微分積分学準備例

$x^{3} + 5 x^{2} < x + 5$

ステップ 1

不等式の両辺から $x$ を引きます。

$x^{3} + 5 x^{2} - x < 5$

ステップ 2

不等式を方程式に変換します。

$x^{3} + 5 x^{2} - x = 5$

ステップ 3

方程式の両辺から $5$ を引きます。

$x^{3} + 5 x^{2} - x - 5 = 0$

ステップ 4

方程式の左辺を因数分解します。

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ステップ 4.1

各群から最大公約数を因数分解します。

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ステップ 4.1.1

前の2項と後ろの2項をまとめます。

$(x^{3} + 5 x^{2}) - x - 5 = 0$

ステップ 4.1.2

各群から最大公約数を因数分解します。

$x^{2} (x + 5) - (x + 5) = 0$

ステップ 4.2

最大公約数 $x + 5$ を因数分解して、多項式を因数分解します。

$(x + 5) (x^{2} - 1) = 0$

ステップ 4.3

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$(x + 5) (x^{2} - 1^{2}) = 0$

ステップ 4.4

因数分解。

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ステップ 4.4.1

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = x$ であり、 $b = 1$ です。

$(x + 5) ((x + 1) (x - 1)) = 0$

ステップ 4.4.2

不要な括弧を削除します。

$(x + 5) (x + 1) (x - 1) = 0$

ステップ 5

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x + 5 = 0$

$x + 1 = 0$

$x - 1 = 0$

ステップ 6

$x + 5$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 6.1

$x + 5$ が $0$ に等しいとします。

$x + 5 = 0$

ステップ 6.2

方程式の両辺から $5$ を引きます。

$x = - 5$

ステップ 7

$x + 1$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 7.1

$x + 1$ が $0$ に等しいとします。

$x + 1 = 0$

ステップ 7.2

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$x = - 1$

ステップ 8

$x - 1$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 8.1

$x - 1$ が $0$ に等しいとします。

$x - 1 = 0$

ステップ 8.2

方程式の両辺に $1$ を足します。

$x = 1$

ステップ 9

最終解は $(x + 5) (x + 1) (x - 1) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = - 5, - 1, 1$

ステップ 10

各根を利用して検定区間を作成します。

$x < - 5$

$- 5 < x < - 1$

$- 1 < x < 1$

$x > 1$

ステップ 11

各区間から試験値を選び、この値を元の不等式に代入して、どの区間が不等式を満たすか判定します。

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ステップ 11.1

区間 $x < - 5$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 11.1.1

区間 $x < - 5$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = - 8$

ステップ 11.1.2

$x$ を元の不等式の $- 8$ で置き換えます。

${(- 8)}^{3} + 5 {(- 8)}^{2} < (- 8) + 5$

ステップ 11.1.3

左辺 $- 192$ は右辺 $- 3$ より小さいです。つまり、与えられた文は常に真です。

真

ステップ 11.2

区間 $- 5 < x < - 1$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 11.2.1

区間 $- 5 < x < - 1$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = - 3$

ステップ 11.2.2

$x$ を元の不等式の $- 3$ で置き換えます。

${(- 3)}^{3} + 5 {(- 3)}^{2} < (- 3) + 5$

ステップ 11.2.3

左辺 $18$ は右辺 $2$ より小さくありません。つまり、与えられた文は偽です。

偽

ステップ 11.3

区間 $- 1 < x < 1$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 11.3.1

区間 $- 1 < x < 1$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 0$

ステップ 11.3.2

$x$ を元の不等式の $0$ で置き換えます。

${(0)}^{3} + 5 {(0)}^{2} < (0) + 5$

ステップ 11.3.3

左辺 $0$ は右辺 $5$ より小さいです。つまり、与えられた文は常に真です。

真

ステップ 11.4

区間 $x > 1$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 11.4.1

区間 $x > 1$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 4$

ステップ 11.4.2

$x$ を元の不等式の $4$ で置き換えます。

${(4)}^{3} + 5 {(4)}^{2} < (4) + 5$

ステップ 11.4.3

左辺 $144$ は右辺 $9$ より小さくありません。つまり、与えられた文は偽です。

偽

ステップ 11.5

区間を比較して、どちらが元の不等式を満たすか判定します。

$x < - 5$ 真

$- 5 < x < - 1$ 偽

$- 1 < x < 1$ 真

$x > 1$ 偽

$x < - 5$ 真

$- 5 < x < - 1$ 偽

$- 1 < x < 1$ 真

$x > 1$ 偽

ステップ 12

解はすべての真の区間からなります。

$x < - 5$ または $- 1 < x < 1$

ステップ 13

不等式を区間記号に変換します。

$(- \infty, - 5) \cup (- 1, 1)$

ステップ 14

微分積分学準備 例

微分積分学準備例