微分積分学準備例

$\frac{12}{x^{2} - 9}$

ステップ 1

分数を分解し、公分母を掛けます。

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ステップ 1.1

分数を因数分解します。

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ステップ 1.1.1

$9$ を $3^{2}$ に書き換えます。

$\frac{12}{x^{2} - 3^{2}}$

ステップ 1.1.2

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = x$ であり、 $b = 3$ です。

$\frac{12}{(x + 3) (x - 3)}$

ステップ 1.2

分母の各因数に対して、その因数を分母として、未知の値を分子として利用し、新たな分数を作成します。分母の因数は線形なので、その場所 $A$ には1個の変数を置きます。

$\frac{A}{x + 3}$

ステップ 1.3

分母の各因数に対して、その因数を分母として、未知の値を分子として利用し、新たな分数を作成します。分母の因数は線形なので、その場所 $B$ には1個の変数を置きます。

$\frac{A}{x + 3} + \frac{B}{x - 3}$

ステップ 1.4

方程式の各分数に元の式の分母を掛けます。この場合、分母は $(x + 3) (x - 3)$ です。

$\frac{12 (x + 3) (x - 3)}{(x + 3) (x - 3)} = \frac{(A) (x + 3) (x - 3)}{x + 3} + \frac{(B) (x + 3) (x - 3)}{x - 3}$

ステップ 1.5

$x + 3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.5.1

共通因数を約分します。

$\frac{12 (x + 3) (x - 3)}{(x + 3) (x - 3)} = \frac{(A) (x + 3) (x - 3)}{x + 3} + \frac{(B) (x + 3) (x - 3)}{x - 3}$

ステップ 1.5.2

式を書き換えます。

$\frac{12 (x - 3)}{x - 3} = \frac{(A) (x + 3) (x - 3)}{x + 3} + \frac{(B) (x + 3) (x - 3)}{x - 3}$

ステップ 1.6

$x - 3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.6.1

共通因数を約分します。

$\frac{12 (x - 3)}{x - 3} = \frac{(A) (x + 3) (x - 3)}{x + 3} + \frac{(B) (x + 3) (x - 3)}{x - 3}$

ステップ 1.6.2

$12$ を $1$ で割ります。

$12 = \frac{(A) (x + 3) (x - 3)}{x + 3} + \frac{(B) (x + 3) (x - 3)}{x - 3}$

ステップ 1.7

各項を簡約します。

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ステップ 1.7.1

$x + 3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.7.1.1

共通因数を約分します。

$12 = \frac{A (x + 3) (x - 3)}{x + 3} + \frac{(B) (x + 3) (x - 3)}{x - 3}$

ステップ 1.7.1.2

$(A) (x - 3)$ を $1$ で割ります。

$12 = (A) (x - 3) + \frac{(B) (x + 3) (x - 3)}{x - 3}$

ステップ 1.7.2

分配則を当てはめます。

$12 = A x + A \cdot - 3 + \frac{(B) (x + 3) (x - 3)}{x - 3}$

ステップ 1.7.3

$- 3$ を $A$ の左に移動させます。

$12 = A x - 3 \cdot A + \frac{(B) (x + 3) (x - 3)}{x - 3}$

ステップ 1.7.4

$x - 3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.7.4.1

共通因数を約分します。

$12 = A x - 3 A + \frac{(B) (x + 3) (x - 3)}{x - 3}$

ステップ 1.7.4.2

$(B) (x + 3)$ を $1$ で割ります。

$12 = A x - 3 A + (B) (x + 3)$

ステップ 1.7.5

分配則を当てはめます。

$12 = A x - 3 A + B x + B \cdot 3$

ステップ 1.7.6

$3$ を $B$ の左に移動させます。

$12 = A x - 3 A + B x + 3 B$

ステップ 1.8

$- 3 A$ を移動させます。

$12 = A x + B x - 3 A + 3 B$

ステップ 2

部分分数の変数について方程式を作成し、それらを使って連立方程式を立てます。

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ステップ 2.1

式の両辺から $x$ の係数を等しくし、部分分数の変数の方程式を作成します。方程式を等しくするために、方程式の両辺の等価係数は等しくなければなりません。

$0 = A + B$

ステップ 2.2

式の両辺から $x$ を含まない項の係数を等しくし、部分分数の変数の方程式を作成します。方程式を等しくするために、方程式の両辺の等価係数は等しくなければなりません。

$12 = - 3 A + 3 B$

ステップ 2.3

連立方程式を立て、部分分数の係数を求めます。

$0 = A + B$

$12 = - 3 A + 3 B$

$0 = A + B$

$12 = - 3 A + 3 B$

ステップ 3

連立方程式を解きます。

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ステップ 3.1

$0 = A + B$ の $A$ について解きます。

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ステップ 3.1.1

方程式を $A + B = 0$ として書き換えます。

$A + B = 0$

$12 = - 3 A + 3 B$

ステップ 3.1.2

方程式の両辺から $B$ を引きます。

$A = - B$

$12 = - 3 A + 3 B$

$A = - B$

$12 = - 3 A + 3 B$

ステップ 3.2

各方程式の $A$ のすべての発生を $- B$ で置き換えます。

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ステップ 3.2.1

$12 = - 3 A + 3 B$ の $A$ のすべての発生を $- B$ で置き換えます。

$12 = - 3 (- B) + 3 B$

$A = - B$

ステップ 3.2.2

右辺を簡約します。

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ステップ 3.2.2.1

$- 3 (- B) + 3 B$ を簡約します。

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ステップ 3.2.2.1.1

$- 1$ に $- 3$ をかけます。

$12 = 3 B + 3 B$

$A = - B$

ステップ 3.2.2.1.2

$3 B$ と $3 B$ をたし算します。

$12 = 6 B$

$A = - B$

$12 = 6 B$

$A = - B$

$12 = 6 B$

$A = - B$

$12 = 6 B$

$A = - B$

ステップ 3.3

$12 = 6 B$ の $B$ について解きます。

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ステップ 3.3.1

方程式を $6 B = 12$ として書き換えます。

$6 B = 12$

$A = - B$

ステップ 3.3.2

$6 B = 12$ の各項を $6$ で割り、簡約します。

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ステップ 3.3.2.1

$6 B = 12$ の各項を $6$ で割ります。

$\frac{6 B}{6} = \frac{12}{6}$

$A = - B$

ステップ 3.3.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 3.3.2.2.1

$6$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.3.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{6 B}{6} = \frac{12}{6}$

$A = - B$

ステップ 3.3.2.2.1.2

$B$ を $1$ で割ります。

$B = \frac{12}{6}$

$A = - B$

$B = \frac{12}{6}$

$A = - B$

$B = \frac{12}{6}$

$A = - B$

ステップ 3.3.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 3.3.2.3.1

$12$ を $6$ で割ります。

$B = 2$

$A = - B$

$B = 2$

$A = - B$

$B = 2$

$A = - B$

$B = 2$

$A = - B$

ステップ 3.4

各方程式の $B$ のすべての発生を $2$ で置き換えます。

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ステップ 3.4.1

$A = - B$ の $B$ のすべての発生を $2$ で置き換えます。

$A = - (2)$

$B = 2$

ステップ 3.4.2

右辺を簡約します。

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ステップ 3.4.2.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$A = - 2$

$B = 2$

$A = - 2$

$B = 2$

$A = - 2$

$B = 2$

ステップ 3.5

すべての解をまとめます。

$A = - 2, B = 2$

ステップ 4

$\frac{A}{x + 3} + \frac{B}{x - 3}$ の各部分分数の係数を $A$ と $B$ で求めた値で置き換えます。

$\frac{- 2}{x + 3} + \frac{2}{x - 3}$

微分積分学準備 例

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