微分積分学準備例

$f (x) = x^{3} + 7 x^{2} + 14 x + 8$

ステップ 1

$x^{3} + 7 x^{2} + 14 x + 8$ が $0$ に等しいとします。

$x^{3} + 7 x^{2} + 14 x + 8 = 0$

ステップ 2

$x$ について解きます。

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ステップ 2.1

方程式の左辺を因数分解します。

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ステップ 2.1.1

項を再分類します。

$x^{3} + 8 + 7 x^{2} + 14 x = 0$

ステップ 2.1.2

$8$ を $2^{3}$ に書き換えます。

$x^{3} + 2^{3} + 7 x^{2} + 14 x = 0$

ステップ 2.1.3

両項とも完全立方なので、立方の和の公式 $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = x$ であり、 $b = 2$ です。

$(x + 2) (x^{2} - x \cdot 2 + 2^{2}) + 7 x^{2} + 14 x = 0$

ステップ 2.1.4

簡約します。

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ステップ 2.1.4.1

$2$ に $- 1$ をかけます。

$(x + 2) (x^{2} - 2 x + 2^{2}) + 7 x^{2} + 14 x = 0$

ステップ 2.1.4.2

$2$ を $2$ 乗します。

$(x + 2) (x^{2} - 2 x + 4) + 7 x^{2} + 14 x = 0$

ステップ 2.1.5

$7 x$ を $7 x^{2} + 14 x$ で因数分解します。

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ステップ 2.1.5.1

$7 x$ を $7 x^{2}$ で因数分解します。

$(x + 2) (x^{2} - 2 x + 4) + 7 x (x) + 14 x = 0$

ステップ 2.1.5.2

$7 x$ を $14 x$ で因数分解します。

$(x + 2) (x^{2} - 2 x + 4) + 7 x (x) + 7 x (2) = 0$

ステップ 2.1.5.3

$7 x$ を $7 x (x) + 7 x (2)$ で因数分解します。

$(x + 2) (x^{2} - 2 x + 4) + 7 x (x + 2) = 0$

ステップ 2.1.6

$x + 2$ を $(x + 2) (x^{2} - 2 x + 4) + 7 x (x + 2)$ で因数分解します。

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ステップ 2.1.6.1

$x + 2$ を $7 x (x + 2)$ で因数分解します。

$(x + 2) (x^{2} - 2 x + 4) + (x + 2) (7 x) = 0$

ステップ 2.1.6.2

$x + 2$ を $(x + 2) (x^{2} - 2 x + 4) + (x + 2) (7 x)$ で因数分解します。

$(x + 2) (x^{2} - 2 x + 4 + 7 x) = 0$

ステップ 2.1.7

$- 2 x$ と $7 x$ をたし算します。

$(x + 2) (x^{2} + 5 x + 4) = 0$

ステップ 2.1.8

因数分解。

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ステップ 2.1.8.1

たすき掛けを利用して $x^{2} + 5 x + 4$ を因数分解します。

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ステップ 2.1.8.1.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $4$ で、その和が $5$ です。

$1, 4$

ステップ 2.1.8.1.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$(x + 2) ((x + 1) (x + 4)) = 0$

ステップ 2.1.8.2

不要な括弧を削除します。

$(x + 2) (x + 1) (x + 4) = 0$

ステップ 2.2

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x + 2 = 0$

$x + 1 = 0$

$x + 4 = 0$

ステップ 2.3

$x + 2$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 2.3.1

$x + 2$ が $0$ に等しいとします。

$x + 2 = 0$

ステップ 2.3.2

方程式の両辺から $2$ を引きます。

$x = - 2$

ステップ 2.4

$x + 1$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 2.4.1

$x + 1$ が $0$ に等しいとします。

$x + 1 = 0$

ステップ 2.4.2

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$x = - 1$

ステップ 2.5

$x + 4$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 2.5.1

$x + 4$ が $0$ に等しいとします。

$x + 4 = 0$

ステップ 2.5.2

方程式の両辺から $4$ を引きます。

$x = - 4$

ステップ 2.6

最終解は $(x + 2) (x + 1) (x + 4) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = - 2, - 1, - 4$

ステップ 3

微分積分学準備 例

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