微分積分学準備例

$S = π \sqrt{r^{2} + h^{2}}$

ステップ 1

方程式を $π \sqrt{r^{2} + h^{2}} = S$ として書き換えます。

$π \sqrt{r^{2} + h^{2}} = S$

ステップ 2

$π \sqrt{r^{2} + h^{2}} = S$ の各項を $π$ で割り、簡約します。

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ステップ 2.1

$π \sqrt{r^{2} + h^{2}} = S$ の各項を $π$ で割ります。

$\frac{π \sqrt{r^{2} + h^{2}}}{π} = \frac{S}{π}$

ステップ 2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 2.2.1

$π$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{π \sqrt{r^{2} + h^{2}}}{π} = \frac{S}{π}$

ステップ 2.2.1.2

$\sqrt{r^{2} + h^{2}}$ を $1$ で割ります。

$\sqrt{r^{2} + h^{2}} = \frac{S}{π}$

ステップ 3

方程式の左辺から根を削除するため、方程式の両辺を2乗します。

${\sqrt{r^{2} + h^{2}}}^{2} = {(\frac{S}{π})}^{2}$

ステップ 4

方程式の各辺を簡約します。

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ステップ 4.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{r^{2} + h^{2}}$ を ${(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

${({(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(\frac{S}{π})}^{2}$

ステップ 4.2

左辺を簡約します。

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ステップ 4.2.1

${({(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ を簡約します。

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ステップ 4.2.1.1

${({(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ の指数を掛けます。

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ステップ 4.2.1.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

${(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\frac{S}{π})}^{2}$

ステップ 4.2.1.1.2

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.2.1.1.2.1

共通因数を約分します。

${(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\frac{S}{π})}^{2}$

ステップ 4.2.1.1.2.2

式を書き換えます。

${(r^{2} + h^{2})}^{1} = {(\frac{S}{π})}^{2}$

ステップ 4.2.1.2

簡約します。

$r^{2} + h^{2} = {(\frac{S}{π})}^{2}$

ステップ 4.3

右辺を簡約します。

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ステップ 4.3.1

積の法則を $\frac{S}{π}$ に当てはめます。

$r^{2} + h^{2} = \frac{S^{2}}{π^{2}}$

ステップ 5

$r$ について解きます。

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ステップ 5.1

方程式の両辺から $h^{2}$ を引きます。

$r^{2} = \frac{S^{2}}{π^{2}} - h^{2}$

ステップ 5.2

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$r = \pm \sqrt{\frac{S^{2}}{π^{2}} - h^{2}}$

ステップ 5.3

$\pm \sqrt{\frac{S^{2}}{π^{2}} - h^{2}}$ を簡約します。

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ステップ 5.3.1

$\frac{S^{2}}{π^{2}}$ を ${(\frac{S}{π})}^{2}$ に書き換えます。

$r = \pm \sqrt{{(\frac{S}{π})}^{2} - h^{2}}$

ステップ 5.3.2

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = \frac{S}{π}$ であり、 $b = h$ です。

$r = \pm \sqrt{(\frac{S}{π} + h) (\frac{S}{π} - h)}$

ステップ 5.3.3

$h$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{π}{π}$ を掛けます。

$r = \pm \sqrt{(\frac{S}{π} + \frac{h π}{π}) (\frac{S}{π} - h)}$

ステップ 5.3.4

公分母の分子をまとめます。

$r = \pm \sqrt{\frac{S + h π}{π} (\frac{S}{π} - h)}$

ステップ 5.3.5

$- h$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{π}{π}$ を掛けます。

$r = \pm \sqrt{\frac{S + h π}{π} (\frac{S}{π} - h \cdot \frac{π}{π})}$

ステップ 5.3.6

項を簡約します。

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ステップ 5.3.6.1

$- h$ と $\frac{π}{π}$ をまとめます。

$r = \pm \sqrt{\frac{S + h π}{π} (\frac{S}{π} + \frac{- h π}{π})}$

ステップ 5.3.6.2

公分母の分子をまとめます。

$r = \pm \sqrt{\frac{S + h π}{π} \cdot \frac{S - h π}{π}}$

ステップ 5.3.6.3

$\frac{S + h π}{π}$ に $\frac{S - h π}{π}$ をかけます。

$r = \pm \sqrt{\frac{(S + h π) (S - h π)}{π π}}$

ステップ 5.3.7

分母を簡約します。

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ステップ 5.3.7.1

$π$ を $1$ 乗します。

$r = \pm \sqrt{\frac{(S + h π) (S - h π)}{π^{1} π}}$

ステップ 5.3.7.2

$π$ を $1$ 乗します。

$r = \pm \sqrt{\frac{(S + h π) (S - h π)}{π^{1} π^{1}}}$

ステップ 5.3.7.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$r = \pm \sqrt{\frac{(S + h π) (S - h π)}{π^{1 + 1}}}$

ステップ 5.3.7.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$r = \pm \sqrt{\frac{(S + h π) (S - h π)}{π^{2}}}$

ステップ 5.3.8

$\frac{(S + h π) (S - h π)}{π^{2}}$ を ${(\frac{1}{π})}^{2} ((S + h π) (S - h π))$ に書き換えます。

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ステップ 5.3.8.1

$(S + h π) (S - h π)$ から完全累乗 $1^{2}$ を因数分解します。

$r = \pm \sqrt{\frac{1^{2} ((S + h π) (S - h π))}{π^{2}}}$

ステップ 5.3.8.2

$π^{2}$ から完全累乗 $π^{2}$ を因数分解します。

$r = \pm \sqrt{\frac{1^{2} ((S + h π) (S - h π))}{π^{2} \cdot 1}}$

ステップ 5.3.8.3

分数 $\frac{1^{2} ((S + h π) (S - h π))}{π^{2} \cdot 1}$ を並べ替えます。

$r = \pm \sqrt{{(\frac{1}{π})}^{2} ((S + h π) (S - h π))}$

ステップ 5.3.9

累乗根の下から項を取り出します。

$r = \pm \frac{1}{π} \sqrt{(S + h π) (S - h π)}$

ステップ 5.3.10

$\frac{1}{π}$ と $\sqrt{(S + h π) (S - h π)}$ をまとめます。

$r = \pm \frac{\sqrt{(S + h π) (S - h π)}}{π}$

ステップ 5.4

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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ステップ 5.4.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$r = \frac{\sqrt{(S + h π) (S - h π)}}{π}$

ステップ 5.4.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$r = - \frac{\sqrt{(S + h π) (S - h π)}}{π}$

ステップ 5.4.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$r = \frac{\sqrt{(S + h π) (S - h π)}}{π}$

$r = - \frac{\sqrt{(S + h π) (S - h π)}}{π}$

$r = \frac{\sqrt{(S + h π) (S - h π)}}{π}$

$r = - \frac{\sqrt{(S + h π) (S - h π)}}{π}$

$r = \frac{\sqrt{(S + h π) (S - h π)}}{π}$

$r = - \frac{\sqrt{(S + h π) (S - h π)}}{π}$

微分積分学準備 例

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