微分積分学準備例

$x^{4} + 2 x^{3} - 5 x^{2} - 8 x + 4 = 0$

ステップ 1

多項式関数が整数係数をもつならば、すべての有理数0は $\frac{p}{q}$ の形をもち、 $p$ は定数の因数、 $q$ は首位係数の因数です。

$p = \pm 1, \pm 2, \pm 4$

$q = \pm 1$

ステップ 2

$\pm \frac{p}{q}$ のすべての組み合わせを求めます。これらは、多項式関数の可能な根です。

$\pm 1, \pm 2, \pm 4$

ステップ 3

可能な根を多項式にそれぞれ代入し、実際の根を求めます。簡約し、値が $0$ か、つまり根であるか確認します。

${(2)}^{4} + 2 {(2)}^{3} - 5 {(2)}^{2} - 8 \cdot 2 + 4$

ステップ 4

式を簡約します。この場合、式は $0$ に等しくなり、 $x = 2$ は多項式の根です。

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ステップ 4.1

各項を簡約します。

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ステップ 4.1.1

$2$ を $4$ 乗します。

$16 + 2 {(2)}^{3} - 5 {(2)}^{2} - 8 \cdot 2 + 4$

ステップ 4.1.2

指数を足して $2$ に ${(2)}^{3}$ を掛けます。

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ステップ 4.1.2.1

$2$ に ${(2)}^{3}$ をかけます。

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ステップ 4.1.2.1.1

$2$ を $1$ 乗します。

$16 + 2^{1} {(2)}^{3} - 5 {(2)}^{2} - 8 \cdot 2 + 4$

ステップ 4.1.2.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$16 + 2^{1 + 3} - 5 {(2)}^{2} - 8 \cdot 2 + 4$

ステップ 4.1.2.2

$1$ と $3$ をたし算します。

$16 + 2^{4} - 5 {(2)}^{2} - 8 \cdot 2 + 4$

ステップ 4.1.3

$2$ を $4$ 乗します。

$16 + 16 - 5 {(2)}^{2} - 8 \cdot 2 + 4$

ステップ 4.1.4

$2$ を $2$ 乗します。

$16 + 16 - 5 \cdot 4 - 8 \cdot 2 + 4$

ステップ 4.1.5

$- 5$ に $4$ をかけます。

$16 + 16 - 20 - 8 \cdot 2 + 4$

ステップ 4.1.6

$- 8$ に $2$ をかけます。

$16 + 16 - 20 - 16 + 4$

ステップ 4.2

足し算と引き算で簡約します。

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ステップ 4.2.1

$16$ と $16$ をたし算します。

$32 - 20 - 16 + 4$

ステップ 4.2.2

$32$ から $20$ を引きます。

$12 - 16 + 4$

ステップ 4.2.3

$12$ から $16$ を引きます。

$- 4 + 4$

ステップ 4.2.4

$- 4$ と $4$ をたし算します。

$0$

ステップ 5

$2$ は既知の根なので、多項式を $x - 2$ で割り、多項式の商を求めます。この多項式は他の根を求めるために利用できます。

$\frac{x^{4} + 2 x^{3} - 5 x^{2} - 8 x + 4}{x - 2}$

ステップ 6

次に、残りの多項式の根を求めます。多項式の次数は $1$ で約分しています。

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ステップ 6.1

除数と被除数を表す数を除法のような配置にします。

$2$	$1$	$2$	$- 5$	$- 8$	$4$

ステップ 6.2

被除数 $(1)$ の1番目の数を、結果領域の第1位（水平線の下）に置きます。

$2$	$1$	$2$	$- 5$	$- 8$	$4$

	$1$

ステップ 6.3

結果 $(1)$ の最新の項目に除数 $(2)$ を掛け、 $(2)$ の結果を被除数 $(2)$ の隣の項の下に置きます。

$2$	$1$	$2$	$- 5$	$- 8$	$4$
		$2$
	$1$

ステップ 6.4

かけ算の積とわり算した数をたし、結果行の次の位置に結果を記入します。

$2$	$1$	$2$	$- 5$	$- 8$	$4$
		$2$
	$1$	$4$

ステップ 6.5

結果 $(4)$ の最新の項目に除数 $(2)$ を掛け、 $(8)$ の結果を被除数 $(- 5)$ の隣の項の下に置きます。

$2$	$1$	$2$	$- 5$	$- 8$	$4$
		$2$	$8$
	$1$	$4$

ステップ 6.6

かけ算の積とわり算した数をたし、結果行の次の位置に結果を記入します。

$2$	$1$	$2$	$- 5$	$- 8$	$4$
		$2$	$8$
	$1$	$4$	$3$

ステップ 6.7

結果 $(3)$ の最新の項目に除数 $(2)$ を掛け、 $(6)$ の結果を被除数 $(- 8)$ の隣の項の下に置きます。

$2$	$1$	$2$	$- 5$	$- 8$	$4$
		$2$	$8$	$6$
	$1$	$4$	$3$

ステップ 6.8

かけ算の積とわり算した数をたし、結果行の次の位置に結果を記入します。

$2$	$1$	$2$	$- 5$	$- 8$	$4$
		$2$	$8$	$6$
	$1$	$4$	$3$	$- 2$

ステップ 6.9

結果 $(- 2)$ の最新の項目に除数 $(2)$ を掛け、 $(- 4)$ の結果を被除数 $(4)$ の隣の項の下に置きます。

$2$	$1$	$2$	$- 5$	$- 8$	$4$
		$2$	$8$	$6$	$- 4$
	$1$	$4$	$3$	$- 2$

ステップ 6.10

かけ算の積とわり算した数をたし、結果行の次の位置に結果を記入します。

$2$	$1$	$2$	$- 5$	$- 8$	$4$
		$2$	$8$	$6$	$- 4$
	$1$	$4$	$3$	$- 2$	$0$

ステップ 6.11

最後の数以外のすべての数は、商の多項式の係数になります。結果行の最後の値は余りです。

$1 x^{3} + 4 x^{2} + (3) x - 2$

ステップ 6.12

商の多項式を簡約します。

$x^{3} + 4 x^{2} + 3 x - 2$

ステップ 7

方程式を解き、残りの根を求めます。

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ステップ 7.1

有理根検定を用いて $x^{3} + 4 x^{2} + 3 x - 2$ を因数分解します。

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ステップ 7.1.1

多項式関数が整数係数をもつならば、すべての有理数0は $\frac{p}{q}$ の形をもち、 $p$ は定数の因数、 $q$ は首位係数の因数です。

$p = \pm 1, \pm 2$

$q = \pm 1$

ステップ 7.1.2

$\pm \frac{p}{q}$ のすべての組み合わせを求めます。これらは、多項式関数の可能な根です。

$\pm 1, \pm 2$

ステップ 7.1.3

$- 2$ を代入し、式を簡約します。この場合、式は $0$ に等しいので、 $- 2$ は多項式の根です。

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ステップ 7.1.3.1

$- 2$ を多項式に代入します。

${(- 2)}^{3} + 4 {(- 2)}^{2} + 3 \cdot - 2 - 2$

ステップ 7.1.3.2

$- 2$ を $3$ 乗します。

$- 8 + 4 {(- 2)}^{2} + 3 \cdot - 2 - 2$

ステップ 7.1.3.3

$- 2$ を $2$ 乗します。

$- 8 + 4 \cdot 4 + 3 \cdot - 2 - 2$

ステップ 7.1.3.4

$4$ に $4$ をかけます。

$- 8 + 16 + 3 \cdot - 2 - 2$

ステップ 7.1.3.5

$- 8$ と $16$ をたし算します。

$8 + 3 \cdot - 2 - 2$

ステップ 7.1.3.6

$3$ に $- 2$ をかけます。

$8 - 6 - 2$

ステップ 7.1.3.7

$8$ から $6$ を引きます。

$2 - 2$

ステップ 7.1.3.8

$2$ から $2$ を引きます。

$0$

ステップ 7.1.4

$- 2$ は既知の根なので、多項式を $x + 2$ で割り、多項式の商を求めます。この多項式は他の根を求めるために利用できます。

$\frac{x^{3} + 4 x^{2} + 3 x - 2}{x + 2}$

ステップ 7.1.5

$x^{3} + 4 x^{2} + 3 x - 2$ を $x + 2$ で割ります。

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ステップ 7.1.5.1

多項式を分割します。すべての指数に項がない場合、 $0$ の値の項を挿入します。

$x$

$2$

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$3 x$

$2$

ステップ 7.1.5.2

被除数 $x^{3}$ の最高次項を除数 $x$ の最高次項で割ります。

					$x^{2}$
	$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	+	$3 x$	-	$2$

ステップ 7.1.5.3

新しい商の項に除数を掛けます。

				$x^{2}$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	+	$3 x$	-	$2$
			+	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$

ステップ 7.1.5.4

式は被除数から引く必要があるので、 $x^{3} + 2 x^{2}$ の符号をすべて変更します。

				$x^{2}$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	+	$3 x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$

ステップ 7.1.5.5

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

				$x^{2}$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	+	$3 x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$

ステップ 7.1.5.6

元の被除数から次の項を現在の被除数に引き下げます。

				$x^{2}$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	+	$3 x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	+	$3 x$

ステップ 7.1.5.7

被除数 $2 x^{2}$ の最高次項を除数 $x$ の最高次項で割ります。

				$x^{2}$	+	$2 x$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	+	$3 x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	+	$3 x$

ステップ 7.1.5.8

新しい商の項に除数を掛けます。

				$x^{2}$	+	$2 x$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	+	$3 x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	+	$3 x$
					+	$2 x^{2}$	+	$4 x$

ステップ 7.1.5.9

式は被除数から引く必要があるので、 $2 x^{2} + 4 x$ の符号をすべて変更します。

				$x^{2}$	+	$2 x$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	+	$3 x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	+	$3 x$
					-	$2 x^{2}$	-	$4 x$

ステップ 7.1.5.10

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

				$x^{2}$	+	$2 x$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	+	$3 x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	+	$3 x$
					-	$2 x^{2}$	-	$4 x$
							-	$x$

ステップ 7.1.5.11

元の被除数から次の項を現在の被除数に引き下げます。

				$x^{2}$	+	$2 x$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	+	$3 x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	+	$3 x$
					-	$2 x^{2}$	-	$4 x$
							-	$x$	-	$2$

ステップ 7.1.5.12

被除数 $- x$ の最高次項を除数 $x$ の最高次項で割ります。

				$x^{2}$	+	$2 x$	-	$1$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	+	$3 x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	+	$3 x$
					-	$2 x^{2}$	-	$4 x$
							-	$x$	-	$2$

ステップ 7.1.5.13

新しい商の項に除数を掛けます。

				$x^{2}$	+	$2 x$	-	$1$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	+	$3 x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	+	$3 x$
					-	$2 x^{2}$	-	$4 x$
							-	$x$	-	$2$
							-	$x$	-	$2$

ステップ 7.1.5.14

式は被除数から引く必要があるので、 $- x - 2$ の符号をすべて変更します。

				$x^{2}$	+	$2 x$	-	$1$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	+	$3 x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	+	$3 x$
					-	$2 x^{2}$	-	$4 x$
							-	$x$	-	$2$
							+	$x$	+	$2$

ステップ 7.1.5.15

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

				$x^{2}$	+	$2 x$	-	$1$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	+	$3 x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	+	$3 x$
					-	$2 x^{2}$	-	$4 x$
							-	$x$	-	$2$
							+	$x$	+	$2$
										$0$

ステップ 7.1.5.16

余りが $0$ なので、最終回答は商です。

$x^{2} + 2 x - 1$

ステップ 7.1.6

$x^{3} + 4 x^{2} + 3 x - 2$ を因数の集合として書き換えます。

$(x + 2) (x^{2} + 2 x - 1) = 0$

ステップ 7.2

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x + 2 = 0$

$x^{2} + 2 x - 1 = 0$

ステップ 7.3

$x + 2$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 7.3.1

$x + 2$ が $0$ に等しいとします。

$x + 2 = 0$

ステップ 7.3.2

方程式の両辺から $2$ を引きます。

$x = - 2$

ステップ 7.4

$x^{2} + 2 x - 1$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.4.1

$x^{2} + 2 x - 1$ が $0$ に等しいとします。

$x^{2} + 2 x - 1 = 0$

ステップ 7.4.2

$x$ について $x^{2} + 2 x - 1 = 0$ を解きます。

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ステップ 7.4.2.1

二次方程式の解の公式を利用して解を求めます。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

ステップ 7.4.2.2

$a = 1$ 、 $b = 2$ 、および $c = - 1$ を二次方程式の解の公式に代入し、 $x$ の値を求めます。

$\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 1)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 7.4.2.3

簡約します。

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ステップ 7.4.2.3.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.4.2.3.1.1

$2$ を $2$ 乗します。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

ステップ 7.4.2.3.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.4.2.3.1.2.1

$- 4$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

ステップ 7.4.2.3.1.2.2

$- 4$ に $- 1$ をかけます。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 4}}{2 \cdot 1}$

ステップ 7.4.2.3.1.3

$4$ と $4$ をたし算します。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{8}}{2 \cdot 1}$

ステップ 7.4.2.3.1.4

$8$ を $2^{2} \cdot 2$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.4.2.3.1.4.1

$4$ を $8$ で因数分解します。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (2)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 7.4.2.3.1.4.2

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

ステップ 7.4.2.3.1.5

累乗根の下から項を取り出します。

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{2}}{2 \cdot 1}$

ステップ 7.4.2.3.2

$2$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{2}}{2}$

ステップ 7.4.2.3.3

$\frac{- 2 \pm 2 \sqrt{2}}{2}$ を簡約します。

$x = - 1 \pm \sqrt{2}$

ステップ 7.4.2.4

式を簡約し、 $\pm$ の $+$ 部の値を求めます。

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ステップ 7.4.2.4.1

分子を簡約します。

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ステップ 7.4.2.4.1.1

$2$ を $2$ 乗します。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

ステップ 7.4.2.4.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.4.2.4.1.2.1

$- 4$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

ステップ 7.4.2.4.1.2.2

$- 4$ に $- 1$ をかけます。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 4}}{2 \cdot 1}$

ステップ 7.4.2.4.1.3

$4$ と $4$ をたし算します。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{8}}{2 \cdot 1}$

ステップ 7.4.2.4.1.4

$8$ を $2^{2} \cdot 2$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.4.2.4.1.4.1

$4$ を $8$ で因数分解します。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (2)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 7.4.2.4.1.4.2

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

ステップ 7.4.2.4.1.5

累乗根の下から項を取り出します。

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{2}}{2 \cdot 1}$

ステップ 7.4.2.4.2

$2$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{2}}{2}$

ステップ 7.4.2.4.3

$\frac{- 2 \pm 2 \sqrt{2}}{2}$ を簡約します。

$x = - 1 \pm \sqrt{2}$

ステップ 7.4.2.4.4

$\pm$ を $+$ に変更します。

$x = - 1 + \sqrt{2}$

ステップ 7.4.2.5

式を簡約し、 $\pm$ の $-$ 部の値を求めます。

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ステップ 7.4.2.5.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.4.2.5.1.1

$2$ を $2$ 乗します。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

ステップ 7.4.2.5.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.4.2.5.1.2.1

$- 4$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

ステップ 7.4.2.5.1.2.2

$- 4$ に $- 1$ をかけます。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 4}}{2 \cdot 1}$

ステップ 7.4.2.5.1.3

$4$ と $4$ をたし算します。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{8}}{2 \cdot 1}$

ステップ 7.4.2.5.1.4

$8$ を $2^{2} \cdot 2$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.4.2.5.1.4.1

$4$ を $8$ で因数分解します。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (2)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 7.4.2.5.1.4.2

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

ステップ 7.4.2.5.1.5

累乗根の下から項を取り出します。

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{2}}{2 \cdot 1}$

ステップ 7.4.2.5.2

$2$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{2}}{2}$

ステップ 7.4.2.5.3

$\frac{- 2 \pm 2 \sqrt{2}}{2}$ を簡約します。

$x = - 1 \pm \sqrt{2}$

ステップ 7.4.2.5.4

$\pm$ を $-$ に変更します。

$x = - 1 - \sqrt{2}$

ステップ 7.4.2.6

最終的な答えは両方の解の組み合わせです。

$x = - 1 + \sqrt{2}, - 1 - \sqrt{2}$

ステップ 7.5

最終解は $(x + 2) (x^{2} + 2 x - 1) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = - 2, - 1 + \sqrt{2}, - 1 - \sqrt{2}$

ステップ 8

多項式は線形因数の集合として書くことができません。

$(x - 2) (x + 2) (x + 1 - \sqrt{2}) (x + 1 + \sqrt{2})$

ステップ 9

多項式 $x^{4} + 2 x^{3} - 5 x^{2} - 8 x + 4$ の根（0）です。

$x = 2, - 2, - 1 + \sqrt{2}, - 1 - \sqrt{2}$

ステップ 10

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$x = 2, - 2, - 1 + \sqrt{2}, - 1 - \sqrt{2}$

10進法形式：

$x = 2, - 2, 0.41421356 \dots, - 2.41421356 \dots$

ステップ 11

微分積分学準備 例

微分積分学準備例