微分積分学準備例

${(1 + y)}^{2} - (1 + y) y - y^{2} + 1 = 0$

ステップ 1

${(1 + y)}^{2} - (1 + y) y - y^{2} + 1$ を簡約します。

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ステップ 1.1

各項を簡約します。

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ステップ 1.1.1

分配則を当てはめます。

${(1 + y)}^{2} + (- 1 \cdot 1 - y) y - y^{2} + 1 = 0$

ステップ 1.1.2

$- 1$ に $1$ をかけます。

${(1 + y)}^{2} + (- 1 - y) y - y^{2} + 1 = 0$

ステップ 1.1.3

分配則を当てはめます。

${(1 + y)}^{2} - 1 y - y \cdot y - y^{2} + 1 = 0$

ステップ 1.1.4

$- 1 y$ を $- y$ に書き換えます。

${(1 + y)}^{2} - y - y \cdot y - y^{2} + 1 = 0$

ステップ 1.1.5

指数を足して $y$ に $y$ を掛けます。

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ステップ 1.1.5.1

$y$ を移動させます。

${(1 + y)}^{2} - y - (y \cdot y) - y^{2} + 1 = 0$

ステップ 1.1.5.2

$y$ に $y$ をかけます。

${(1 + y)}^{2} - y - y^{2} - y^{2} + 1 = 0$

ステップ 1.2

$- y^{2}$ から $y^{2}$ を引きます。

${(1 + y)}^{2} - y - 2 y^{2} + 1 = 0$

ステップ 2

方程式の左辺を因数分解します。

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ステップ 2.1

項を再分類します。

${(1 + y)}^{2} - 2 y^{2} - y + 1 = 0$

ステップ 2.2

${(1 + y)}^{2}$ を $(1 + y) (1 + y)$ に書き換えます。

$(1 + y) (1 + y) - 2 y^{2} - y + 1 = 0$

ステップ 2.3

分配法則（FOIL法）を使って $(1 + y) (1 + y)$ を展開します。

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ステップ 2.3.1

分配則を当てはめます。

$1 (1 + y) + y (1 + y) - 2 y^{2} - y + 1 = 0$

ステップ 2.3.2

分配則を当てはめます。

$1 \cdot 1 + 1 y + y (1 + y) - 2 y^{2} - y + 1 = 0$

ステップ 2.3.3

分配則を当てはめます。

$1 \cdot 1 + 1 y + y \cdot 1 + y \cdot y - 2 y^{2} - y + 1 = 0$

ステップ 2.4

簡約し、同類項をまとめます。

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ステップ 2.4.1

各項を簡約します。

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ステップ 2.4.1.1

$1$ に $1$ をかけます。

$1 + 1 y + y \cdot 1 + y \cdot y - 2 y^{2} - y + 1 = 0$

ステップ 2.4.1.2

$y$ に $1$ をかけます。

$1 + y + y \cdot 1 + y \cdot y - 2 y^{2} - y + 1 = 0$

ステップ 2.4.1.3

$y$ に $1$ をかけます。

$1 + y + y + y \cdot y - 2 y^{2} - y + 1 = 0$

ステップ 2.4.1.4

$y$ に $y$ をかけます。

$1 + y + y + y^{2} - 2 y^{2} - y + 1 = 0$

ステップ 2.4.2

$y$ と $y$ をたし算します。

$1 + 2 y + y^{2} - 2 y^{2} - y + 1 = 0$

ステップ 2.5

$y^{2}$ から $2 y^{2}$ を引きます。

$1 + 2 y - y^{2} - y + 1 = 0$

ステップ 2.6

$- 1$ を $1 + 2 y - y^{2}$ で因数分解します。

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ステップ 2.6.1

式を並べ替えます。

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ステップ 2.6.1.1

$1$ を移動させます。

$2 y - y^{2} + 1 - y + 1 = 0$

ステップ 2.6.1.2

$2 y$ と $- y^{2}$ を並べ替えます。

$- y^{2} + 2 y + 1 - y + 1 = 0$

ステップ 2.6.2

$- 1$ を $- y^{2}$ で因数分解します。

$- (y^{2}) + 2 y + 1 - y + 1 = 0$

ステップ 2.6.3

$- 1$ を $2 y$ で因数分解します。

$- (y^{2}) - (- 2 y) + 1 - y + 1 = 0$

ステップ 2.6.4

$1$ を $- 1 (- 1)$ に書き換えます。

$- (y^{2}) - (- 2 y) - 1 \cdot - 1 - y + 1 = 0$

ステップ 2.6.5

$- 1$ を $- (y^{2}) - (- 2 y)$ で因数分解します。

$- (y^{2} - 2 y) - 1 \cdot - 1 - y + 1 = 0$

ステップ 2.6.6

$- 1$ を $- (y^{2} - 2 y) - 1 (- 1)$ で因数分解します。

$- (y^{2} - 2 y - 1) - y + 1 = 0$

ステップ 2.7

$- 1$ を $- y + 1$ で因数分解します。

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ステップ 2.7.1

$- 1$ を $- y$ で因数分解します。

$- (y^{2} - 2 y - 1) - (y) + 1 = 0$

ステップ 2.7.2

$1$ を $- 1 (- 1)$ に書き換えます。

$- (y^{2} - 2 y - 1) - (y) - 1 \cdot - 1 = 0$

ステップ 2.7.3

$- 1$ を $- (y) - 1 (- 1)$ で因数分解します。

$- (y^{2} - 2 y - 1) - (y - 1) = 0$

ステップ 2.8

$- 1$ を $- (y^{2} - 2 y - 1) - (y - 1)$ で因数分解します。

$- (y^{2} - 2 y - 1 + y - 1) = 0$

ステップ 2.9

$- 2 y$ と $y$ をたし算します。

$- (y^{2} - y - 1 - 1) = 0$

ステップ 2.10

$- 1$ から $1$ を引きます。

$- (y^{2} - y - 2) = 0$

ステップ 2.11

因数分解。

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ステップ 2.11.1

たすき掛けを利用して $y^{2} - y - 2$ を因数分解します。

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ステップ 2.11.1.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $- 2$ で、その和が $- 1$ です。

$- 2, 1$

ステップ 2.11.1.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$- ((y - 2) (y + 1)) = 0$

ステップ 2.11.2

不要な括弧を削除します。

$- (y - 2) (y + 1) = 0$

ステップ 3

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$y - 2 = 0$

$y + 1 = 0$

ステップ 4

$y - 2$ を $0$ に等しくし、 $y$ を解きます。

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ステップ 4.1

$y - 2$ が $0$ に等しいとします。

$y - 2 = 0$

ステップ 4.2

方程式の両辺に $2$ を足します。

$y = 2$

ステップ 5

$y + 1$ を $0$ に等しくし、 $y$ を解きます。

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ステップ 5.1

$y + 1$ が $0$ に等しいとします。

$y + 1 = 0$

ステップ 5.2

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$y = - 1$

ステップ 6

最終解は $- (y - 2) (y + 1) = 0$ を真にするすべての値です。

$y = 2, - 1$

微分積分学準備 例

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