微分積分学準備例

$x^{2} - 3 y^{2} - 8 x + 12 y + 16 = 0$

ステップ 1

双曲線の標準形を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

方程式の両辺から $16$ を引きます。

$x^{2} - 3 y^{2} - 8 x + 12 y = - 16$

ステップ 1.2

$x^{2} - 8 x$ の平方完成。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

式 $a x^{2} + b x + c$ を利用して、 $a$ 、 $b$ 、 $c$ の値を求めます。

$a = 1$

$b = - 8$

$c = 0$

ステップ 1.2.2

放物線の標準形を考えます。

$a {(x + d)}^{2} + e$

ステップ 1.2.3

公式 $d = \frac{b}{2 a}$ を利用して $d$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.3.1

$a$ と $b$ の値を公式 $d = \frac{b}{2 a}$ に代入します。

$d = \frac{- 8}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.2.3.2

$- 8$ と $2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.3.2.1

$2$ を $- 8$ で因数分解します。

$d = \frac{2 \cdot - 4}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.2.3.2.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.3.2.2.1

$2$ を $2 \cdot 1$ で因数分解します。

$d = \frac{2 \cdot - 4}{2 (1)}$

ステップ 1.2.3.2.2.2

共通因数を約分します。

$d = \frac{2 \cdot - 4}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.2.3.2.2.3

式を書き換えます。

$d = \frac{- 4}{1}$

ステップ 1.2.3.2.2.4

$- 4$ を $1$ で割ります。

$d = - 4$

ステップ 1.2.4

公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ を利用して $e$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.4.1

$c$ 、 $b$ 、および $a$ の値を公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ に代入します。

$e = 0 - \frac{{(- 8)}^{2}}{4 \cdot 1}$

ステップ 1.2.4.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.4.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.4.2.1.1

$- 8$ を $2$ 乗します。

$e = 0 - \frac{64}{4 \cdot 1}$

ステップ 1.2.4.2.1.2

$4$ に $1$ をかけます。

$e = 0 - \frac{64}{4}$

ステップ 1.2.4.2.1.3

$64$ を $4$ で割ります。

$e = 0 - 1 \cdot 16$

ステップ 1.2.4.2.1.4

$- 1$ に $16$ をかけます。

$e = 0 - 16$

ステップ 1.2.4.2.2

$0$ から $16$ を引きます。

$e = - 16$

ステップ 1.2.5

$a$ 、 $d$ 、および $e$ の値を頂点形 ${(x - 4)}^{2} - 16$ に代入します。

${(x - 4)}^{2} - 16$

ステップ 1.3

${(x - 4)}^{2} - 16$ を方程式 $x^{2} - 3 y^{2} - 8 x + 12 y = - 16$ の中の $x^{2} - 8 x$ に代入します。

${(x - 4)}^{2} - 16 - 3 y^{2} + 12 y = - 16$

ステップ 1.4

両辺に $16$ を加えて、 $- 16$ を方程式の右辺に移動させます。

${(x - 4)}^{2} - 3 y^{2} + 12 y = - 16 + 16$

ステップ 1.5

$- 3 y^{2} + 12 y$ の平方完成。

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ステップ 1.5.1

式 $a x^{2} + b x + c$ を利用して、 $a$ 、 $b$ 、 $c$ の値を求めます。

$a = - 3$

$b = 12$

$c = 0$

ステップ 1.5.2

放物線の標準形を考えます。

$a {(x + d)}^{2} + e$

ステップ 1.5.3

公式 $d = \frac{b}{2 a}$ を利用して $d$ の値を求めます。

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ステップ 1.5.3.1

$a$ と $b$ の値を公式 $d = \frac{b}{2 a}$ に代入します。

$d = \frac{12}{2 \cdot - 3}$

ステップ 1.5.3.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.3.2.1

$12$ と $2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.3.2.1.1

$2$ を $12$ で因数分解します。

$d = \frac{2 \cdot 6}{2 \cdot - 3}$

ステップ 1.5.3.2.1.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.3.2.1.2.1

$2$ を $2 \cdot - 3$ で因数分解します。

$d = \frac{2 \cdot 6}{2 (- 3)}$

ステップ 1.5.3.2.1.2.2

共通因数を約分します。

$d = \frac{2 \cdot 6}{2 \cdot - 3}$

ステップ 1.5.3.2.1.2.3

式を書き換えます。

$d = \frac{6}{- 3}$

ステップ 1.5.3.2.2

$6$ と $- 3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.3.2.2.1

$3$ を $6$ で因数分解します。

$d = \frac{3 (2)}{- 3}$

ステップ 1.5.3.2.2.2

$\frac{2}{- 1}$ の分母からマイナス1を移動させます。

$d = - 1 \cdot 2$

ステップ 1.5.3.2.3

$- 1$ に $2$ をかけます。

$d = - 2$

ステップ 1.5.4

公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ を利用して $e$ の値を求めます。

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ステップ 1.5.4.1

$c$ 、 $b$ 、および $a$ の値を公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ に代入します。

$e = 0 - \frac{12^{2}}{4 \cdot - 3}$

ステップ 1.5.4.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.4.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.4.2.1.1

$12$ を $2$ 乗します。

$e = 0 - \frac{144}{4 \cdot - 3}$

ステップ 1.5.4.2.1.2

$4$ に $- 3$ をかけます。

$e = 0 - \frac{144}{- 12}$

ステップ 1.5.4.2.1.3

$144$ を $- 12$ で割ります。

$e = 0 - - 12$

ステップ 1.5.4.2.1.4

$- 1$ に $- 12$ をかけます。

$e = 0 + 12$

ステップ 1.5.4.2.2

$0$ と $12$ をたし算します。

$e = 12$

ステップ 1.5.5

$a$ 、 $d$ 、および $e$ の値を頂点形 $- 3 {(y - 2)}^{2} + 12$ に代入します。

$- 3 {(y - 2)}^{2} + 12$

ステップ 1.6

$- 3 {(y - 2)}^{2} + 12$ を方程式 $x^{2} - 3 y^{2} - 8 x + 12 y = - 16$ の中の $- 3 y^{2} + 12 y$ に代入します。

${(x - 4)}^{2} - 3 {(y - 2)}^{2} + 12 = - 16 + 16$

ステップ 1.7

両辺に $12$ を加えて、 $12$ を方程式の右辺に移動させます。

${(x - 4)}^{2} - 3 {(y - 2)}^{2} = - 16 + 16 - 12$

ステップ 1.8

$- 16 + 16 - 12$ を簡約します。

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ステップ 1.8.1

$- 16$ と $16$ をたし算します。

${(x - 4)}^{2} - 3 {(y - 2)}^{2} = 0 - 12$

ステップ 1.8.2

$0$ から $12$ を引きます。

${(x - 4)}^{2} - 3 {(y - 2)}^{2} = - 12$

ステップ 1.9

方程式の各項の符号を反転させ、右辺の項が正となるようにする。

$- {(x - 4)}^{2} + 3 {(y - 2)}^{2} = 12$

ステップ 1.10

各項を $12$ で割り、右辺を1と等しくします。

$- \frac{{(x - 4)}^{2}}{12} + \frac{3 {(y - 2)}^{2}}{12} = \frac{12}{12}$

ステップ 1.11

方程式の各項を簡約し、右辺を $1$ に等しくします。楕円または双曲線の標準形は、方程式の右辺が $1$ に等しいことが必要です。

$\frac{{(y - 2)}^{2}}{4} - \frac{{(x - 4)}^{2}}{12} = 1$

ステップ 2

双曲線の形です。この形を利用して、双曲線の頂点と漸近線を求めるために使用する値を決定します。

$\frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} = 1$

ステップ 3

この双曲線の中の値を標準形の値と一致させます。変数 $h$ は原点からのx補正値を、 $k$ は原点 $a$ からのy補正値を表します。

$a = 2$

$b = 2 \sqrt{3}$

$k = 2$

$h = 4$

ステップ 4

双曲線の中心は $(h, k)$ の形に従います。 $h$ と $k$ の値に代入します。

$(4, 2)$

ステップ 5

中心から焦点までの距離 $c$ を求めます。

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ステップ 5.1

次の式を利用して双曲線の中心から焦点までの距離を求めます。

$\sqrt{a^{2} + b^{2}}$

ステップ 5.2

$a$ と $b$ の値を公式に代入します。

$\sqrt{{(2)}^{2} + {(2 \sqrt{3})}^{2}}$

ステップ 5.3

簡約します。

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ステップ 5.3.1

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.1.1

$2$ を $2$ 乗します。

$\sqrt{4 + {(2 \sqrt{3})}^{2}}$

ステップ 5.3.1.2

積の法則を $2 \sqrt{3}$ に当てはめます。

$\sqrt{4 + 2^{2} {\sqrt{3}}^{2}}$

ステップ 5.3.1.3

$2$ を $2$ 乗します。

$\sqrt{4 + 4 {\sqrt{3}}^{2}}$

ステップ 5.3.2

${\sqrt{3}}^{2}$ を $3$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{3}$ を $3^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\sqrt{4 + 4 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 5.3.2.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\sqrt{4 + 4 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

ステップ 5.3.2.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\sqrt{4 + 4 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 5.3.2.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.2.4.1

共通因数を約分します。

$\sqrt{4 + 4 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 5.3.2.4.2

式を書き換えます。

$\sqrt{4 + 4 \cdot 3^{1}}$

ステップ 5.3.2.5

指数を求めます。

$\sqrt{4 + 4 \cdot 3}$

ステップ 5.3.3

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.3.1

$4$ に $3$ をかけます。

$\sqrt{4 + 12}$

ステップ 5.3.3.2

$4$ と $12$ をたし算します。

$\sqrt{16}$

ステップ 5.3.3.3

$16$ を $4^{2}$ に書き換えます。

$\sqrt{4^{2}}$

ステップ 5.3.3.4

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$4$

ステップ 6

対頂点を求めます。

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ステップ 6.1

双曲線の1番目の頂点は、 $a$ を $k$ に加えることで求められます。

$(h, k + a)$

ステップ 6.2

$h$ と $a$ 、および $k$ の既知数を公式に代入し、簡約します。

$(4, 4)$

ステップ 6.3

双曲線の2番目の頂点は、 $k$ から $a$ を引くことで求められます。

$(h, k - a)$

ステップ 6.4

$h$ と $a$ 、および $k$ の既知数を公式に代入し、簡約します。

$(4, 0)$

ステップ 6.5

双曲線の交点は $(h, k \pm a)$ の形をとります。双曲線は2つの頂点をもちます。

$(4, 4), (4, 0)$

ステップ 7

焦点を求めます。

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ステップ 7.1

双曲線の1番目の焦点は、 $c$ を $k$ に加えることで求められます。

$(h, k + c)$

ステップ 7.2

$h$ と $c$ 、および $k$ の既知数を公式に代入し、簡約します。

$(4, 6)$

ステップ 7.3

双曲線の2番目の焦点は、 $k$ から $c$ を引くことで求められます。

$(h, k - c)$

ステップ 7.4

$h$ と $c$ 、および $k$ の既知数を公式に代入し、簡約します。

$(4, - 2)$

ステップ 7.5

双曲線の焦点は $(h, k \pm \sqrt{a^{2} + b^{2}})$ の形をとります。双曲線は2つの焦点をもちます。

$(4, 6), (4, - 2)$

ステップ 8

離心率を求めます。

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ステップ 8.1

次の公式を利用して離心率を求めます。

$\frac{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}{a}$

ステップ 8.2

$a$ と $b$ の値を公式に代入します。

$\frac{\sqrt{{(2)}^{2} + {(2 \sqrt{3})}^{2}}}{2}$

ステップ 8.3

簡約します。

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ステップ 8.3.1

分子を簡約します。

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ステップ 8.3.1.1

$2$ を $2$ 乗します。

$\frac{\sqrt{4 + {(2 \sqrt{3})}^{2}}}{2}$

ステップ 8.3.1.2

積の法則を $2 \sqrt{3}$ に当てはめます。

$\frac{\sqrt{4 + 2^{2} {\sqrt{3}}^{2}}}{2}$

ステップ 8.3.1.3

$2$ を $2$ 乗します。

$\frac{\sqrt{4 + 4 {\sqrt{3}}^{2}}}{2}$

ステップ 8.3.1.4

${\sqrt{3}}^{2}$ を $3$ に書き換えます。

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ステップ 8.3.1.4.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{3}$ を $3^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{\sqrt{4 + 4 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}}{2}$

ステップ 8.3.1.4.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{\sqrt{4 + 4 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}}{2}$

ステップ 8.3.1.4.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\frac{\sqrt{4 + 4 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}}{2}$

ステップ 8.3.1.4.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.1.4.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{\sqrt{4 + 4 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}}{2}$

ステップ 8.3.1.4.4.2

式を書き換えます。

$\frac{\sqrt{4 + 4 \cdot 3^{1}}}{2}$

ステップ 8.3.1.4.5

指数を求めます。

$\frac{\sqrt{4 + 4 \cdot 3}}{2}$

ステップ 8.3.1.5

$4$ に $3$ をかけます。

$\frac{\sqrt{4 + 12}}{2}$

ステップ 8.3.1.6

$4$ と $12$ をたし算します。

$\frac{\sqrt{16}}{2}$

ステップ 8.3.1.7

$16$ を $4^{2}$ に書き換えます。

$\frac{\sqrt{4^{2}}}{2}$

ステップ 8.3.1.8

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$\frac{4}{2}$

ステップ 8.3.2

$4$ を $2$ で割ります。

$2$

ステップ 9

焦点パラメーターを求めます。

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ステップ 9.1

次の公式を利用して双曲線の焦点パラメータの値を求めます。

$\frac{b^{2}}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$

ステップ 9.2

$b$ と $\sqrt{a^{2} + b^{2}}$ の値を公式に代入します。

$\frac{2 {\sqrt{3}}^{2}}{4}$

ステップ 9.3

簡約します。

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ステップ 9.3.1

$2$ と $4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 9.3.1.1

$2$ を $2 {\sqrt{3}}^{2}$ で因数分解します。

$\frac{2 ({\sqrt{3}}^{2})}{4}$

ステップ 9.3.1.2

共通因数を約分します。

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ステップ 9.3.1.2.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

$\frac{2 {\sqrt{3}}^{2}}{2 \cdot 2}$

ステップ 9.3.1.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{2 {\sqrt{3}}^{2}}{2 \cdot 2}$

ステップ 9.3.1.2.3

式を書き換えます。

$\frac{{\sqrt{3}}^{2}}{2}$

ステップ 9.3.2

${\sqrt{3}}^{2}$ を $3$ に書き換えます。

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ステップ 9.3.2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{3}$ を $3^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2}$

ステップ 9.3.2.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2}$

ステップ 9.3.2.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\frac{3^{\frac{2}{2}}}{2}$

ステップ 9.3.2.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 9.3.2.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{3^{\frac{2}{2}}}{2}$

ステップ 9.3.2.4.2

式を書き換えます。

$\frac{3^{1}}{2}$

ステップ 9.3.2.5

指数を求めます。

$\frac{3}{2}$

ステップ 10

この双曲線は上下に開なので、漸近線は $y = \pm \frac{a (x - h)}{b} + k$ の形に従います。

$y = \pm \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot (x - (4)) + 2$

ステップ 11

簡約し、1番目の漸近線を求めます。

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ステップ 11.1

括弧を削除します。

$y = \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot (x - (4)) + 2$

ステップ 11.2

各項を簡約します。

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ステップ 11.2.1

$- 1$ に $4$ をかけます。

$y = \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot (x - 4) + 2$

ステップ 11.2.2

分配則を当てはめます。

$y = \frac{\sqrt{3}}{3} x + \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot - 4 + 2$

ステップ 11.2.3

$\frac{\sqrt{3}}{3}$ と $x$ をまとめます。

$y = \frac{\sqrt{3} x}{3} + \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot - 4 + 2$

ステップ 11.2.4

$\frac{\sqrt{3}}{3}$ と $- 4$ をまとめます。

$y = \frac{\sqrt{3} x}{3} + \frac{\sqrt{3} \cdot - 4}{3} + 2$

ステップ 11.2.5

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.5.1

$- 4$ を $\sqrt{3}$ の左に移動させます。

$y = \frac{\sqrt{3} x}{3} + \frac{- 4 \sqrt{3}}{3} + 2$

ステップ 11.2.5.2

分数の前に負数を移動させます。

$y = \frac{\sqrt{3} x}{3} - \frac{4 \sqrt{3}}{3} + 2$

ステップ 12

簡約し、2番目の漸近線を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1

括弧を削除します。

$y = - \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot (x - (4)) + 2$

ステップ 12.2

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.2.1

$- 1$ に $4$ をかけます。

$y = - \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot (x - 4) + 2$

ステップ 12.2.2

分配則を当てはめます。

$y = - \frac{\sqrt{3}}{3} x - \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot - 4 + 2$

ステップ 12.2.3

$x$ と $\frac{\sqrt{3}}{3}$ をまとめます。

$y = - \frac{x \sqrt{3}}{3} - \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot - 4 + 2$

ステップ 12.2.4

$- \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot - 4$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.2.4.1

$- 4$ に $- 1$ をかけます。

$y = - \frac{x \sqrt{3}}{3} + 4 \frac{\sqrt{3}}{3} + 2$

ステップ 12.2.4.2

$4$ と $\frac{\sqrt{3}}{3}$ をまとめます。

$y = - \frac{x \sqrt{3}}{3} + \frac{4 \sqrt{3}}{3} + 2$

ステップ 13

この双曲線には2本の漸近線があります。

$y = \frac{\sqrt{3} x}{3} - \frac{4 \sqrt{3}}{3} + 2, y = - \frac{x \sqrt{3}}{3} + \frac{4 \sqrt{3}}{3} + 2$

ステップ 14

これらの値は双曲線をグラフ化し、解析するための重要な値を表しています。

中心： $(4, 2)$

頂点： $(4, 4), (4, 0)$

焦点： $(4, 6), (4, - 2)$

偏心： $2$

焦点のパラメータ： $\frac{3}{2}$

漸近線： $y = \frac{\sqrt{3} x}{3} - \frac{4 \sqrt{3}}{3} + 2$ 、 $y = - \frac{x \sqrt{3}}{3} + \frac{4 \sqrt{3}}{3} + 2$

ステップ 15

微分積分学準備 例

微分積分学準備例