微分積分学準備例

$2 x^{4} - 13 x^{3} - 16 x^{2} + 243 x - 116$

ステップ 1

$2 x^{4} - 13 x^{3} - 16 x^{2} + 243 x - 116$ が $0$ に等しいとします。

$2 x^{4} - 13 x^{3} - 16 x^{2} + 243 x - 116 = 0$

ステップ 2

$x$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

方程式の左辺を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1

有理根検定を用いて $2 x^{4} - 13 x^{3} - 16 x^{2} + 243 x - 116$ を因数分解します。

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ステップ 2.1.1.1

多項式関数が整数係数をもつならば、すべての有理数0は $\frac{p}{q}$ の形をもち、 $p$ は定数の因数、 $q$ は首位係数の因数です。

$p = \pm 1, \pm 116, \pm 2, \pm 58, \pm 4, \pm 29$

$q = \pm 1, \pm 2$

ステップ 2.1.1.2

$\pm \frac{p}{q}$ のすべての組み合わせを求めます。これらは、多項式関数の可能な根です。

$\pm 1, \pm 0.5, \pm 116, \pm 58, \pm 2, \pm 29, \pm 4, \pm 14.5$

ステップ 2.1.1.3

$0.5$ を代入し、式を簡約します。この場合、式は $0$ に等しいので、 $0.5$ は多項式の根です。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1.3.1

$0.5$ を多項式に代入します。

$2 \cdot {0.5}^{4} - 13 \cdot {0.5}^{3} - 16 \cdot {0.5}^{2} + 243 \cdot 0.5 - 116$

ステップ 2.1.1.3.2

$0.5$ を $4$ 乗します。

$2 \cdot 0.0625 - 13 \cdot {0.5}^{3} - 16 \cdot {0.5}^{2} + 243 \cdot 0.5 - 116$

ステップ 2.1.1.3.3

$2$ に $0.0625$ をかけます。

$0.125 - 13 \cdot {0.5}^{3} - 16 \cdot {0.5}^{2} + 243 \cdot 0.5 - 116$

ステップ 2.1.1.3.4

$0.5$ を $3$ 乗します。

$0.125 - 13 \cdot 0.125 - 16 \cdot {0.5}^{2} + 243 \cdot 0.5 - 116$

ステップ 2.1.1.3.5

$- 13$ に $0.125$ をかけます。

$0.125 - 1.625 - 16 \cdot {0.5}^{2} + 243 \cdot 0.5 - 116$

ステップ 2.1.1.3.6

$0.125$ から $1.625$ を引きます。

$- 1.5 - 16 \cdot {0.5}^{2} + 243 \cdot 0.5 - 116$

ステップ 2.1.1.3.7

$0.5$ を $2$ 乗します。

$- 1.5 - 16 \cdot 0.25 + 243 \cdot 0.5 - 116$

ステップ 2.1.1.3.8

$- 16$ に $0.25$ をかけます。

$- 1.5 - 4 + 243 \cdot 0.5 - 116$

ステップ 2.1.1.3.9

$- 1.5$ から $4$ を引きます。

$- 5.5 + 243 \cdot 0.5 - 116$

ステップ 2.1.1.3.10

$243$ に $0.5$ をかけます。

$- 5.5 + 121.5 - 116$

ステップ 2.1.1.3.11

$- 5.5$ と $121.5$ をたし算します。

$116 - 116$

ステップ 2.1.1.3.12

$116$ から $116$ を引きます。

$0$

ステップ 2.1.1.4

$0.5$ は既知の根なので、多項式を $2 x - 1$ で割り、多項式の商を求めます。この多項式は他の根を求めるために利用できます。

$\frac{2 x^{4} - 13 x^{3} - 16 x^{2} + 243 x - 116}{2 x - 1}$

ステップ 2.1.1.5

$2 x^{4} - 13 x^{3} - 16 x^{2} + 243 x - 116$ を $2 x - 1$ で割ります。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1.5.1

多項式を分割します。すべての指数に項がない場合、 $0$ の値の項を挿入します。

$2 x$

$1$

$2 x^{4}$

$13 x^{3}$

$16 x^{2}$

$243 x$

$116$

ステップ 2.1.1.5.2

被除数 $2 x^{4}$ の最高次項を除数 $2 x$ の最高次項で割ります。

					$x^{3}$
	$2 x$	-	$1$		$2 x^{4}$	-	$13 x^{3}$	-	$16 x^{2}$	+	$243 x$	-	$116$

ステップ 2.1.1.5.3

新しい商の項に除数を掛けます。

				$x^{3}$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{4}$	-	$13 x^{3}$	-	$16 x^{2}$	+	$243 x$	-	$116$
			+	$2 x^{4}$	-	$x^{3}$

ステップ 2.1.1.5.4

式は被除数から引く必要があるので、 $2 x^{4} - x^{3}$ の符号をすべて変更します。

				$x^{3}$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{4}$	-	$13 x^{3}$	-	$16 x^{2}$	+	$243 x$	-	$116$
			-	$2 x^{4}$	+	$x^{3}$

ステップ 2.1.1.5.5

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

				$x^{3}$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{4}$	-	$13 x^{3}$	-	$16 x^{2}$	+	$243 x$	-	$116$
			-	$2 x^{4}$	+	$x^{3}$
					-	$12 x^{3}$

ステップ 2.1.1.5.6

元の被除数から次の項を現在の被除数に引き下げます。

				$x^{3}$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{4}$	-	$13 x^{3}$	-	$16 x^{2}$	+	$243 x$	-	$116$
			-	$2 x^{4}$	+	$x^{3}$
					-	$12 x^{3}$	-	$16 x^{2}$

ステップ 2.1.1.5.7

被除数 $- 12 x^{3}$ の最高次項を除数 $2 x$ の最高次項で割ります。

				$x^{3}$	-	$6 x^{2}$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{4}$	-	$13 x^{3}$	-	$16 x^{2}$	+	$243 x$	-	$116$
			-	$2 x^{4}$	+	$x^{3}$
					-	$12 x^{3}$	-	$16 x^{2}$

ステップ 2.1.1.5.8

新しい商の項に除数を掛けます。

				$x^{3}$	-	$6 x^{2}$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{4}$	-	$13 x^{3}$	-	$16 x^{2}$	+	$243 x$	-	$116$
			-	$2 x^{4}$	+	$x^{3}$
					-	$12 x^{3}$	-	$16 x^{2}$
					-	$12 x^{3}$	+	$6 x^{2}$

ステップ 2.1.1.5.9

式は被除数から引く必要があるので、 $- 12 x^{3} + 6 x^{2}$ の符号をすべて変更します。

				$x^{3}$	-	$6 x^{2}$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{4}$	-	$13 x^{3}$	-	$16 x^{2}$	+	$243 x$	-	$116$
			-	$2 x^{4}$	+	$x^{3}$
					-	$12 x^{3}$	-	$16 x^{2}$
					+	$12 x^{3}$	-	$6 x^{2}$

ステップ 2.1.1.5.10

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

				$x^{3}$	-	$6 x^{2}$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{4}$	-	$13 x^{3}$	-	$16 x^{2}$	+	$243 x$	-	$116$
			-	$2 x^{4}$	+	$x^{3}$
					-	$12 x^{3}$	-	$16 x^{2}$
					+	$12 x^{3}$	-	$6 x^{2}$
							-	$22 x^{2}$

ステップ 2.1.1.5.11

元の被除数から次の項を現在の被除数に引き下げます。

$x^{3}$

$6 x^{2}$

$2 x$

$1$

$2 x^{4}$

$13 x^{3}$

$16 x^{2}$

$243 x$

$116$

$2 x^{4}$

$x^{3}$

$12 x^{3}$

$16 x^{2}$

$12 x^{3}$

$6 x^{2}$

$22 x^{2}$

$243 x$

ステップ 2.1.1.5.12

被除数 $- 22 x^{2}$ の最高次項を除数 $2 x$ の最高次項で割ります。

$x^{3}$

$6 x^{2}$

$11 x$

$2 x$

$1$

$2 x^{4}$

$13 x^{3}$

$16 x^{2}$

$243 x$

$116$

$2 x^{4}$

$x^{3}$

$12 x^{3}$

$16 x^{2}$

$12 x^{3}$

$6 x^{2}$

$22 x^{2}$

$243 x$

ステップ 2.1.1.5.13

新しい商の項に除数を掛けます。

$x^{3}$

$6 x^{2}$

$11 x$

$2 x$

$1$

$2 x^{4}$

$13 x^{3}$

$16 x^{2}$

$243 x$

$116$

$2 x^{4}$

$x^{3}$

$12 x^{3}$

$16 x^{2}$

$12 x^{3}$

$6 x^{2}$

$22 x^{2}$

$243 x$

$22 x^{2}$

$11 x$

ステップ 2.1.1.5.14

式は被除数から引く必要があるので、 $- 22 x^{2} + 11 x$ の符号をすべて変更します。

$x^{3}$

$6 x^{2}$

$11 x$

$2 x$

$1$

$2 x^{4}$

$13 x^{3}$

$16 x^{2}$

$243 x$

$116$

$2 x^{4}$

$x^{3}$

$12 x^{3}$

$16 x^{2}$

$12 x^{3}$

$6 x^{2}$

$22 x^{2}$

$243 x$

$22 x^{2}$

$11 x$

ステップ 2.1.1.5.15

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

$x^{3}$

$6 x^{2}$

$11 x$

$2 x$

$1$

$2 x^{4}$

$13 x^{3}$

$16 x^{2}$

$243 x$

$116$

$2 x^{4}$

$x^{3}$

$12 x^{3}$

$16 x^{2}$

$12 x^{3}$

$6 x^{2}$

$22 x^{2}$

$243 x$

$22 x^{2}$

$11 x$

$232 x$

ステップ 2.1.1.5.16

元の被除数から次の項を現在の被除数に引き下げます。

$x^{3}$

$6 x^{2}$

$11 x$

$2 x$

$1$

$2 x^{4}$

$13 x^{3}$

$16 x^{2}$

$243 x$

$116$

$2 x^{4}$

$x^{3}$

$12 x^{3}$

$16 x^{2}$

$12 x^{3}$

$6 x^{2}$

$22 x^{2}$

$243 x$

$22 x^{2}$

$11 x$

$232 x$

$116$

ステップ 2.1.1.5.17

被除数 $232 x$ の最高次項を除数 $2 x$ の最高次項で割ります。

$x^{3}$

$6 x^{2}$

$11 x$

$116$

$2 x$

$1$

$2 x^{4}$

$13 x^{3}$

$16 x^{2}$

$243 x$

$116$

$2 x^{4}$

$x^{3}$

$12 x^{3}$

$16 x^{2}$

$12 x^{3}$

$6 x^{2}$

$22 x^{2}$

$243 x$

$22 x^{2}$

$11 x$

$232 x$

$116$

ステップ 2.1.1.5.18

新しい商の項に除数を掛けます。

				$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	-	$11 x$	+	$116$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{4}$	-	$13 x^{3}$	-	$16 x^{2}$	+	$243 x$	-	$116$
			-	$2 x^{4}$	+	$x^{3}$
					-	$12 x^{3}$	-	$16 x^{2}$
					+	$12 x^{3}$	-	$6 x^{2}$
							-	$22 x^{2}$	+	$243 x$
							+	$22 x^{2}$	-	$11 x$
									+	$232 x$	-	$116$
									+	$232 x$	-	$116$

ステップ 2.1.1.5.19

式は被除数から引く必要があるので、 $232 x - 116$ の符号をすべて変更します。

				$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	-	$11 x$	+	$116$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{4}$	-	$13 x^{3}$	-	$16 x^{2}$	+	$243 x$	-	$116$
			-	$2 x^{4}$	+	$x^{3}$
					-	$12 x^{3}$	-	$16 x^{2}$
					+	$12 x^{3}$	-	$6 x^{2}$
							-	$22 x^{2}$	+	$243 x$
							+	$22 x^{2}$	-	$11 x$
									+	$232 x$	-	$116$
									-	$232 x$	+	$116$

ステップ 2.1.1.5.20

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

				$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	-	$11 x$	+	$116$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{4}$	-	$13 x^{3}$	-	$16 x^{2}$	+	$243 x$	-	$116$
			-	$2 x^{4}$	+	$x^{3}$
					-	$12 x^{3}$	-	$16 x^{2}$
					+	$12 x^{3}$	-	$6 x^{2}$
							-	$22 x^{2}$	+	$243 x$
							+	$22 x^{2}$	-	$11 x$
									+	$232 x$	-	$116$
									-	$232 x$	+	$116$
												$0$

ステップ 2.1.1.5.21

余りが $0$ なので、最終回答は商です。

$x^{3} - 6 x^{2} - 11 x + 116$

ステップ 2.1.1.6

$2 x^{4} - 13 x^{3} - 16 x^{2} + 243 x - 116$ を因数の集合として書き換えます。

$(2 x - 1) (x^{3} - 6 x^{2} - 11 x + 116) = 0$

ステップ 2.1.2

有理根検定を用いて $x^{3} - 6 x^{2} - 11 x + 116$ を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.1

有理根検定を用いて $x^{3} - 6 x^{2} - 11 x + 116$ を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.1.1

多項式関数が整数係数をもつならば、すべての有理数0は $\frac{p}{q}$ の形をもち、 $p$ は定数の因数、 $q$ は首位係数の因数です。

$p = \pm 1, \pm 116, \pm 2, \pm 58, \pm 4, \pm 29$

$q = \pm 1$

ステップ 2.1.2.1.2

$\pm \frac{p}{q}$ のすべての組み合わせを求めます。これらは、多項式関数の可能な根です。

$\pm 1, \pm 116, \pm 2, \pm 58, \pm 4, \pm 29$

ステップ 2.1.2.1.3

$- 4$ を代入し、式を簡約します。この場合、式は $0$ に等しいので、 $- 4$ は多項式の根です。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.1.3.1

$- 4$ を多項式に代入します。

${(- 4)}^{3} - 6 {(- 4)}^{2} - 11 \cdot - 4 + 116$

ステップ 2.1.2.1.3.2

$- 4$ を $3$ 乗します。

$- 64 - 6 {(- 4)}^{2} - 11 \cdot - 4 + 116$

ステップ 2.1.2.1.3.3

$- 4$ を $2$ 乗します。

$- 64 - 6 \cdot 16 - 11 \cdot - 4 + 116$

ステップ 2.1.2.1.3.4

$- 6$ に $16$ をかけます。

$- 64 - 96 - 11 \cdot - 4 + 116$

ステップ 2.1.2.1.3.5

$- 64$ から $96$ を引きます。

$- 160 - 11 \cdot - 4 + 116$

ステップ 2.1.2.1.3.6

$- 11$ に $- 4$ をかけます。

$- 160 + 44 + 116$

ステップ 2.1.2.1.3.7

$- 160$ と $44$ をたし算します。

$- 116 + 116$

ステップ 2.1.2.1.3.8

$- 116$ と $116$ をたし算します。

$0$

ステップ 2.1.2.1.4

$- 4$ は既知の根なので、多項式を $x + 4$ で割り、多項式の商を求めます。この多項式は他の根を求めるために利用できます。

$\frac{x^{3} - 6 x^{2} - 11 x + 116}{x + 4}$

ステップ 2.1.2.1.5

$x^{3} - 6 x^{2} - 11 x + 116$ を $x + 4$ で割ります。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.1.5.1

多項式を分割します。すべての指数に項がない場合、 $0$ の値の項を挿入します。

$x$

$4$

$x^{3}$

$6 x^{2}$

$11 x$

$116$

ステップ 2.1.2.1.5.2

被除数 $x^{3}$ の最高次項を除数 $x$ の最高次項で割ります。

					$x^{2}$
	$x$	+	$4$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	-	$11 x$	+	$116$

ステップ 2.1.2.1.5.3

新しい商の項に除数を掛けます。

				$x^{2}$
$x$	+	$4$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	-	$11 x$	+	$116$
			+	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$

ステップ 2.1.2.1.5.4

式は被除数から引く必要があるので、 $x^{3} + 4 x^{2}$ の符号をすべて変更します。

				$x^{2}$
$x$	+	$4$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	-	$11 x$	+	$116$
			-	$x^{3}$	-	$4 x^{2}$

ステップ 2.1.2.1.5.5

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

				$x^{2}$
$x$	+	$4$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	-	$11 x$	+	$116$
			-	$x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					-	$10 x^{2}$

ステップ 2.1.2.1.5.6

元の被除数から次の項を現在の被除数に引き下げます。

				$x^{2}$
$x$	+	$4$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	-	$11 x$	+	$116$
			-	$x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					-	$10 x^{2}$	-	$11 x$

ステップ 2.1.2.1.5.7

被除数 $- 10 x^{2}$ の最高次項を除数 $x$ の最高次項で割ります。

				$x^{2}$	-	$10 x$
$x$	+	$4$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	-	$11 x$	+	$116$
			-	$x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					-	$10 x^{2}$	-	$11 x$

ステップ 2.1.2.1.5.8

新しい商の項に除数を掛けます。

				$x^{2}$	-	$10 x$
$x$	+	$4$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	-	$11 x$	+	$116$
			-	$x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					-	$10 x^{2}$	-	$11 x$
					-	$10 x^{2}$	-	$40 x$

ステップ 2.1.2.1.5.9

式は被除数から引く必要があるので、 $- 10 x^{2} - 40 x$ の符号をすべて変更します。

				$x^{2}$	-	$10 x$
$x$	+	$4$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	-	$11 x$	+	$116$
			-	$x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					-	$10 x^{2}$	-	$11 x$
					+	$10 x^{2}$	+	$40 x$

ステップ 2.1.2.1.5.10

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

				$x^{2}$	-	$10 x$
$x$	+	$4$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	-	$11 x$	+	$116$
			-	$x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					-	$10 x^{2}$	-	$11 x$
					+	$10 x^{2}$	+	$40 x$
							+	$29 x$

ステップ 2.1.2.1.5.11

元の被除数から次の項を現在の被除数に引き下げます。

				$x^{2}$	-	$10 x$
$x$	+	$4$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	-	$11 x$	+	$116$
			-	$x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					-	$10 x^{2}$	-	$11 x$
					+	$10 x^{2}$	+	$40 x$
							+	$29 x$	+	$116$

ステップ 2.1.2.1.5.12

被除数 $29 x$ の最高次項を除数 $x$ の最高次項で割ります。

				$x^{2}$	-	$10 x$	+	$29$
$x$	+	$4$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	-	$11 x$	+	$116$
			-	$x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					-	$10 x^{2}$	-	$11 x$
					+	$10 x^{2}$	+	$40 x$
							+	$29 x$	+	$116$

ステップ 2.1.2.1.5.13

新しい商の項に除数を掛けます。

				$x^{2}$	-	$10 x$	+	$29$
$x$	+	$4$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	-	$11 x$	+	$116$
			-	$x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					-	$10 x^{2}$	-	$11 x$
					+	$10 x^{2}$	+	$40 x$
							+	$29 x$	+	$116$
							+	$29 x$	+	$116$

ステップ 2.1.2.1.5.14

式は被除数から引く必要があるので、 $29 x + 116$ の符号をすべて変更します。

				$x^{2}$	-	$10 x$	+	$29$
$x$	+	$4$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	-	$11 x$	+	$116$
			-	$x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					-	$10 x^{2}$	-	$11 x$
					+	$10 x^{2}$	+	$40 x$
							+	$29 x$	+	$116$
							-	$29 x$	-	$116$

ステップ 2.1.2.1.5.15

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

				$x^{2}$	-	$10 x$	+	$29$
$x$	+	$4$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	-	$11 x$	+	$116$
			-	$x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					-	$10 x^{2}$	-	$11 x$
					+	$10 x^{2}$	+	$40 x$
							+	$29 x$	+	$116$
							-	$29 x$	-	$116$
										$0$

ステップ 2.1.2.1.5.16

余りが $0$ なので、最終回答は商です。

$x^{2} - 10 x + 29$

ステップ 2.1.2.1.6

$x^{3} - 6 x^{2} - 11 x + 116$ を因数の集合として書き換えます。

$(2 x - 1) ((x + 4) (x^{2} - 10 x + 29)) = 0$

ステップ 2.1.2.2

不要な括弧を削除します。

$(2 x - 1) (x + 4) (x^{2} - 10 x + 29) = 0$

ステップ 2.2

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$2 x - 1 = 0$

$x + 4 = 0$

$x^{2} - 10 x + 29 = 0$

ステップ 2.3

$2 x - 1$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

$2 x - 1$ が $0$ に等しいとします。

$2 x - 1 = 0$

ステップ 2.3.2

$x$ について $2 x - 1 = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.2.1

方程式の両辺に $1$ を足します。

$2 x = 1$

ステップ 2.3.2.2

$2 x = 1$ の各項を $2$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.2.2.1

$2 x = 1$ の各項を $2$ で割ります。

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

ステップ 2.3.2.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.2.2.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.2.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

ステップ 2.3.2.2.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{1}{2}$

ステップ 2.4

$x + 4$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.1

$x + 4$ が $0$ に等しいとします。

$x + 4 = 0$

ステップ 2.4.2

方程式の両辺から $4$ を引きます。

$x = - 4$

ステップ 2.5

$x^{2} - 10 x + 29$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.1

$x^{2} - 10 x + 29$ が $0$ に等しいとします。

$x^{2} - 10 x + 29 = 0$

ステップ 2.5.2

$x$ について $x^{2} - 10 x + 29 = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.2.1

二次方程式の解の公式を利用して解を求めます。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

ステップ 2.5.2.2

$a = 1$ 、 $b = - 10$ 、および $c = 29$ を二次方程式の解の公式に代入し、 $x$ の値を求めます。

$\frac{10 \pm \sqrt{{(- 10)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 29)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.5.2.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.2.3.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.2.3.1.1

$- 10$ を $2$ 乗します。

$x = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot 1 \cdot 29}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.5.2.3.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot 29$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.2.3.1.2.1

$- 4$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot 29}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.5.2.3.1.2.2

$- 4$ に $29$ をかけます。

$x = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 116}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.5.2.3.1.3

$100$ から $116$ を引きます。

$x = \frac{10 \pm \sqrt{- 16}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.5.2.3.1.4

$- 16$ を $- 1 (16)$ に書き換えます。

$x = \frac{10 \pm \sqrt{- 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.5.2.3.1.5

$\sqrt{- 1 (16)}$ を $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{16}$ に書き換えます。

$x = \frac{10 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{16}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.5.2.3.1.6

$\sqrt{- 1}$ を $i$ に書き換えます。

$x = \frac{10 \pm i \cdot \sqrt{16}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.5.2.3.1.7

$16$ を $4^{2}$ に書き換えます。

$x = \frac{10 \pm i \cdot \sqrt{4^{2}}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.5.2.3.1.8

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$x = \frac{10 \pm i \cdot 4}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.5.2.3.1.9

$4$ を $i$ の左に移動させます。

$x = \frac{10 \pm 4 i}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.5.2.3.2

$2$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{10 \pm 4 i}{2}$

ステップ 2.5.2.3.3

$\frac{10 \pm 4 i}{2}$ を簡約します。

$x = 5 \pm 2 i$

ステップ 2.5.2.4

式を簡約し、 $\pm$ の $+$ 部の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.2.4.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.2.4.1.1

$- 10$ を $2$ 乗します。

$x = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot 1 \cdot 29}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.5.2.4.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot 29$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.2.4.1.2.1

$- 4$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot 29}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.5.2.4.1.2.2

$- 4$ に $29$ をかけます。

$x = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 116}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.5.2.4.1.3

$100$ から $116$ を引きます。

$x = \frac{10 \pm \sqrt{- 16}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.5.2.4.1.4

$- 16$ を $- 1 (16)$ に書き換えます。

$x = \frac{10 \pm \sqrt{- 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.5.2.4.1.5

$\sqrt{- 1 (16)}$ を $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{16}$ に書き換えます。

$x = \frac{10 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{16}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.5.2.4.1.6

$\sqrt{- 1}$ を $i$ に書き換えます。

$x = \frac{10 \pm i \cdot \sqrt{16}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.5.2.4.1.7

$16$ を $4^{2}$ に書き換えます。

$x = \frac{10 \pm i \cdot \sqrt{4^{2}}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.5.2.4.1.8

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$x = \frac{10 \pm i \cdot 4}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.5.2.4.1.9

$4$ を $i$ の左に移動させます。

$x = \frac{10 \pm 4 i}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.5.2.4.2

$2$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{10 \pm 4 i}{2}$

ステップ 2.5.2.4.3

$\frac{10 \pm 4 i}{2}$ を簡約します。

$x = 5 \pm 2 i$

ステップ 2.5.2.4.4

$\pm$ を $+$ に変更します。

$x = 5 + 2 i$

ステップ 2.5.2.5

式を簡約し、 $\pm$ の $-$ 部の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.2.5.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.2.5.1.1

$- 10$ を $2$ 乗します。

$x = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot 1 \cdot 29}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.5.2.5.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot 29$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.2.5.1.2.1

$- 4$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot 29}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.5.2.5.1.2.2

$- 4$ に $29$ をかけます。

$x = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 116}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.5.2.5.1.3

$100$ から $116$ を引きます。

$x = \frac{10 \pm \sqrt{- 16}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.5.2.5.1.4

$- 16$ を $- 1 (16)$ に書き換えます。

$x = \frac{10 \pm \sqrt{- 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.5.2.5.1.5

$\sqrt{- 1 (16)}$ を $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{16}$ に書き換えます。

$x = \frac{10 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{16}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.5.2.5.1.6

$\sqrt{- 1}$ を $i$ に書き換えます。

$x = \frac{10 \pm i \cdot \sqrt{16}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.5.2.5.1.7

$16$ を $4^{2}$ に書き換えます。

$x = \frac{10 \pm i \cdot \sqrt{4^{2}}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.5.2.5.1.8

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$x = \frac{10 \pm i \cdot 4}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.5.2.5.1.9

$4$ を $i$ の左に移動させます。

$x = \frac{10 \pm 4 i}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.5.2.5.2

$2$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{10 \pm 4 i}{2}$

ステップ 2.5.2.5.3

$\frac{10 \pm 4 i}{2}$ を簡約します。

$x = 5 \pm 2 i$

ステップ 2.5.2.5.4

$\pm$ を $-$ に変更します。

$x = 5 - 2 i$

ステップ 2.5.2.6

最終的な答えは両方の解の組み合わせです。

$x = 5 + 2 i, 5 - 2 i$

ステップ 2.6

最終解は $(2 x - 1) (x + 4) (x^{2} - 10 x + 29) = 0$ を真にするすべての値です。根の重複度は根が出現する回数です。

$x = \frac{1}{2}$ （ $1$ の重複度）

$x = - 4$ （ $1$ の重複度）

$x = 5 + 2 i$ （ $1$ の重複度）

$x = 5 - 2 i$ （ $1$ の重複度）

$x = \frac{1}{2}$ （ $1$ の重複度）

$x = - 4$ （ $1$ の重複度）

$x = 5 + 2 i$ （ $1$ の重複度）

$x = 5 - 2 i$ （ $1$ の重複度）

ステップ 3

微分積分学準備 例

微分積分学準備例