微分積分学準備例

$x^{4} - 80 x^{2} + 1024 < 0$

ステップ 1

$u = x^{2}$ を方程式に代入します。これにより二次方程式の解の公式を利用しやすくします。

$u^{2} - 80 u + 1024 = 0$

$u = x^{2}$

ステップ 2

たすき掛けを利用して $u^{2} - 80 u + 1024$ を因数分解します。

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ステップ 2.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $1024$ で、その和が $- 80$ です。

$- 64, - 16$

ステップ 2.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$(u - 64) (u - 16) = 0$

ステップ 3

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$u - 64 = 0$

$u - 16 = 0$

ステップ 4

$u - 64$ を $0$ に等しくし、 $u$ を解きます。

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ステップ 4.1

$u - 64$ が $0$ に等しいとします。

$u - 64 = 0$

ステップ 4.2

方程式の両辺に $64$ を足します。

$u = 64$

ステップ 5

$u - 16$ を $0$ に等しくし、 $u$ を解きます。

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ステップ 5.1

$u - 16$ が $0$ に等しいとします。

$u - 16 = 0$

ステップ 5.2

方程式の両辺に $16$ を足します。

$u = 16$

ステップ 6

最終解は $(u - 64) (u - 16) = 0$ を真にするすべての値です。

$u = 64, 16$

ステップ 7

$u = x^{2}$ の実数を解いた方程式に代入して戻します。

$x^{2} = 64$

${(x^{2})}^{1} = 16$

ステップ 8

$x$ について第1方程式を解きます。

$x^{2} = 64$

ステップ 9

$x$ について方程式を解きます。

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ステップ 9.1

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$x = \pm \sqrt{64}$

ステップ 9.2

$\pm \sqrt{64}$ を簡約します。

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ステップ 9.2.1

$64$ を $8^{2}$ に書き換えます。

$x = \pm \sqrt{8^{2}}$

ステップ 9.2.2

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$x = \pm 8$

ステップ 9.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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ステップ 9.3.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$x = 8$

ステップ 9.3.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$x = - 8$

ステップ 9.3.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$x = 8, - 8$

ステップ 10

$x$ について二次方程式を解きます。

${(x^{2})}^{1} = 16$

ステップ 11

$x$ について方程式を解きます。

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ステップ 11.1

括弧を削除します。

$x^{2} = 16$

ステップ 11.2

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$x = \pm \sqrt{16}$

ステップ 11.3

$\pm \sqrt{16}$ を簡約します。

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ステップ 11.3.1

$16$ を $4^{2}$ に書き換えます。

$x = \pm \sqrt{4^{2}}$

ステップ 11.3.2

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$x = \pm 4$

ステップ 11.4

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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ステップ 11.4.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$x = 4$

ステップ 11.4.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$x = - 4$

ステップ 11.4.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$x = 4, - 4$

ステップ 12

$x^{4} - 80 x^{2} + 1024 = 0$ の解は $x = 8, - 8, 4, - 4$ です。

$x = 8, - 8, 4, - 4$

ステップ 13

各根を利用して検定区間を作成します。

$x < - 8$

$- 8 < x < - 4$

$- 4 < x < 4$

$4 < x < 8$

$x > 8$

ステップ 14

各区間から試験値を選び、この値を元の不等式に代入して、どの区間が不等式を満たすか判定します。

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ステップ 14.1

区間 $x < - 8$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 14.1.1

区間 $x < - 8$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = - 10$

ステップ 14.1.2

$x$ を元の不等式の $- 10$ で置き換えます。

${(- 10)}^{4} - 80 {(- 10)}^{2} + 1024 < 0$

ステップ 14.1.3

左辺 $3024$ は右辺 $0$ より小さくありません。つまり、与えられた文は偽です。

偽

ステップ 14.2

区間 $- 8 < x < - 4$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 14.2.1

区間 $- 8 < x < - 4$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = - 6$

ステップ 14.2.2

$x$ を元の不等式の $- 6$ で置き換えます。

${(- 6)}^{4} - 80 {(- 6)}^{2} + 1024 < 0$

ステップ 14.2.3

左辺 $- 560$ は右辺 $0$ より小さいです。つまり、与えられた文は常に真です。

真

ステップ 14.3

区間 $- 4 < x < 4$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 14.3.1

区間 $- 4 < x < 4$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 0$

ステップ 14.3.2

$x$ を元の不等式の $0$ で置き換えます。

${(0)}^{4} - 80 {(0)}^{2} + 1024 < 0$

ステップ 14.3.3

左辺 $1024$ は右辺 $0$ より小さくありません。つまり、与えられた文は偽です。

偽

ステップ 14.4

区間 $4 < x < 8$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 14.4.1

区間 $4 < x < 8$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 6$

ステップ 14.4.2

$x$ を元の不等式の $6$ で置き換えます。

${(6)}^{4} - 80 {(6)}^{2} + 1024 < 0$

ステップ 14.4.3

左辺 $- 560$ は右辺 $0$ より小さいです。つまり、与えられた文は常に真です。

真

ステップ 14.5

区間 $x > 8$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 14.5.1

区間 $x > 8$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 10$

ステップ 14.5.2

$x$ を元の不等式の $10$ で置き換えます。

${(10)}^{4} - 80 {(10)}^{2} + 1024 < 0$

ステップ 14.5.3

左辺 $3024$ は右辺 $0$ より小さくありません。つまり、与えられた文は偽です。

偽

ステップ 14.6

区間を比較して、どちらが元の不等式を満たすか判定します。

$x < - 8$ 偽

$- 8 < x < - 4$ 真

$- 4 < x < 4$ 偽

$4 < x < 8$ 真

$x > 8$ 偽

$x < - 8$ 偽

$- 8 < x < - 4$ 真

$- 4 < x < 4$ 偽

$4 < x < 8$ 真

$x > 8$ 偽

ステップ 15

解はすべての真の区間からなります。

$- 8 < x < - 4$ または $4 < x < 8$

ステップ 16

不等式を区間記号に変換します。

$(- 8, - 4) \cup (4, 8)$

ステップ 17

微分積分学準備 例

微分積分学準備例