x - 2}$

ステップ 5.1.1.2.2

各群から最大公約数を因数分解します。

$\frac{x (- x + 1) + 3 (- x + 1)}{x - 2}$

ステップ 5.1.1.3

最大公約数 $- x + 1$ を因数分解して、多項式を因数分解します。

$\frac{(- x + 1) (x + 3)}{x - 2}$

ステップ 5.1.2

$- 1$ を $- x$ で因数分解します。

$\frac{(- (x) + 1) (x + 3)}{x - 2}$

ステップ 5.1.3

$1$ を $- 1 (- 1)$ に書き換えます。

$\frac{(- (x) - 1 (- 1)) (x + 3)}{x - 2}$

ステップ 5.1.4

$- 1$ を $- (x) - 1 (- 1)$ で因数分解します。

$\frac{- (x - 1) (x + 3)}{x - 2}$

ステップ 5.1.5

式を簡約します。

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ステップ 5.1.5.1

$- (x - 1)$ を $- 1 (x - 1)$ に書き換えます。

$\frac{- 1 (x - 1) (x + 3)}{x - 2}$

ステップ 5.1.5.2

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{(x - 1) (x + 3)}{x - 2}$

ステップ 5.2

$- (x - 1) (x + 3)$ を展開します。

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ステップ 5.2.1

$x - 1$ を否定します。

$\frac{- (x - 1) (x + 3)}{x - 2}$

ステップ 5.2.2

分配則を当てはめます。

$\frac{(- x + 1) (x + 3)}{x - 2}$

ステップ 5.2.3

分配則を当てはめます。

$\frac{- x (x + 3) + 1 (x + 3)}{x - 2}$

ステップ 5.2.4

分配則を当てはめます。

$\frac{- x \cdot x - x \cdot 3 + 1 (x + 3)}{x - 2}$

ステップ 5.2.5

分配則を当てはめます。

$\frac{- x \cdot x - x \cdot 3 + 1 x + 1 \cdot 3}{x - 2}$

ステップ 5.2.6

$x$ を移動させます。

$\frac{- x \cdot x - 1 \cdot (3 x) + 1 x + 1 \cdot 3}{x - 2}$

ステップ 5.2.7

負をくくり出します。

$\frac{- (x \cdot x) - 1 \cdot (3 x) + 1 x + 1 \cdot 3}{x - 2}$

ステップ 5.2.8

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{- (x \cdot x) - 1 \cdot (3 x) + 1 x + 1 \cdot 3}{x - 2}$

ステップ 5.2.9

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{- (x \cdot x) - 1 \cdot (3 x) + 1 x + 1 \cdot 3}{x - 2}$

ステップ 5.2.10

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{- x^{1 + 1} - 1 \cdot (3 x) + 1 x + 1 \cdot 3}{x - 2}$

ステップ 5.2.11

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{- x^{2} - 1 \cdot (3 x) + 1 x + 1 \cdot 3}{x - 2}$

ステップ 5.2.12

$- 1$ に $3$ をかけます。

$\frac{- x^{2} - 3 x + 1 x + 1 \cdot 3}{x - 2}$

ステップ 5.2.13

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{- x^{2} - 3 x + 1 x + 1 \cdot 3}{x - 2}$

ステップ 5.2.14

$x$ に $1$ をかけます。

$\frac{- x^{2} - 3 x + x + 1 \cdot 3}{x - 2}$

ステップ 5.2.15

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{- x^{2} - 3 x + x + 1 \cdot 3}{x - 2}$

ステップ 5.2.16

$3$ に $1$ をかけます。

$\frac{- x^{2} - 3 x + x + 3}{x - 2}$

ステップ 5.2.17

$- 3 x$ と $x$ をたし算します。

$\frac{- x^{2} - 2 x + 3}{x - 2}$

ステップ 5.3

多項式を分割します。すべての指数に項がない場合、 $0$ の値の項を挿入します。

$x$

$2$

$x^{2}$

$2 x$

$3$

ステップ 5.4

被除数 $- x^{2}$ の最高次項を除数 $x$ の最高次項で割ります。

				-	$x$
	$x$	-	$2$	-	$x^{2}$	-	$2 x$	+	$3$

ステップ 5.5

新しい商の項に除数を掛けます。

			-	$x$
$x$	-	$2$	-	$x^{2}$	-	$2 x$	+	$3$
			-	$x^{2}$	+	$2 x$

ステップ 5.6

式は被除数から引く必要があるので、 $- x^{2} + 2 x$ の符号をすべて変更します。

			-	$x$
$x$	-	$2$	-	$x^{2}$	-	$2 x$	+	$3$
			+	$x^{2}$	-	$2 x$

ステップ 5.7

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

			-	$x$
$x$	-	$2$	-	$x^{2}$	-	$2 x$	+	$3$
			+	$x^{2}$	-	$2 x$
					-	$4 x$

ステップ 5.8

元の被除数から次の項を現在の被除数に引き下げます。

			-	$x$
$x$	-	$2$	-	$x^{2}$	-	$2 x$	+	$3$
			+	$x^{2}$	-	$2 x$
					-	$4 x$	+	$3$

ステップ 5.9

被除数 $- 4 x$ の最高次項を除数 $x$ の最高次項で割ります。

			-	$x$	-	$4$
$x$	-	$2$	-	$x^{2}$	-	$2 x$	+	$3$
			+	$x^{2}$	-	$2 x$
					-	$4 x$	+	$3$

ステップ 5.10

新しい商の項に除数を掛けます。

			-	$x$	-	$4$
$x$	-	$2$	-	$x^{2}$	-	$2 x$	+	$3$
			+	$x^{2}$	-	$2 x$
					-	$4 x$	+	$3$
					-	$4 x$	+	$8$

ステップ 5.11

式は被除数から引く必要があるので、 $- 4 x + 8$ の符号をすべて変更します。

			-	$x$	-	$4$
$x$	-	$2$	-	$x^{2}$	-	$2 x$	+	$3$
			+	$x^{2}$	-	$2 x$
					-	$4 x$	+	$3$
					+	$4 x$	-	$8$

ステップ 5.12

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

			-	$x$	-	$4$
$x$	-	$2$	-	$x^{2}$	-	$2 x$	+	$3$
			+	$x^{2}$	-	$2 x$
					-	$4 x$	+	$3$
					+	$4 x$	-	$8$
							-	$5$

ステップ 5.13

最終的な答えは商と除数の余りを足したものです。

$- x - 4 - \frac{5}{x - 2}$

ステップ 5.14

斜めの漸近線は、筆算での除算の結果の多項式部分です。

$y = - x - 4$

ステップ 6

すべての漸近線の集合です。

垂直漸近線： $x = 2$

水平漸近線がありません

斜めの漸近線： $y = - x - 4$

ステップ 7

微分積分学準備 例

微分積分学準備例