微分積分学準備例

$\frac{4 x - 2}{x + 3} \leq 3$

ステップ 1

不等式の両辺から $3$ を引きます。

$\frac{4 x - 2}{x + 3} - 3 \leq 0$

ステップ 2

$\frac{4 x - 2}{x + 3} - 3$ を簡約します。

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ステップ 2.1

$2$ を $4 x - 2$ で因数分解します。

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ステップ 2.1.1

$2$ を $4 x$ で因数分解します。

$\frac{2 (2 x) - 2}{x + 3} - 3 \leq 0$

ステップ 2.1.2

$2$ を $- 2$ で因数分解します。

$\frac{2 (2 x) + 2 (- 1)}{x + 3} - 3 \leq 0$

ステップ 2.1.3

$2$ を $2 (2 x) + 2 (- 1)$ で因数分解します。

$\frac{2 (2 x - 1)}{x + 3} - 3 \leq 0$

ステップ 2.2

$- 3$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{x + 3}{x + 3}$ を掛けます。

$\frac{2 (2 x - 1)}{x + 3} - 3 \cdot \frac{x + 3}{x + 3} \leq 0$

ステップ 2.3

$- 3$ と $\frac{x + 3}{x + 3}$ をまとめます。

$\frac{2 (2 x - 1)}{x + 3} + \frac{- 3 (x + 3)}{x + 3} \leq 0$

ステップ 2.4

公分母の分子をまとめます。

$\frac{2 (2 x - 1) - 3 (x + 3)}{x + 3} \leq 0$

ステップ 2.5

分子を簡約します。

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ステップ 2.5.1

分配則を当てはめます。

$\frac{2 (2 x) + 2 \cdot - 1 - 3 (x + 3)}{x + 3} \leq 0$

ステップ 2.5.2

$2$ に $2$ をかけます。

$\frac{4 x + 2 \cdot - 1 - 3 (x + 3)}{x + 3} \leq 0$

ステップ 2.5.3

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{4 x - 2 - 3 (x + 3)}{x + 3} \leq 0$

ステップ 2.5.4

分配則を当てはめます。

$\frac{4 x - 2 - 3 x - 3 \cdot 3}{x + 3} \leq 0$

ステップ 2.5.5

$- 3$ に $3$ をかけます。

$\frac{4 x - 2 - 3 x - 9}{x + 3} \leq 0$

ステップ 2.5.6

$4 x$ から $3 x$ を引きます。

$\frac{x - 2 - 9}{x + 3} \leq 0$

ステップ 2.5.7

$- 2$ から $9$ を引きます。

$\frac{x - 11}{x + 3} \leq 0$

ステップ 3

各因数を $0$ に等しくして解くことで、式が負から正に切り替わるすべての値を求めます。

$x - 11 = 0$

$x + 3 = 0$

ステップ 4

方程式の両辺に $11$ を足します。

$x = 11$

ステップ 5

方程式の両辺から $3$ を引きます。

$x = - 3$

ステップ 6

各因数について解き、絶対値式が負から正になる値を求めます。

$x = 11$

$x = - 3$

ステップ 7

解をまとめます。

$x = 11, - 3$

ステップ 8

$\frac{x - 11}{x + 3}$ の定義域を求めます。

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ステップ 8.1

$\frac{x - 11}{x + 3}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

$x + 3 = 0$

ステップ 8.2

方程式の両辺から $3$ を引きます。

$x = - 3$

ステップ 8.3

定義域は式が定義になる $x$ のすべての値です。

$(- \infty, - 3) \cup (- 3, \infty)$

ステップ 9

各根を利用して検定区間を作成します。

$x < - 3$

$- 3 < x < 11$

$x > 11$

ステップ 10

各区間から試験値を選び、この値を元の不等式に代入して、どの区間が不等式を満たすか判定します。

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ステップ 10.1

区間 $x < - 3$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 10.1.1

区間 $x < - 3$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = - 6$

ステップ 10.1.2

$x$ を元の不等式の $- 6$ で置き換えます。

$\frac{4 (- 6) - 2}{(- 6) + 3} \leq 3$

ステップ 10.1.3

左辺 $8.\overline{6}$ は右辺 $3$ より大きいです。つまり、与えられた文は偽です。

偽

ステップ 10.2

区間 $- 3 < x < 11$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 10.2.1

区間 $- 3 < x < 11$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 0$

ステップ 10.2.2

$x$ を元の不等式の $0$ で置き換えます。

$\frac{4 (0) - 2}{(0) + 3} \leq 3$

ステップ 10.2.3

左辺 $- 0.\overline{6}$ は右辺 $3$ より小さいです。つまり、与えられた文は常に真です。

真

ステップ 10.3

区間 $x > 11$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 10.3.1

区間 $x > 11$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 14$

ステップ 10.3.2

$x$ を元の不等式の $14$ で置き換えます。

$\frac{4 (14) - 2}{(14) + 3} \leq 3$

ステップ 10.3.3

左辺 $3.17647058$ は右辺 $3$ より大きいです。つまり、与えられた文は偽です。

偽

ステップ 10.4

区間を比較して、どちらが元の不等式を満たすか判定します。

$x < - 3$ 偽

$- 3 < x < 11$ 真

$x > 11$ 偽

$x < - 3$ 偽

$- 3 < x < 11$ 真

$x > 11$ 偽

ステップ 11

解はすべての真の区間からなります。

$- 3 < x \leq 11$

ステップ 12

不等式を区間記号に変換します。

$(- 3, 11]$

ステップ 13

微分積分学準備 例

微分積分学準備例