微分積分学準備例

$f (x) = \sqrt{3} \csc (x) - 2$

ステップ 1

$\sqrt{3} \csc (x) - 2$ が $0$ に等しいとします。

$\sqrt{3} \csc (x) - 2 = 0$

ステップ 2

$x$ について解きます。

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ステップ 2.1

方程式の両辺に $2$ を足します。

$\sqrt{3} \csc (x) = 2$

ステップ 2.2

$\sqrt{3} \csc (x) = 2$ の各項を $\sqrt{3}$ で割り、簡約します。

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ステップ 2.2.1

$\sqrt{3} \csc (x) = 2$ の各項を $\sqrt{3}$ で割ります。

$\frac{\sqrt{3} \csc (x)}{\sqrt{3}} = \frac{2}{\sqrt{3}}$

ステップ 2.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 2.2.2.1

$\sqrt{3}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{\sqrt{3} \csc (x)}{\sqrt{3}} = \frac{2}{\sqrt{3}}$

ステップ 2.2.2.1.2

$\csc (x)$ を $1$ で割ります。

$\csc (x) = \frac{2}{\sqrt{3}}$

ステップ 2.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 2.2.3.1

$\frac{2}{\sqrt{3}}$ に $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ をかけます。

$\csc (x) = \frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

ステップ 2.2.3.2

分母を組み合わせて簡約します。

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ステップ 2.2.3.2.1

$\frac{2}{\sqrt{3}}$ に $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ をかけます。

$\csc (x) = \frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

ステップ 2.2.3.2.2

$\sqrt{3}$ を $1$ 乗します。

$\csc (x) = \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

ステップ 2.2.3.2.3

$\sqrt{3}$ を $1$ 乗します。

$\csc (x) = \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

ステップ 2.2.3.2.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\csc (x) = \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

ステップ 2.2.3.2.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$\csc (x) = \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

ステップ 2.2.3.2.6

${\sqrt{3}}^{2}$ を $3$ に書き換えます。

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ステップ 2.2.3.2.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{3}$ を $3^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\csc (x) = \frac{2 \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 2.2.3.2.6.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\csc (x) = \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

ステップ 2.2.3.2.6.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\csc (x) = \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 2.2.3.2.6.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.2.3.2.6.4.1

共通因数を約分します。

$\csc (x) = \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 2.2.3.2.6.4.2

式を書き換えます。

$\csc (x) = \frac{2 \sqrt{3}}{3^{1}}$

ステップ 2.2.3.2.6.5

指数を求めます。

$\csc (x) = \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

ステップ 2.3

方程式の両辺の逆余割をとり、余割の中から $x$ を取り出します。

$x = arccsc (\frac{2 \sqrt{3}}{3})$

ステップ 2.4

右辺を簡約します。

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ステップ 2.4.1

$arccsc (\frac{2 \sqrt{3}}{3})$ の厳密値は $\frac{π}{3}$ です。

$x = \frac{π}{3}$

ステップ 2.5

余割関数は、第一象限と第二象限で正となります。2番目の解を求めるには、 $π$ から参照角を引き、第二象限で解を求めます。

$x = π - \frac{π}{3}$

ステップ 2.6

$π - \frac{π}{3}$ を簡約します。

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ステップ 2.6.1

$π$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$x = π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

ステップ 2.6.2

分数をまとめます。

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ステップ 2.6.2.1

$π$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$x = \frac{π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

ステップ 2.6.2.2

公分母の分子をまとめます。

$x = \frac{π \cdot 3 - π}{3}$

ステップ 2.6.3

分子を簡約します。

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ステップ 2.6.3.1

$3$ を $π$ の左に移動させます。

$x = \frac{3 \cdot π - π}{3}$

ステップ 2.6.3.2

$3 π$ から $π$ を引きます。

$x = \frac{2 π}{3}$

ステップ 2.7

$\csc (x)$ の周期を求めます。

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ステップ 2.7.1

関数の期間は $\frac{2 π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{2 π}{| b |}$

ステップ 2.7.2

周期の公式の $b$ を $1$ で置き換えます。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

ステップ 2.7.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{2 π}{1}$

ステップ 2.7.4

$2 π$ を $1$ で割ります。

$2 π$

ステップ 2.8

$\csc (x)$ 関数の周期が $2 π$ なので、両方向で $2 π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$x = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{2 π}{3} + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 3

微分積分学準備 例

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