微分積分学準備例

$x^{4} - 5 x^{3} + 9 x^{2} - 7 x + 2 = 0$

ステップ 1

多項式関数が整数係数をもつならば、すべての有理数0は $\frac{p}{q}$ の形をもち、 $p$ は定数の因数、 $q$ は首位係数の因数です。

$p = \pm 1, \pm 2$

$q = \pm 1$

ステップ 2

$\pm \frac{p}{q}$ のすべての組み合わせを求めます。これらは、多項式関数の可能な根です。

$\pm 1, \pm 2$

ステップ 3

可能な根を多項式にそれぞれ代入し、実際の根を求めます。簡約し、値が $0$ か、つまり根であるか確認します。

${(1)}^{4} - 5 {(1)}^{3} + 9 {(1)}^{2} - 7 \cdot 1 + 2$

ステップ 4

式を簡約します。この場合、式は $0$ に等しくなり、 $x = 1$ は多項式の根です。

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ステップ 4.1

各項を簡約します。

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ステップ 4.1.1

1のすべての数の累乗は1です。

$1 - 5 {(1)}^{3} + 9 {(1)}^{2} - 7 \cdot 1 + 2$

ステップ 4.1.2

1のすべての数の累乗は1です。

$1 - 5 \cdot 1 + 9 {(1)}^{2} - 7 \cdot 1 + 2$

ステップ 4.1.3

$- 5$ に $1$ をかけます。

$1 - 5 + 9 {(1)}^{2} - 7 \cdot 1 + 2$

ステップ 4.1.4

1のすべての数の累乗は1です。

$1 - 5 + 9 \cdot 1 - 7 \cdot 1 + 2$

ステップ 4.1.5

$9$ に $1$ をかけます。

$1 - 5 + 9 - 7 \cdot 1 + 2$

ステップ 4.1.6

$- 7$ に $1$ をかけます。

$1 - 5 + 9 - 7 + 2$

ステップ 4.2

足し算と引き算で簡約します。

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ステップ 4.2.1

$1$ から $5$ を引きます。

$- 4 + 9 - 7 + 2$

ステップ 4.2.2

$- 4$ と $9$ をたし算します。

$5 - 7 + 2$

ステップ 4.2.3

$5$ から $7$ を引きます。

$- 2 + 2$

ステップ 4.2.4

$- 2$ と $2$ をたし算します。

$0$

ステップ 5

$1$ は既知の根なので、多項式を $x - 1$ で割り、多項式の商を求めます。この多項式は他の根を求めるために利用できます。

$\frac{x^{4} - 5 x^{3} + 9 x^{2} - 7 x + 2}{x - 1}$

ステップ 6

次に、残りの多項式の根を求めます。多項式の次数は $1$ で約分しています。

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ステップ 6.1

除数と被除数を表す数を除法のような配置にします。

$1$	$1$	$- 5$	$9$	$- 7$	$2$

ステップ 6.2

被除数 $(1)$ の1番目の数を、結果領域の第1位（水平線の下）に置きます。

$1$	$1$	$- 5$	$9$	$- 7$	$2$

	$1$

ステップ 6.3

結果 $(1)$ の最新の項目に除数 $(1)$ を掛け、 $(1)$ の結果を被除数 $(- 5)$ の隣の項の下に置きます。

$1$	$1$	$- 5$	$9$	$- 7$	$2$
		$1$
	$1$

ステップ 6.4

かけ算の積とわり算した数をたし、結果行の次の位置に結果を記入します。

$1$	$1$	$- 5$	$9$	$- 7$	$2$
		$1$
	$1$	$- 4$

ステップ 6.5

結果 $(- 4)$ の最新の項目に除数 $(1)$ を掛け、 $(- 4)$ の結果を被除数 $(9)$ の隣の項の下に置きます。

$1$	$1$	$- 5$	$9$	$- 7$	$2$
		$1$	$- 4$
	$1$	$- 4$

ステップ 6.6

かけ算の積とわり算した数をたし、結果行の次の位置に結果を記入します。

$1$	$1$	$- 5$	$9$	$- 7$	$2$
		$1$	$- 4$
	$1$	$- 4$	$5$

ステップ 6.7

結果 $(5)$ の最新の項目に除数 $(1)$ を掛け、 $(5)$ の結果を被除数 $(- 7)$ の隣の項の下に置きます。

$1$	$1$	$- 5$	$9$	$- 7$	$2$
		$1$	$- 4$	$5$
	$1$	$- 4$	$5$

ステップ 6.8

かけ算の積とわり算した数をたし、結果行の次の位置に結果を記入します。

$1$	$1$	$- 5$	$9$	$- 7$	$2$
		$1$	$- 4$	$5$
	$1$	$- 4$	$5$	$- 2$

ステップ 6.9

結果 $(- 2)$ の最新の項目に除数 $(1)$ を掛け、 $(- 2)$ の結果を被除数 $(2)$ の隣の項の下に置きます。

$1$	$1$	$- 5$	$9$	$- 7$	$2$
		$1$	$- 4$	$5$	$- 2$
	$1$	$- 4$	$5$	$- 2$

ステップ 6.10

かけ算の積とわり算した数をたし、結果行の次の位置に結果を記入します。

$1$	$1$	$- 5$	$9$	$- 7$	$2$
		$1$	$- 4$	$5$	$- 2$
	$1$	$- 4$	$5$	$- 2$	$0$

ステップ 6.11

最後の数以外のすべての数は、商の多項式の係数になります。結果行の最後の値は余りです。

$1 x^{3} + - 4 x^{2} + (5) x - 2$

ステップ 6.12

商の多項式を簡約します。

$x^{3} - 4 x^{2} + 5 x - 2$

ステップ 7

方程式を解き、残りの根を求めます。

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ステップ 7.1

方程式の左辺を因数分解します。

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ステップ 7.1.1

有理根検定を用いて $x^{3} - 4 x^{2} + 5 x - 2$ を因数分解します。

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ステップ 7.1.1.1

多項式関数が整数係数をもつならば、すべての有理数0は $\frac{p}{q}$ の形をもち、 $p$ は定数の因数、 $q$ は首位係数の因数です。

$p = \pm 1, \pm 2$

$q = \pm 1$

ステップ 7.1.1.2

$\pm \frac{p}{q}$ のすべての組み合わせを求めます。これらは、多項式関数の可能な根です。

$\pm 1, \pm 2$

ステップ 7.1.1.3

$1$ を代入し、式を簡約します。この場合、式は $0$ に等しいので、 $1$ は多項式の根です。

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ステップ 7.1.1.3.1

$1$ を多項式に代入します。

$1^{3} - 4 \cdot 1^{2} + 5 \cdot 1 - 2$

ステップ 7.1.1.3.2

$1$ を $3$ 乗します。

$1 - 4 \cdot 1^{2} + 5 \cdot 1 - 2$

ステップ 7.1.1.3.3

$1$ を $2$ 乗します。

$1 - 4 \cdot 1 + 5 \cdot 1 - 2$

ステップ 7.1.1.3.4

$- 4$ に $1$ をかけます。

$1 - 4 + 5 \cdot 1 - 2$

ステップ 7.1.1.3.5

$1$ から $4$ を引きます。

$- 3 + 5 \cdot 1 - 2$

ステップ 7.1.1.3.6

$5$ に $1$ をかけます。

$- 3 + 5 - 2$

ステップ 7.1.1.3.7

$- 3$ と $5$ をたし算します。

$2 - 2$

ステップ 7.1.1.3.8

$2$ から $2$ を引きます。

$0$

ステップ 7.1.1.4

$1$ は既知の根なので、多項式を $x - 1$ で割り、多項式の商を求めます。この多項式は他の根を求めるために利用できます。

$\frac{x^{3} - 4 x^{2} + 5 x - 2}{x - 1}$

ステップ 7.1.1.5

$x^{3} - 4 x^{2} + 5 x - 2$ を $x - 1$ で割ります。

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ステップ 7.1.1.5.1

多項式を分割します。すべての指数に項がない場合、 $0$ の値の項を挿入します。

$x$

$1$

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$5 x$

$2$

ステップ 7.1.1.5.2

被除数 $x^{3}$ の最高次項を除数 $x$ の最高次項で割ります。

					$x^{2}$
	$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$5 x$	-	$2$

ステップ 7.1.1.5.3

新しい商の項に除数を掛けます。

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$5 x$	-	$2$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$

ステップ 7.1.1.5.4

式は被除数から引く必要があるので、 $x^{3} - x^{2}$ の符号をすべて変更します。

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$5 x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$

ステップ 7.1.1.5.5

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$5 x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$3 x^{2}$

ステップ 7.1.1.5.6

元の被除数から次の項を現在の被除数に引き下げます。

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$5 x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	+	$5 x$

ステップ 7.1.1.5.7

被除数 $- 3 x^{2}$ の最高次項を除数 $x$ の最高次項で割ります。

				$x^{2}$	-	$3 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$5 x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	+	$5 x$

ステップ 7.1.1.5.8

新しい商の項に除数を掛けます。

				$x^{2}$	-	$3 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$5 x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	+	$5 x$
					-	$3 x^{2}$	+	$3 x$

ステップ 7.1.1.5.9

式は被除数から引く必要があるので、 $- 3 x^{2} + 3 x$ の符号をすべて変更します。

				$x^{2}$	-	$3 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$5 x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	+	$5 x$
					+	$3 x^{2}$	-	$3 x$

ステップ 7.1.1.5.10

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

				$x^{2}$	-	$3 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$5 x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	+	$5 x$
					+	$3 x^{2}$	-	$3 x$
							+	$2 x$

ステップ 7.1.1.5.11

元の被除数から次の項を現在の被除数に引き下げます。

				$x^{2}$	-	$3 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$5 x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	+	$5 x$
					+	$3 x^{2}$	-	$3 x$
							+	$2 x$	-	$2$

ステップ 7.1.1.5.12

被除数 $2 x$ の最高次項を除数 $x$ の最高次項で割ります。

				$x^{2}$	-	$3 x$	+	$2$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$5 x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	+	$5 x$
					+	$3 x^{2}$	-	$3 x$
							+	$2 x$	-	$2$

ステップ 7.1.1.5.13

新しい商の項に除数を掛けます。

				$x^{2}$	-	$3 x$	+	$2$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$5 x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	+	$5 x$
					+	$3 x^{2}$	-	$3 x$
							+	$2 x$	-	$2$
							+	$2 x$	-	$2$

ステップ 7.1.1.5.14

式は被除数から引く必要があるので、 $2 x - 2$ の符号をすべて変更します。

				$x^{2}$	-	$3 x$	+	$2$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$5 x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	+	$5 x$
					+	$3 x^{2}$	-	$3 x$
							+	$2 x$	-	$2$
							-	$2 x$	+	$2$

ステップ 7.1.1.5.15

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

				$x^{2}$	-	$3 x$	+	$2$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$5 x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	+	$5 x$
					+	$3 x^{2}$	-	$3 x$
							+	$2 x$	-	$2$
							-	$2 x$	+	$2$
										$0$

ステップ 7.1.1.5.16

余りが $0$ なので、最終回答は商です。

$x^{2} - 3 x + 2$

ステップ 7.1.1.6

$x^{3} - 4 x^{2} + 5 x - 2$ を因数の集合として書き換えます。

$(x - 1) (x^{2} - 3 x + 2) = 0$

ステップ 7.1.2

たすき掛けを利用して $x^{2} - 3 x + 2$ を因数分解します。

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ステップ 7.1.2.1

たすき掛けを利用して $x^{2} - 3 x + 2$ を因数分解します。

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ステップ 7.1.2.1.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $2$ で、その和が $- 3$ です。

$- 2, - 1$

ステップ 7.1.2.1.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$(x - 1) ((x - 2) (x - 1)) = 0$

ステップ 7.1.2.2

不要な括弧を削除します。

$(x - 1) (x - 2) (x - 1) = 0$

ステップ 7.2

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x - 1 = 0$

$x - 2 = 0$

$x - 1 = 0$

ステップ 7.3

$x - 1$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 7.3.1

$x - 1$ が $0$ に等しいとします。

$x - 1 = 0$

ステップ 7.3.2

方程式の両辺に $1$ を足します。

$x = 1$

ステップ 7.4

$x - 2$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 7.4.1

$x - 2$ が $0$ に等しいとします。

$x - 2 = 0$

ステップ 7.4.2

方程式の両辺に $2$ を足します。

$x = 2$

ステップ 7.5

最終解は $(x - 1) (x - 2) (x - 1) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 1, 2$

ステップ 8

多項式は線形因数の集合として書くことができません。

$(x - 1) (x - 2)$

ステップ 9

多項式 $x^{4} - 5 x^{3} + 9 x^{2} - 7 x + 2$ の根（0）です。

$x = 1, 2$

ステップ 10

微分積分学準備 例

微分積分学準備例