微分積分学準備例

$\ln (\frac{x - 1}{x}) + \ln (\frac{x}{x + 1}) - \ln (x^{2} - 1)$

ステップ 1

対数の積の性質を使います、 $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ です。

$\ln (\frac{x - 1}{x} \cdot \frac{x}{x + 1}) - \ln (x^{2} - 1)$

ステップ 2

対数の商の性質を使います、 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ です。

$\ln (\frac{\frac{x - 1}{x} \cdot \frac{x}{x + 1}}{x^{2} - 1})$

ステップ 3

$\frac{x - 1}{x}$ に $\frac{x}{x + 1}$ をかけます。

$\ln (\frac{\frac{(x - 1) x}{x (x + 1)}}{x^{2} - 1})$

ステップ 4

分母を簡約します。

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ステップ 4.1

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$\ln (\frac{\frac{(x - 1) x}{x (x + 1)}}{x^{2} - 1^{2}})$

ステップ 4.2

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = x$ であり、 $b = 1$ です。

$\ln (\frac{\frac{(x - 1) x}{x (x + 1)}}{(x + 1) (x - 1)})$

ステップ 5

今日数因数で約分することで式 $\frac{(x - 1) x}{x (x + 1)}$ を約分します。

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ステップ 5.1

共通因数を約分します。

$\ln (\frac{\frac{(x - 1) x}{x (x + 1)}}{(x + 1) (x - 1)})$

ステップ 5.2

式を書き換えます。

$\ln (\frac{\frac{x - 1}{x + 1}}{(x + 1) (x - 1)})$

ステップ 6

分子に分母の逆数を掛けます。

$\ln (\frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{1}{(x + 1) (x - 1)})$

ステップ 7

$x - 1$ の共通因数を約分します。

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ステップ 7.1

$x - 1$ を $(x + 1) (x - 1)$ で因数分解します。

$\ln (\frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{1}{(x - 1) (x + 1)})$

ステップ 7.2

共通因数を約分します。

$\ln (\frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{1}{(x - 1) (x + 1)})$

ステップ 7.3

式を書き換えます。

$\ln (\frac{1}{x + 1} \cdot \frac{1}{x + 1})$

ステップ 8

$\frac{1}{x + 1}$ に $\frac{1}{x + 1}$ をかけます。

$\ln (\frac{1}{(x + 1) (x + 1)})$

ステップ 9

$x + 1$ を $1$ 乗します。

$\ln (\frac{1}{{(x + 1)}^{1} (x + 1)})$

ステップ 10

$x + 1$ を $1$ 乗します。

$\ln (\frac{1}{{(x + 1)}^{1} {(x + 1)}^{1}})$

ステップ 11

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\ln (\frac{1}{{(x + 1)}^{1 + 1}})$

ステップ 12

$1$ と $1$ をたし算します。

$\ln (\frac{1}{{(x + 1)}^{2}})$

微分積分学準備 例

微分積分学準備例