微分積分学準備例

$10 \sqrt{3} = 20 \sin (\frac{π t}{4} - \frac{π}{2})$

ステップ 1

方程式を $20 \sin (\frac{π t}{4} - \frac{π}{2}) = 10 \sqrt{3}$ として書き換えます。

$20 \sin (\frac{π t}{4} - \frac{π}{2}) = 10 \sqrt{3}$

ステップ 2

$20 \sin (\frac{π t}{4} - \frac{π}{2}) = 10 \sqrt{3}$ の各項を $20$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$20 \sin (\frac{π t}{4} - \frac{π}{2}) = 10 \sqrt{3}$ の各項を $20$ で割ります。

$\frac{20 \sin (\frac{π t}{4} - \frac{π}{2})}{20} = \frac{10 \sqrt{3}}{20}$

ステップ 2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$20$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{20 \sin (\frac{π t}{4} - \frac{π}{2})}{20} = \frac{10 \sqrt{3}}{20}$

ステップ 2.2.1.2

$\sin (\frac{π t}{4} - \frac{π}{2})$ を $1$ で割ります。

$\sin (\frac{π t}{4} - \frac{π}{2}) = \frac{10 \sqrt{3}}{20}$

ステップ 2.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

$10$ と $20$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1.1

$10$ を $10 \sqrt{3}$ で因数分解します。

$\sin (\frac{π t}{4} - \frac{π}{2}) = \frac{10 (\sqrt{3})}{20}$

ステップ 2.3.1.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1.2.1

$10$ を $20$ で因数分解します。

$\sin (\frac{π t}{4} - \frac{π}{2}) = \frac{10 \sqrt{3}}{10 \cdot 2}$

ステップ 2.3.1.2.2

共通因数を約分します。

$\sin (\frac{π t}{4} - \frac{π}{2}) = \frac{10 \sqrt{3}}{10 \cdot 2}$

ステップ 2.3.1.2.3

式を書き換えます。

$\sin (\frac{π t}{4} - \frac{π}{2}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

ステップ 3

方程式の両辺の逆正弦をとり、正弦の中から $t$ を取り出します。

$\frac{π t}{4} - \frac{π}{2} = \arcsin (\frac{\sqrt{3}}{2})$

ステップ 4

右辺を簡約します。

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ステップ 4.1

$\arcsin (\frac{\sqrt{3}}{2})$ の厳密値は $\frac{π}{3}$ です。

$\frac{π t}{4} - \frac{π}{2} = \frac{π}{3}$

ステップ 5

$t$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 5.1

方程式の両辺に $\frac{π}{2}$ を足します。

$\frac{π t}{4} = \frac{π}{3} + \frac{π}{2}$

ステップ 5.2

$\frac{π}{3}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\frac{π t}{4} = \frac{π}{3} \cdot \frac{2}{2} + \frac{π}{2}$

ステップ 5.3

$\frac{π}{2}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$\frac{π t}{4} = \frac{π}{3} \cdot \frac{2}{2} + \frac{π}{2} \cdot \frac{3}{3}$

ステップ 5.4

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $6$ を公分母とする式で書きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.1

$\frac{π}{3}$ に $\frac{2}{2}$ をかけます。

$\frac{π t}{4} = \frac{π \cdot 2}{3 \cdot 2} + \frac{π}{2} \cdot \frac{3}{3}$

ステップ 5.4.2

$3$ に $2$ をかけます。

$\frac{π t}{4} = \frac{π \cdot 2}{6} + \frac{π}{2} \cdot \frac{3}{3}$

ステップ 5.4.3

$\frac{π}{2}$ に $\frac{3}{3}$ をかけます。

$\frac{π t}{4} = \frac{π \cdot 2}{6} + \frac{π \cdot 3}{2 \cdot 3}$

ステップ 5.4.4

$2$ に $3$ をかけます。

$\frac{π t}{4} = \frac{π \cdot 2}{6} + \frac{π \cdot 3}{6}$

ステップ 5.5

公分母の分子をまとめます。

$\frac{π t}{4} = \frac{π \cdot 2 + π \cdot 3}{6}$

ステップ 5.6

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.6.1

$2$ を $π$ の左に移動させます。

$\frac{π t}{4} = \frac{2 \cdot π + π \cdot 3}{6}$

ステップ 5.6.2

$3$ を $π$ の左に移動させます。

$\frac{π t}{4} = \frac{2 π + 3 \cdot π}{6}$

ステップ 5.6.3

$2 π$ と $3 π$ をたし算します。

$\frac{π t}{4} = \frac{5 π}{6}$

ステップ 6

方程式の両辺に $\frac{4}{π}$ を掛けます。

$\frac{4}{π} \cdot \frac{π t}{4} = \frac{4}{π} \cdot \frac{5 π}{6}$

ステップ 7

方程式の両辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1.1

$\frac{4}{π} \cdot \frac{π t}{4}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1.1.1

$4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1.1.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{4}{π} \cdot \frac{π t}{4} = \frac{4}{π} \cdot \frac{5 π}{6}$

ステップ 7.1.1.1.2

式を書き換えます。

$\frac{1}{π} (π t) = \frac{4}{π} \cdot \frac{5 π}{6}$

ステップ 7.1.1.2

$π$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1.1.2.1

$π$ を $π t$ で因数分解します。

$\frac{1}{π} (π (t)) = \frac{4}{π} \cdot \frac{5 π}{6}$

ステップ 7.1.1.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{1}{π} (π t) = \frac{4}{π} \cdot \frac{5 π}{6}$

ステップ 7.1.1.2.3

式を書き換えます。

$t = \frac{4}{π} \cdot \frac{5 π}{6}$

ステップ 7.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1

$\frac{4}{π} \cdot \frac{5 π}{6}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1.1

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1.1.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

$t = \frac{2 (2)}{π} \cdot \frac{5 π}{6}$

ステップ 7.2.1.1.2

$2$ を $6$ で因数分解します。

$t = \frac{2 \cdot 2}{π} \cdot \frac{5 π}{2 \cdot 3}$

ステップ 7.2.1.1.3

共通因数を約分します。

$t = \frac{2 \cdot 2}{π} \cdot \frac{5 π}{2 \cdot 3}$

ステップ 7.2.1.1.4

式を書き換えます。

$t = \frac{2}{π} \cdot \frac{5 π}{3}$

ステップ 7.2.1.2

$π$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1.2.1

$π$ を $5 π$ で因数分解します。

$t = \frac{2}{π} \cdot \frac{π \cdot 5}{3}$

ステップ 7.2.1.2.2

共通因数を約分します。

$t = \frac{2}{π} \cdot \frac{π \cdot 5}{3}$

ステップ 7.2.1.2.3

式を書き換えます。

$t = 2 (\frac{5}{3})$

ステップ 7.2.1.3

$2$ と $\frac{5}{3}$ をまとめます。

$t = \frac{2 \cdot 5}{3}$

ステップ 7.2.1.4

$2$ に $5$ をかけます。

$t = \frac{10}{3}$

ステップ 8

正弦関数は、第一象限と第二象限で正となります。2番目の解を求めるには、 $π$ から参照角を引き、第二象限で解を求めます。

$\frac{π t}{4} - \frac{π}{2} = π - \frac{π}{3}$

ステップ 9

$t$ について解きます。

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ステップ 9.1

$π - \frac{π}{3}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1.1

$π$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$\frac{π t}{4} - \frac{π}{2} = π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

ステップ 9.1.2

分数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1.2.1

$π$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$\frac{π t}{4} - \frac{π}{2} = \frac{π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

ステップ 9.1.2.2

公分母の分子をまとめます。

$\frac{π t}{4} - \frac{π}{2} = \frac{π \cdot 3 - π}{3}$

ステップ 9.1.3

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1.3.1

$3$ を $π$ の左に移動させます。

$\frac{π t}{4} - \frac{π}{2} = \frac{3 \cdot π - π}{3}$

ステップ 9.1.3.2

$3 π$ から $π$ を引きます。

$\frac{π t}{4} - \frac{π}{2} = \frac{2 π}{3}$

ステップ 9.2

$t$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.2.1

方程式の両辺に $\frac{π}{2}$ を足します。

$\frac{π t}{4} = \frac{2 π}{3} + \frac{π}{2}$

ステップ 9.2.2

$\frac{2 π}{3}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\frac{π t}{4} = \frac{2 π}{3} \cdot \frac{2}{2} + \frac{π}{2}$

ステップ 9.2.3

$\frac{π}{2}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$\frac{π t}{4} = \frac{2 π}{3} \cdot \frac{2}{2} + \frac{π}{2} \cdot \frac{3}{3}$

ステップ 9.2.4

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $6$ を公分母とする式で書きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.2.4.1

$\frac{2 π}{3}$ に $\frac{2}{2}$ をかけます。

$\frac{π t}{4} = \frac{2 π \cdot 2}{3 \cdot 2} + \frac{π}{2} \cdot \frac{3}{3}$

ステップ 9.2.4.2

$3$ に $2$ をかけます。

$\frac{π t}{4} = \frac{2 π \cdot 2}{6} + \frac{π}{2} \cdot \frac{3}{3}$

ステップ 9.2.4.3

$\frac{π}{2}$ に $\frac{3}{3}$ をかけます。

$\frac{π t}{4} = \frac{2 π \cdot 2}{6} + \frac{π \cdot 3}{2 \cdot 3}$

ステップ 9.2.4.4

$2$ に $3$ をかけます。

$\frac{π t}{4} = \frac{2 π \cdot 2}{6} + \frac{π \cdot 3}{6}$

ステップ 9.2.5

公分母の分子をまとめます。

$\frac{π t}{4} = \frac{2 π \cdot 2 + π \cdot 3}{6}$

ステップ 9.2.6

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.2.6.1

$2$ に $2$ をかけます。

$\frac{π t}{4} = \frac{4 π + π \cdot 3}{6}$

ステップ 9.2.6.2

$3$ を $π$ の左に移動させます。

$\frac{π t}{4} = \frac{4 π + 3 \cdot π}{6}$

ステップ 9.2.6.3

$4 π$ と $3 π$ をたし算します。

$\frac{π t}{4} = \frac{7 π}{6}$

ステップ 9.3

方程式の両辺に $\frac{4}{π}$ を掛けます。

$\frac{4}{π} \cdot \frac{π t}{4} = \frac{4}{π} \cdot \frac{7 π}{6}$

ステップ 9.4

方程式の両辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.4.1

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.4.1.1

$\frac{4}{π} \cdot \frac{π t}{4}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.4.1.1.1

$4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.4.1.1.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{4}{π} \cdot \frac{π t}{4} = \frac{4}{π} \cdot \frac{7 π}{6}$

ステップ 9.4.1.1.1.2

式を書き換えます。

$\frac{1}{π} (π t) = \frac{4}{π} \cdot \frac{7 π}{6}$

ステップ 9.4.1.1.2

$π$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.4.1.1.2.1

$π$ を $π t$ で因数分解します。

$\frac{1}{π} (π (t)) = \frac{4}{π} \cdot \frac{7 π}{6}$

ステップ 9.4.1.1.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{1}{π} (π t) = \frac{4}{π} \cdot \frac{7 π}{6}$

ステップ 9.4.1.1.2.3

式を書き換えます。

$t = \frac{4}{π} \cdot \frac{7 π}{6}$

ステップ 9.4.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.4.2.1

$\frac{4}{π} \cdot \frac{7 π}{6}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.4.2.1.1

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.4.2.1.1.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

$t = \frac{2 (2)}{π} \cdot \frac{7 π}{6}$

ステップ 9.4.2.1.1.2

$2$ を $6$ で因数分解します。

$t = \frac{2 \cdot 2}{π} \cdot \frac{7 π}{2 \cdot 3}$

ステップ 9.4.2.1.1.3

共通因数を約分します。

$t = \frac{2 \cdot 2}{π} \cdot \frac{7 π}{2 \cdot 3}$

ステップ 9.4.2.1.1.4

式を書き換えます。

$t = \frac{2}{π} \cdot \frac{7 π}{3}$

ステップ 9.4.2.1.2

$π$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.4.2.1.2.1

$π$ を $7 π$ で因数分解します。

$t = \frac{2}{π} \cdot \frac{π \cdot 7}{3}$

ステップ 9.4.2.1.2.2

共通因数を約分します。

$t = \frac{2}{π} \cdot \frac{π \cdot 7}{3}$

ステップ 9.4.2.1.2.3

式を書き換えます。

$t = 2 (\frac{7}{3})$

ステップ 9.4.2.1.3

$2$ と $\frac{7}{3}$ をまとめます。

$t = \frac{2 \cdot 7}{3}$

ステップ 9.4.2.1.4

$2$ に $7$ をかけます。

$t = \frac{14}{3}$

ステップ 10

$\sin (\frac{π t}{4} - \frac{π}{2})$ の周期を求めます。

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ステップ 10.1

関数の期間は $\frac{2 π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{2 π}{| b |}$

ステップ 10.2

周期の公式の $b$ を $\frac{π}{4}$ で置き換えます。

$\frac{2 π}{| \frac{π}{4} |}$

ステップ 10.3

$\frac{π}{4}$ は約 $0.78539816$ 。正の数なので絶対値を削除します

$\frac{2 π}{\frac{π}{4}}$

ステップ 10.4

分子に分母の逆数を掛けます。

$2 π \frac{4}{π}$

ステップ 10.5

$π$ の共通因数を約分します。

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ステップ 10.5.1

$π$ を $2 π$ で因数分解します。

$π \cdot 2 \frac{4}{π}$

ステップ 10.5.2

共通因数を約分します。

$π \cdot 2 \frac{4}{π}$

ステップ 10.5.3

式を書き換えます。

$2 \cdot 4$

ステップ 10.6

$2$ に $4$ をかけます。

$8$

ステップ 11

$\sin (\frac{π t}{4} - \frac{π}{2})$ 関数の周期が $8$ なので、両方向で $8$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$t = \frac{10}{3} + 8 n, \frac{14}{3} + 8 n$ 、任意の整数 $n$

微分積分学準備 例

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