微分積分学準備例

$\frac{x}{(x + 2) (x + 5)}$

ステップ 1

分数を分解し、公分母を掛けます。

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ステップ 1.1

分母の各因数に対して、その因数を分母として、未知の値を分子として利用し、新たな分数を作成します。分母の因数は線形なので、その場所 $A$ には1個の変数を置きます。

$\frac{A}{x + 2}$

ステップ 1.2

分母の各因数に対して、その因数を分母として、未知の値を分子として利用し、新たな分数を作成します。分母の因数は線形なので、その場所 $B$ には1個の変数を置きます。

$\frac{A}{x + 2} + \frac{B}{x + 5}$

ステップ 1.3

方程式の各分数に元の式の分母を掛けます。この場合、分母は $(x + 2) (x + 5)$ です。

$\frac{x (x + 2) (x + 5)}{(x + 2) (x + 5)} = \frac{(A) (x + 2) (x + 5)}{x + 2} + \frac{(B) (x + 2) (x + 5)}{x + 5}$

ステップ 1.4

$x + 2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{x (x + 2) (x + 5)}{(x + 2) (x + 5)} = \frac{(A) (x + 2) (x + 5)}{x + 2} + \frac{(B) (x + 2) (x + 5)}{x + 5}$

ステップ 1.4.2

式を書き換えます。

$\frac{x (x + 5)}{x + 5} = \frac{(A) (x + 2) (x + 5)}{x + 2} + \frac{(B) (x + 2) (x + 5)}{x + 5}$

ステップ 1.5

$x + 5$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.5.1

共通因数を約分します。

$\frac{x (x + 5)}{x + 5} = \frac{(A) (x + 2) (x + 5)}{x + 2} + \frac{(B) (x + 2) (x + 5)}{x + 5}$

ステップ 1.5.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{(A) (x + 2) (x + 5)}{x + 2} + \frac{(B) (x + 2) (x + 5)}{x + 5}$

ステップ 1.6

各項を簡約します。

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ステップ 1.6.1

$x + 2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.6.1.1

共通因数を約分します。

$x = \frac{A (x + 2) (x + 5)}{x + 2} + \frac{(B) (x + 2) (x + 5)}{x + 5}$

ステップ 1.6.1.2

$(A) (x + 5)$ を $1$ で割ります。

$x = (A) (x + 5) + \frac{(B) (x + 2) (x + 5)}{x + 5}$

ステップ 1.6.2

分配則を当てはめます。

$x = A x + A \cdot 5 + \frac{(B) (x + 2) (x + 5)}{x + 5}$

ステップ 1.6.3

$5$ を $A$ の左に移動させます。

$x = A x + 5 \cdot A + \frac{(B) (x + 2) (x + 5)}{x + 5}$

ステップ 1.6.4

$x + 5$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.6.4.1

共通因数を約分します。

$x = A x + 5 A + \frac{(B) (x + 2) (x + 5)}{x + 5}$

ステップ 1.6.4.2

$(B) (x + 2)$ を $1$ で割ります。

$x = A x + 5 A + (B) (x + 2)$

ステップ 1.6.5

分配則を当てはめます。

$x = A x + 5 A + B x + B \cdot 2$

ステップ 1.6.6

$2$ を $B$ の左に移動させます。

$x = A x + 5 A + B x + 2 B$

ステップ 1.7

$5 A$ を移動させます。

$x = A x + B x + 5 A + 2 B$

ステップ 2

部分分数の変数について方程式を作成し、それらを使って連立方程式を立てます。

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ステップ 2.1

式の両辺から $x$ の係数を等しくし、部分分数の変数の方程式を作成します。方程式を等しくするために、方程式の両辺の等価係数は等しくなければなりません。

$1 = A + B$

ステップ 2.2

式の両辺から $x$ を含まない項の係数を等しくし、部分分数の変数の方程式を作成します。方程式を等しくするために、方程式の両辺の等価係数は等しくなければなりません。

$0 = 5 A + 2 B$

ステップ 2.3

連立方程式を立て、部分分数の係数を求めます。

$1 = A + B$

$0 = 5 A + 2 B$

$1 = A + B$

$0 = 5 A + 2 B$

ステップ 3

連立方程式を解きます。

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ステップ 3.1

$1 = A + B$ の $A$ について解きます。

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ステップ 3.1.1

方程式を $A + B = 1$ として書き換えます。

$A + B = 1$

$0 = 5 A + 2 B$

ステップ 3.1.2

方程式の両辺から $B$ を引きます。

$A = 1 - B$

$0 = 5 A + 2 B$

$A = 1 - B$

$0 = 5 A + 2 B$

ステップ 3.2

各方程式の $A$ のすべての発生を $1 - B$ で置き換えます。

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ステップ 3.2.1

$0 = 5 A + 2 B$ の $A$ のすべての発生を $1 - B$ で置き換えます。

$0 = 5 (1 - B) + 2 B$

$A = 1 - B$

ステップ 3.2.2

右辺を簡約します。

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ステップ 3.2.2.1

$5 (1 - B) + 2 B$ を簡約します。

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ステップ 3.2.2.1.1

各項を簡約します。

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ステップ 3.2.2.1.1.1

分配則を当てはめます。

$0 = 5 \cdot 1 + 5 (- B) + 2 B$

$A = 1 - B$

ステップ 3.2.2.1.1.2

$5$ に $1$ をかけます。

$0 = 5 + 5 (- B) + 2 B$

$A = 1 - B$

ステップ 3.2.2.1.1.3

$- 1$ に $5$ をかけます。

$0 = 5 - 5 B + 2 B$

$A = 1 - B$

$0 = 5 - 5 B + 2 B$

$A = 1 - B$

ステップ 3.2.2.1.2

$- 5 B$ と $2 B$ をたし算します。

$0 = 5 - 3 B$

$A = 1 - B$

$0 = 5 - 3 B$

$A = 1 - B$

$0 = 5 - 3 B$

$A = 1 - B$

$0 = 5 - 3 B$

$A = 1 - B$

ステップ 3.3

$0 = 5 - 3 B$ の $B$ について解きます。

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ステップ 3.3.1

方程式を $5 - 3 B = 0$ として書き換えます。

$5 - 3 B = 0$

$A = 1 - B$

ステップ 3.3.2

方程式の両辺から $5$ を引きます。

$- 3 B = - 5$

$A = 1 - B$

ステップ 3.3.3

$- 3 B = - 5$ の各項を $- 3$ で割り、簡約します。

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ステップ 3.3.3.1

$- 3 B = - 5$ の各項を $- 3$ で割ります。

$\frac{- 3 B}{- 3} = \frac{- 5}{- 3}$

$A = 1 - B$

ステップ 3.3.3.2

左辺を簡約します。

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ステップ 3.3.3.2.1

$- 3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.3.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{- 3 B}{- 3} = \frac{- 5}{- 3}$

$A = 1 - B$

ステップ 3.3.3.2.1.2

$B$ を $1$ で割ります。

$B = \frac{- 5}{- 3}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{- 5}{- 3}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{- 5}{- 3}$

$A = 1 - B$

ステップ 3.3.3.3

右辺を簡約します。

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ステップ 3.3.3.3.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$B = \frac{5}{3}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{5}{3}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{5}{3}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{5}{3}$

$A = 1 - B$

ステップ 3.4

各方程式の $B$ のすべての発生を $\frac{5}{3}$ で置き換えます。

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ステップ 3.4.1

$A = 1 - B$ の $B$ のすべての発生を $\frac{5}{3}$ で置き換えます。

$A = 1 - (\frac{5}{3})$

$B = \frac{5}{3}$

ステップ 3.4.2

右辺を簡約します。

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ステップ 3.4.2.1

$1 - (\frac{5}{3})$ を簡約します。

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ステップ 3.4.2.1.1

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$A = \frac{3}{3} - \frac{5}{3}$

$B = \frac{5}{3}$

ステップ 3.4.2.1.2

公分母の分子をまとめます。

$A = \frac{3 - 5}{3}$

$B = \frac{5}{3}$

ステップ 3.4.2.1.3

$3$ から $5$ を引きます。

$A = \frac{- 2}{3}$

$B = \frac{5}{3}$

ステップ 3.4.2.1.4

分数の前に負数を移動させます。

$A = - \frac{2}{3}$

$B = \frac{5}{3}$

$A = - \frac{2}{3}$

$B = \frac{5}{3}$

$A = - \frac{2}{3}$

$B = \frac{5}{3}$

$A = - \frac{2}{3}$

$B = \frac{5}{3}$

ステップ 3.5

すべての解をまとめます。

$A = - \frac{2}{3}, B = \frac{5}{3}$

ステップ 4

$\frac{A}{x + 2} + \frac{B}{x + 5}$ の各部分分数の係数を $A$ と $B$ で求めた値で置き換えます。

$\frac{- \frac{2}{3}}{x + 2} + \frac{\frac{5}{3}}{x + 5}$

微分積分学準備 例

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