微分積分学準備例

$\frac{6 x^{2} + 13 x + 31}{x^{3} + 5 x^{2} + 4 x + 20}$

ステップ 1

分数を分解し、公分母を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

分数を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

各群から最大公約数を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.1

前の2項と後ろの2項をまとめます。

$\frac{6 x^{2} + 13 x + 31}{(x^{3} + 5 x^{2}) + 4 x + 20}$

ステップ 1.1.1.2

各群から最大公約数を因数分解します。

$\frac{6 x^{2} + 13 x + 31}{x^{2} (x + 5) + 4 (x + 5)}$

ステップ 1.1.2

最大公約数 $x + 5$ を因数分解して、多項式を因数分解します。

$\frac{6 x^{2} + 13 x + 31}{(x + 5) (x^{2} + 4)}$

ステップ 1.2

分母の各因数に対して、その因数を分母として、未知の値を分子として利用し、新たな分数を作成します。分母の因数は線形なので、その場所 $A$ には1個の変数を置きます。

$\frac{A}{x + 5}$

ステップ 1.3

分母の各因数に対して、その因数を分母として、未知の値を分子として利用し、新たな分数を作成します。因数は2次なので、 $2$ 項が分子に必要です。分子に必要な項数は常に分母の因数の次数と同じです。

$\frac{A}{x + 5} + \frac{B x + C}{x^{2} + 4}$

ステップ 1.4

方程式の各分数に元の式の分母を掛けます。この場合、分母は $(x + 5) (x^{2} + 4)$ です。

$\frac{(6 x^{2} + 13 x + 31) (x + 5) (x^{2} + 4)}{(x + 5) (x^{2} + 4)} = \frac{(A) (x + 5) (x^{2} + 4)}{x + 5} + \frac{(B x + C) (x + 5) (x^{2} + 4)}{x^{2} + 4}$

ステップ 1.5

$x + 5$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.1

共通因数を約分します。

$\frac{(6 x^{2} + 13 x + 31) (x + 5) (x^{2} + 4)}{(x + 5) (x^{2} + 4)} = \frac{(A) (x + 5) (x^{2} + 4)}{x + 5} + \frac{(B x + C) (x + 5) (x^{2} + 4)}{x^{2} + 4}$

ステップ 1.5.2

式を書き換えます。

$\frac{(6 x^{2} + 13 x + 31) (x^{2} + 4)}{x^{2} + 4} = \frac{(A) (x + 5) (x^{2} + 4)}{x + 5} + \frac{(B x + C) (x + 5) (x^{2} + 4)}{x^{2} + 4}$

ステップ 1.6

$x^{2} + 4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.6.1

共通因数を約分します。

$\frac{(6 x^{2} + 13 x + 31) (x^{2} + 4)}{x^{2} + 4} = \frac{(A) (x + 5) (x^{2} + 4)}{x + 5} + \frac{(B x + C) (x + 5) (x^{2} + 4)}{x^{2} + 4}$

ステップ 1.6.2

$6 x^{2} + 13 x + 31$ を $1$ で割ります。

$6 x^{2} + 13 x + 31 = \frac{(A) (x + 5) (x^{2} + 4)}{x + 5} + \frac{(B x + C) (x + 5) (x^{2} + 4)}{x^{2} + 4}$

ステップ 1.7

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.7.1

$x + 5$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.7.1.1

共通因数を約分します。

$6 x^{2} + 13 x + 31 = \frac{A (x + 5) (x^{2} + 4)}{x + 5} + \frac{(B x + C) (x + 5) (x^{2} + 4)}{x^{2} + 4}$

ステップ 1.7.1.2

$(A) (x^{2} + 4)$ を $1$ で割ります。

$6 x^{2} + 13 x + 31 = (A) (x^{2} + 4) + \frac{(B x + C) (x + 5) (x^{2} + 4)}{x^{2} + 4}$

ステップ 1.7.2

分配則を当てはめます。

$6 x^{2} + 13 x + 31 = A x^{2} + A \cdot 4 + \frac{(B x + C) (x + 5) (x^{2} + 4)}{x^{2} + 4}$

ステップ 1.7.3

$4$ を $A$ の左に移動させます。

$6 x^{2} + 13 x + 31 = A x^{2} + 4 \cdot A + \frac{(B x + C) (x + 5) (x^{2} + 4)}{x^{2} + 4}$

ステップ 1.7.4

$x^{2} + 4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.7.4.1

共通因数を約分します。

$6 x^{2} + 13 x + 31 = A x^{2} + 4 A + \frac{(B x + C) (x + 5) (x^{2} + 4)}{x^{2} + 4}$

ステップ 1.7.4.2

$(B x + C) (x + 5)$ を $1$ で割ります。

$6 x^{2} + 13 x + 31 = A x^{2} + 4 A + (B x + C) (x + 5)$

ステップ 1.7.5

分配法則（FOIL法）を使って $(B x + C) (x + 5)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.7.5.1

分配則を当てはめます。

$6 x^{2} + 13 x + 31 = A x^{2} + 4 A + B x (x + 5) + C (x + 5)$

ステップ 1.7.5.2

分配則を当てはめます。

$6 x^{2} + 13 x + 31 = A x^{2} + 4 A + B x \cdot x + B x \cdot 5 + C (x + 5)$

ステップ 1.7.5.3

分配則を当てはめます。

$6 x^{2} + 13 x + 31 = A x^{2} + 4 A + B x \cdot x + B x \cdot 5 + C x + C \cdot 5$

ステップ 1.7.6

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.7.6.1

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.7.6.1.1

$x$ を移動させます。

$6 x^{2} + 13 x + 31 = A x^{2} + 4 A + B (x \cdot x) + B x \cdot 5 + C x + C \cdot 5$

ステップ 1.7.6.1.2

$x$ に $x$ をかけます。

$6 x^{2} + 13 x + 31 = A x^{2} + 4 A + B x^{2} + B x \cdot 5 + C x + C \cdot 5$

ステップ 1.7.6.2

$5$ を $B x$ の左に移動させます。

$6 x^{2} + 13 x + 31 = A x^{2} + 4 A + B x^{2} + 5 \cdot (B x) + C x + C \cdot 5$

ステップ 1.7.6.3

$5$ を $C$ の左に移動させます。

$6 x^{2} + 13 x + 31 = A x^{2} + 4 A + B x^{2} + 5 B x + C x + 5 C$

ステップ 1.8

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.8.1

$B$ を移動させます。

$6 x^{2} + 13 x + 31 = A x^{2} + 4 A + B x^{2} + 5 x B + C x + 5 C$

ステップ 1.8.2

$4 A$ を移動させます。

$6 x^{2} + 13 x + 31 = A x^{2} + B x^{2} + 5 x B + C x + 4 A + 5 C$

ステップ 2

部分分数の変数について方程式を作成し、それらを使って連立方程式を立てます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

式の両辺から $x^{2}$ の係数を等しくし、部分分数の変数の方程式を作成します。方程式を等しくするために、方程式の両辺の等価係数は等しくなければなりません。

$6 = A + B$

ステップ 2.2

式の両辺から $x$ の係数を等しくし、部分分数の変数の方程式を作成します。方程式を等しくするために、方程式の両辺の等価係数は等しくなければなりません。

$13 = 5 B + C$

ステップ 2.3

式の両辺から $x$ を含まない項の係数を等しくし、部分分数の変数の方程式を作成します。方程式を等しくするために、方程式の両辺の等価係数は等しくなければなりません。

$31 = 4 A + 5 C$

ステップ 2.4

連立方程式を立て、部分分数の係数を求めます。

$6 = A + B$

$13 = 5 B + C$

$31 = 4 A + 5 C$

$6 = A + B$

$13 = 5 B + C$

$31 = 4 A + 5 C$

ステップ 3

連立方程式を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$6 = A + B$ の $A$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.1

方程式を $A + B = 6$ として書き換えます。

$A + B = 6$

$13 = 5 B + C$

$31 = 4 A + 5 C$

ステップ 3.1.2

方程式の両辺から $B$ を引きます。

$A = 6 - B$

$13 = 5 B + C$

$31 = 4 A + 5 C$

$A = 6 - B$

$13 = 5 B + C$

$31 = 4 A + 5 C$

ステップ 3.2

各方程式の $A$ のすべての発生を $6 - B$ で置き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

$31 = 4 A + 5 C$ の $A$ のすべての発生を $6 - B$ で置き換えます。

$31 = 4 (6 - B) + 5 C$

$A = 6 - B$

$13 = 5 B + C$

ステップ 3.2.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.1.1

分配則を当てはめます。

$31 = 4 \cdot 6 + 4 (- B) + 5 C$

$A = 6 - B$

$13 = 5 B + C$

ステップ 3.2.2.1.2

$4$ に $6$ をかけます。

$31 = 24 + 4 (- B) + 5 C$

$A = 6 - B$

$13 = 5 B + C$

ステップ 3.2.2.1.3

$- 1$ に $4$ をかけます。

$31 = 24 - 4 B + 5 C$

$A = 6 - B$

$13 = 5 B + C$

$31 = 24 - 4 B + 5 C$

$A = 6 - B$

$13 = 5 B + C$

$31 = 24 - 4 B + 5 C$

$A = 6 - B$

$13 = 5 B + C$

$31 = 24 - 4 B + 5 C$

$A = 6 - B$

$13 = 5 B + C$

ステップ 3.3

$6$ と $- B$ を並べ替えます。

$A = - B + 6$

$31 = 24 - 4 B + 5 C$

$13 = 5 B + C$

ステップ 3.4

$13 = 5 B + C$ の $C$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.1

方程式を $5 B + C = 13$ として書き換えます。

$5 B + C = 13$

$A = - B + 6$

$31 = 24 - 4 B + 5 C$

ステップ 3.4.2

方程式の両辺から $5 B$ を引きます。

$C = 13 - 5 B$

$A = - B + 6$

$31 = 24 - 4 B + 5 C$

$C = 13 - 5 B$

$A = - B + 6$

$31 = 24 - 4 B + 5 C$

ステップ 3.5

各方程式の $C$ のすべての発生を $13 - 5 B$ で置き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.1

$31 = 24 - 4 B + 5 C$ の $C$ のすべての発生を $13 - 5 B$ で置き換えます。

$31 = 24 - 4 B + 5 (13 - 5 B)$

$C = 13 - 5 B$

$A = - B + 6$

ステップ 3.5.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.2.1

$24 - 4 B + 5 (13 - 5 B)$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.2.1.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.2.1.1.1

分配則を当てはめます。

$31 = 24 - 4 B + 5 \cdot 13 + 5 (- 5 B)$

$C = 13 - 5 B$

$A = - B + 6$

ステップ 3.5.2.1.1.2

$5$ に $13$ をかけます。

$31 = 24 - 4 B + 65 + 5 (- 5 B)$

$C = 13 - 5 B$

$A = - B + 6$

ステップ 3.5.2.1.1.3

$- 5$ に $5$ をかけます。

$31 = 24 - 4 B + 65 - 25 B$

$C = 13 - 5 B$

$A = - B + 6$

$31 = 24 - 4 B + 65 - 25 B$

$C = 13 - 5 B$

$A = - B + 6$

ステップ 3.5.2.1.2

項を加えて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.2.1.2.1

$24$ と $65$ をたし算します。

$31 = - 4 B + 89 - 25 B$

$C = 13 - 5 B$

$A = - B + 6$

ステップ 3.5.2.1.2.2

$- 4 B$ から $25 B$ を引きます。

$31 = - 29 B + 89$

$C = 13 - 5 B$

$A = - B + 6$

$31 = - 29 B + 89$

$C = 13 - 5 B$

$A = - B + 6$

$31 = - 29 B + 89$

$C = 13 - 5 B$

$A = - B + 6$

$31 = - 29 B + 89$

$C = 13 - 5 B$

$A = - B + 6$

$31 = - 29 B + 89$

$C = 13 - 5 B$

$A = - B + 6$

ステップ 3.6

$31 = - 29 B + 89$ の $B$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.6.1

方程式を $- 29 B + 89 = 31$ として書き換えます。

$- 29 B + 89 = 31$

$C = 13 - 5 B$

$A = - B + 6$

ステップ 3.6.2

$B$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.6.2.1

方程式の両辺から $89$ を引きます。

$- 29 B = 31 - 89$

$C = 13 - 5 B$

$A = - B + 6$

ステップ 3.6.2.2

$31$ から $89$ を引きます。

$- 29 B = - 58$

$C = 13 - 5 B$

$A = - B + 6$

$- 29 B = - 58$

$C = 13 - 5 B$

$A = - B + 6$

ステップ 3.6.3

$- 29 B = - 58$ の各項を $- 29$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.6.3.1

$- 29 B = - 58$ の各項を $- 29$ で割ります。

$\frac{- 29 B}{- 29} = \frac{- 58}{- 29}$

$C = 13 - 5 B$

$A = - B + 6$

ステップ 3.6.3.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.6.3.2.1

$- 29$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.6.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{- 29 B}{- 29} = \frac{- 58}{- 29}$

$C = 13 - 5 B$

$A = - B + 6$

ステップ 3.6.3.2.1.2

$B$ を $1$ で割ります。

$B = \frac{- 58}{- 29}$

$C = 13 - 5 B$

$A = - B + 6$

$B = \frac{- 58}{- 29}$

$C = 13 - 5 B$

$A = - B + 6$

$B = \frac{- 58}{- 29}$

$C = 13 - 5 B$

$A = - B + 6$

ステップ 3.6.3.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.6.3.3.1

$- 58$ を $- 29$ で割ります。

$B = 2$

$C = 13 - 5 B$

$A = - B + 6$

$B = 2$

$C = 13 - 5 B$

$A = - B + 6$

$B = 2$

$C = 13 - 5 B$

$A = - B + 6$

$B = 2$

$C = 13 - 5 B$

$A = - B + 6$

ステップ 3.7

各方程式の $B$ のすべての発生を $2$ で置き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.7.1

$C = 13 - 5 B$ の $B$ のすべての発生を $2$ で置き換えます。

$C = 13 - 5 \cdot 2$

$B = 2$

$A = - B + 6$

ステップ 3.7.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.7.2.1

$13 - 5 \cdot 2$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.7.2.1.1

$- 5$ に $2$ をかけます。

$C = 13 - 10$

$B = 2$

$A = - B + 6$

ステップ 3.7.2.1.2

$13$ から $10$ を引きます。

$C = 3$

$B = 2$

$A = - B + 6$

$C = 3$

$B = 2$

$A = - B + 6$

$C = 3$

$B = 2$

$A = - B + 6$

ステップ 3.7.3

$A = - B + 6$ の $B$ のすべての発生を $2$ で置き換えます。

$A = - (2) + 6$

$C = 3$

$B = 2$

ステップ 3.7.4

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.7.4.1

$- (2) + 6$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.7.4.1.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$A = - 2 + 6$

$C = 3$

$B = 2$

ステップ 3.7.4.1.2

$- 2$ と $6$ をたし算します。

$A = 4$

$C = 3$

$B = 2$

$A = 4$

$C = 3$

$B = 2$

$A = 4$

$C = 3$

$B = 2$

$A = 4$

$C = 3$

$B = 2$

ステップ 3.8

すべての解をまとめます。

$A = 4, C = 3, B = 2$

ステップ 4

$\frac{A}{x + 5} + \frac{B x + C}{x^{2} + 4}$ の各部分分数の係数を $A$ 、 $B$ 、および $C$ で求めた値で置き換えます。

$\frac{4}{x + 5} + \frac{2 x + 3}{x^{2} + 4}$

ステップ 5

$2$ に $x$ をかけます。

$\frac{4}{x + 5} + \frac{2 x + 3}{x^{2} + 4}$

微分積分学準備 例

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