微分積分学準備例

${(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} i)}^{3}$

ステップ 1

$\frac{\sqrt{3}}{2}$ と $i$ をまとめます。

${(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2})}^{3}$

ステップ 2

二項定理を利用します。

${(\frac{1}{2})}^{3} + 3 {(\frac{1}{2})}^{2} \frac{\sqrt{3} i}{2} + 3 (\frac{1}{2}) {(\frac{\sqrt{3} i}{2})}^{2} + {(\frac{\sqrt{3} i}{2})}^{3}$

ステップ 3

項を簡約します。

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ステップ 3.1

各項を簡約します。

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ステップ 3.1.1

積の法則を $\frac{1}{2}$ に当てはめます。

$\frac{1^{3}}{2^{3}} + 3 {(\frac{1}{2})}^{2} \frac{\sqrt{3} i}{2} + 3 (\frac{1}{2}) {(\frac{\sqrt{3} i}{2})}^{2} + {(\frac{\sqrt{3} i}{2})}^{3}$

ステップ 3.1.2

1のすべての数の累乗は1です。

$\frac{1}{2^{3}} + 3 {(\frac{1}{2})}^{2} \frac{\sqrt{3} i}{2} + 3 (\frac{1}{2}) {(\frac{\sqrt{3} i}{2})}^{2} + {(\frac{\sqrt{3} i}{2})}^{3}$

ステップ 3.1.3

$2$ を $3$ 乗します。

$\frac{1}{8} + 3 {(\frac{1}{2})}^{2} \frac{\sqrt{3} i}{2} + 3 (\frac{1}{2}) {(\frac{\sqrt{3} i}{2})}^{2} + {(\frac{\sqrt{3} i}{2})}^{3}$

ステップ 3.1.4

積の法則を $\frac{1}{2}$ に当てはめます。

$\frac{1}{8} + 3 \frac{1^{2}}{2^{2}} \frac{\sqrt{3} i}{2} + 3 (\frac{1}{2}) {(\frac{\sqrt{3} i}{2})}^{2} + {(\frac{\sqrt{3} i}{2})}^{3}$

ステップ 3.1.5

1のすべての数の累乗は1です。

$\frac{1}{8} + 3 \frac{1}{2^{2}} \frac{\sqrt{3} i}{2} + 3 (\frac{1}{2}) {(\frac{\sqrt{3} i}{2})}^{2} + {(\frac{\sqrt{3} i}{2})}^{3}$

ステップ 3.1.6

$2$ を $2$ 乗します。

$\frac{1}{8} + 3 (\frac{1}{4}) \frac{\sqrt{3} i}{2} + 3 (\frac{1}{2}) {(\frac{\sqrt{3} i}{2})}^{2} + {(\frac{\sqrt{3} i}{2})}^{3}$

ステップ 3.1.7

$3$ と $\frac{1}{4}$ をまとめます。

$\frac{1}{8} + \frac{3}{4} \cdot \frac{\sqrt{3} i}{2} + 3 (\frac{1}{2}) {(\frac{\sqrt{3} i}{2})}^{2} + {(\frac{\sqrt{3} i}{2})}^{3}$

ステップ 3.1.8

$\frac{3}{4} \cdot \frac{\sqrt{3} i}{2}$ を掛けます。

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ステップ 3.1.8.1

$\frac{3}{4}$ に $\frac{\sqrt{3} i}{2}$ をかけます。

$\frac{1}{8} + \frac{3 (\sqrt{3} i)}{4 \cdot 2} + 3 (\frac{1}{2}) {(\frac{\sqrt{3} i}{2})}^{2} + {(\frac{\sqrt{3} i}{2})}^{3}$

ステップ 3.1.8.2

$4$ に $2$ をかけます。

$\frac{1}{8} + \frac{3 (\sqrt{3} i)}{8} + 3 (\frac{1}{2}) {(\frac{\sqrt{3} i}{2})}^{2} + {(\frac{\sqrt{3} i}{2})}^{3}$

ステップ 3.1.9

$3$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$\frac{1}{8} + \frac{3 \sqrt{3} i}{8} + \frac{3}{2} {(\frac{\sqrt{3} i}{2})}^{2} + {(\frac{\sqrt{3} i}{2})}^{3}$

ステップ 3.1.10

べき乗則 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ を利用して指数を分配します。

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ステップ 3.1.10.1

積の法則を $\frac{\sqrt{3} i}{2}$ に当てはめます。

$\frac{1}{8} + \frac{3 \sqrt{3} i}{8} + \frac{3}{2} \cdot \frac{{(\sqrt{3} i)}^{2}}{2^{2}} + {(\frac{\sqrt{3} i}{2})}^{3}$

ステップ 3.1.10.2

積の法則を $\sqrt{3} i$ に当てはめます。

$\frac{1}{8} + \frac{3 \sqrt{3} i}{8} + \frac{3}{2} \cdot \frac{{\sqrt{3}}^{2} i^{2}}{2^{2}} + {(\frac{\sqrt{3} i}{2})}^{3}$

ステップ 3.1.11

まとめる。

$\frac{1}{8} + \frac{3 \sqrt{3} i}{8} + \frac{3 ({\sqrt{3}}^{2} i^{2})}{2 \cdot 2^{2}} + {(\frac{\sqrt{3} i}{2})}^{3}$

ステップ 3.1.12

指数を足して $2$ に $2^{2}$ を掛けます。

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ステップ 3.1.12.1

$2$ に $2^{2}$ をかけます。

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ステップ 3.1.12.1.1

$2$ を $1$ 乗します。

$\frac{1}{8} + \frac{3 \sqrt{3} i}{8} + \frac{3 ({\sqrt{3}}^{2} i^{2})}{2^{1} \cdot 2^{2}} + {(\frac{\sqrt{3} i}{2})}^{3}$

ステップ 3.1.12.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{1}{8} + \frac{3 \sqrt{3} i}{8} + \frac{3 ({\sqrt{3}}^{2} i^{2})}{2^{1 + 2}} + {(\frac{\sqrt{3} i}{2})}^{3}$

ステップ 3.1.12.2

$1$ と $2$ をたし算します。

$\frac{1}{8} + \frac{3 \sqrt{3} i}{8} + \frac{3 ({\sqrt{3}}^{2} i^{2})}{2^{3}} + {(\frac{\sqrt{3} i}{2})}^{3}$

ステップ 3.1.13

分子を簡約します。

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ステップ 3.1.13.1

${\sqrt{3}}^{2}$ を $3$ に書き換えます。

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ステップ 3.1.13.1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{3}$ を $3^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{1}{8} + \frac{3 \sqrt{3} i}{8} + \frac{3 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} i^{2}}{2^{3}} + {(\frac{\sqrt{3} i}{2})}^{3}$

ステップ 3.1.13.1.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{1}{8} + \frac{3 \sqrt{3} i}{8} + \frac{3 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2} i^{2}}{2^{3}} + {(\frac{\sqrt{3} i}{2})}^{3}$

ステップ 3.1.13.1.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\frac{1}{8} + \frac{3 \sqrt{3} i}{8} + \frac{3 \cdot 3^{\frac{2}{2}} i^{2}}{2^{3}} + {(\frac{\sqrt{3} i}{2})}^{3}$

ステップ 3.1.13.1.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.1.13.1.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{1}{8} + \frac{3 \sqrt{3} i}{8} + \frac{3 \cdot 3^{\frac{2}{2}} i^{2}}{2^{3}} + {(\frac{\sqrt{3} i}{2})}^{3}$

ステップ 3.1.13.1.4.2

式を書き換えます。

$\frac{1}{8} + \frac{3 \sqrt{3} i}{8} + \frac{3 \cdot 3^{1} i^{2}}{2^{3}} + {(\frac{\sqrt{3} i}{2})}^{3}$

ステップ 3.1.13.1.5

指数を求めます。

$\frac{1}{8} + \frac{3 \sqrt{3} i}{8} + \frac{3 \cdot 3 i^{2}}{2^{3}} + {(\frac{\sqrt{3} i}{2})}^{3}$

ステップ 3.1.13.2

$i^{2}$ を $- 1$ に書き換えます。

$\frac{1}{8} + \frac{3 \sqrt{3} i}{8} + \frac{3 \cdot 3 \cdot - 1}{2^{3}} + {(\frac{\sqrt{3} i}{2})}^{3}$

ステップ 3.1.13.3

指数をまとめます。

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ステップ 3.1.13.3.1

$3$ に $3$ をかけます。

$\frac{1}{8} + \frac{3 \sqrt{3} i}{8} + \frac{9 \cdot - 1}{2^{3}} + {(\frac{\sqrt{3} i}{2})}^{3}$

ステップ 3.1.13.3.2

$9$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{1}{8} + \frac{3 \sqrt{3} i}{8} + \frac{- 9}{2^{3}} + {(\frac{\sqrt{3} i}{2})}^{3}$

ステップ 3.1.14

$2$ を $3$ 乗します。

$\frac{1}{8} + \frac{3 \sqrt{3} i}{8} + \frac{- 9}{8} + {(\frac{\sqrt{3} i}{2})}^{3}$

ステップ 3.1.15

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{1}{8} + \frac{3 \sqrt{3} i}{8} - \frac{9}{8} + {(\frac{\sqrt{3} i}{2})}^{3}$

ステップ 3.1.16

べき乗則 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ を利用して指数を分配します。

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ステップ 3.1.16.1

積の法則を $\frac{\sqrt{3} i}{2}$ に当てはめます。

$\frac{1}{8} + \frac{3 \sqrt{3} i}{8} - \frac{9}{8} + \frac{{(\sqrt{3} i)}^{3}}{2^{3}}$

ステップ 3.1.16.2

積の法則を $\sqrt{3} i$ に当てはめます。

$\frac{1}{8} + \frac{3 \sqrt{3} i}{8} - \frac{9}{8} + \frac{{\sqrt{3}}^{3} i^{3}}{2^{3}}$

ステップ 3.1.17

分子を簡約します。

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ステップ 3.1.17.1

${\sqrt{3}}^{3}$ を $\sqrt{3^{3}}$ に書き換えます。

$\frac{1}{8} + \frac{3 \sqrt{3} i}{8} - \frac{9}{8} + \frac{\sqrt{3^{3}} i^{3}}{2^{3}}$

ステップ 3.1.17.2

$3$ を $3$ 乗します。

$\frac{1}{8} + \frac{3 \sqrt{3} i}{8} - \frac{9}{8} + \frac{\sqrt{27} i^{3}}{2^{3}}$

ステップ 3.1.17.3

$27$ を $3^{2} \cdot 3$ に書き換えます。

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ステップ 3.1.17.3.1

$9$ を $27$ で因数分解します。

$\frac{1}{8} + \frac{3 \sqrt{3} i}{8} - \frac{9}{8} + \frac{\sqrt{9 (3)} i^{3}}{2^{3}}$

ステップ 3.1.17.3.2

$9$ を $3^{2}$ に書き換えます。

$\frac{1}{8} + \frac{3 \sqrt{3} i}{8} - \frac{9}{8} + \frac{\sqrt{3^{2} \cdot 3} i^{3}}{2^{3}}$

ステップ 3.1.17.4

累乗根の下から項を取り出します。

$\frac{1}{8} + \frac{3 \sqrt{3} i}{8} - \frac{9}{8} + \frac{3 \sqrt{3} i^{3}}{2^{3}}$

ステップ 3.1.17.5

$i^{2}$ を因数分解します。

$\frac{1}{8} + \frac{3 \sqrt{3} i}{8} - \frac{9}{8} + \frac{3 \sqrt{3} (i^{2} \cdot i)}{2^{3}}$

ステップ 3.1.17.6

$i^{2}$ を $- 1$ に書き換えます。

$\frac{1}{8} + \frac{3 \sqrt{3} i}{8} - \frac{9}{8} + \frac{3 \sqrt{3} (- 1 \cdot i)}{2^{3}}$

ステップ 3.1.17.7

$- 1 i$ を $- i$ に書き換えます。

$\frac{1}{8} + \frac{3 \sqrt{3} i}{8} - \frac{9}{8} + \frac{3 \sqrt{3} \cdot - 1 i}{2^{3}}$

ステップ 3.1.17.8

指数をまとめます。

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ステップ 3.1.17.8.1

負をくくり出します。

$\frac{1}{8} + \frac{3 \sqrt{3} i}{8} - \frac{9}{8} + \frac{- (3 \sqrt{3} i)}{2^{3}}$

ステップ 3.1.17.8.2

$3$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{1}{8} + \frac{3 \sqrt{3} i}{8} - \frac{9}{8} + \frac{- 3 (\sqrt{3} i)}{2^{3}}$

$\frac{1}{8} + \frac{3 \sqrt{3} i}{8} - \frac{9}{8} + \frac{- 3 \sqrt{3} i}{2^{3}}$

ステップ 3.1.18

$2$ を $3$ 乗します。

$\frac{1}{8} + \frac{3 \sqrt{3} i}{8} - \frac{9}{8} + \frac{- 3 \sqrt{3} i}{8}$

ステップ 3.1.19

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{1}{8} + \frac{3 \sqrt{3} i}{8} - \frac{9}{8} - \frac{3 \sqrt{3} i}{8}$

ステップ 3.2

項を簡約します。

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ステップ 3.2.1

公分母の分子をまとめます。

$\frac{1 + 3 \sqrt{3} i - 9 - 3 \sqrt{3} i}{8}$

ステップ 3.2.2

$1$ から $9$ を引きます。

$\frac{3 \sqrt{3} i - 8 - 3 \sqrt{3} i}{8}$

ステップ 3.2.3

$3 \sqrt{3} i$ から $3 \sqrt{3} i$ を引きます。

$\frac{0 - 8}{8}$

ステップ 3.2.4

式を簡約します。

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ステップ 3.2.4.1

$0$ から $8$ を引きます。

$\frac{- 8}{8}$

ステップ 3.2.4.2

$- 8$ を $8$ で割ります。

$- 1$

微分積分学準備 例

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