微分積分学準備例

$g (x) = 3 x^{2} e^{2 x}$

ステップ 1

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x^{2} e^{2 x}$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x^{2} e^{2 x}]$ です。

$3 \frac{d}{d x} [x^{2} e^{2 x}]$

ステップ 2

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = e^{2 x}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$3 (x^{2} \frac{d}{d x} [e^{2 x}] + e^{2 x} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

ステップ 3

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = 2 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $2 x$ とします。

$3 (x^{2} (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [2 x]) + e^{2 x} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

ステップ 3.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ は $a^{u} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$3 (x^{2} (e^{u} \frac{d}{d x} [2 x]) + e^{2 x} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

ステップ 3.3

$u$ のすべての発生を $2 x$ で置き換えます。

$3 (x^{2} (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x]) + e^{2 x} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

ステップ 4

微分します。

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ステップ 4.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$3 (x^{2} (e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x])) + e^{2 x} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

ステップ 4.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 (x^{2} (e^{2 x} (2 \cdot 1)) + e^{2 x} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

ステップ 4.3

式を簡約します。

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ステップ 4.3.1

$2$ に $1$ をかけます。

$3 (x^{2} (e^{2 x} \cdot 2) + e^{2 x} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

ステップ 4.3.2

$2$ を $e^{2 x}$ の左に移動させます。

$3 (x^{2} (2 \cdot e^{2 x}) + e^{2 x} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

ステップ 4.4

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 (x^{2} (2 e^{2 x}) + e^{2 x} (2 x))$

ステップ 5

簡約します。

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ステップ 5.1

分配則を当てはめます。

$3 (x^{2} (2 e^{2 x})) + 3 (e^{2 x} (2 x))$

ステップ 5.2

項をまとめます。

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ステップ 5.2.1

$2$ に $3$ をかけます。

$6 (x^{2} (e^{2 x})) + 3 (e^{2 x} (2 x))$

ステップ 5.2.2

$2$ に $3$ をかけます。

$6 x^{2} e^{2 x} + 6 e^{2 x} x$

ステップ 5.3

項を並べ替えます。

$6 e^{2 x} x^{2} + 6 e^{2 x} x$

ステップ 5.4

$6 e^{2 x} x^{2} + 6 e^{2 x} x$ の因数を並べ替えます。

$6 x^{2} e^{2 x} + 6 x e^{2 x}$

微分積分学準備 例

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