微分積分学準備例

$2 x^{3} - 7 x^{2} - 17 x + 10$

ステップ 1

$2 x^{3} - 7 x^{2} - 17 x + 10$ が $0$ に等しいとします。

$2 x^{3} - 7 x^{2} - 17 x + 10 = 0$

ステップ 2

$x$ について解きます。

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ステップ 2.1

方程式の左辺を因数分解します。

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ステップ 2.1.1

有理根検定を用いて $2 x^{3} - 7 x^{2} - 17 x + 10$ を因数分解します。

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ステップ 2.1.1.1

多項式関数が整数係数をもつならば、すべての有理数0は $\frac{p}{q}$ の形をもち、 $p$ は定数の因数、 $q$ は首位係数の因数です。

$p = \pm 1, \pm 10, \pm 2, \pm 5$

$q = \pm 1, \pm 2$

ステップ 2.1.1.2

$\pm \frac{p}{q}$ のすべての組み合わせを求めます。これらは、多項式関数の可能な根です。

$\pm 1, \pm 0.5, \pm 10, \pm 5, \pm 2, \pm 2.5$

ステップ 2.1.1.3

$0.5$ を代入し、式を簡約します。この場合、式は $0$ に等しいので、 $0.5$ は多項式の根です。

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ステップ 2.1.1.3.1

$0.5$ を多項式に代入します。

$2 \cdot {0.5}^{3} - 7 \cdot {0.5}^{2} - 17 \cdot 0.5 + 10$

ステップ 2.1.1.3.2

$0.5$ を $3$ 乗します。

$2 \cdot 0.125 - 7 \cdot {0.5}^{2} - 17 \cdot 0.5 + 10$

ステップ 2.1.1.3.3

$2$ に $0.125$ をかけます。

$0.25 - 7 \cdot {0.5}^{2} - 17 \cdot 0.5 + 10$

ステップ 2.1.1.3.4

$0.5$ を $2$ 乗します。

$0.25 - 7 \cdot 0.25 - 17 \cdot 0.5 + 10$

ステップ 2.1.1.3.5

$- 7$ に $0.25$ をかけます。

$0.25 - 1.75 - 17 \cdot 0.5 + 10$

ステップ 2.1.1.3.6

$0.25$ から $1.75$ を引きます。

$- 1.5 - 17 \cdot 0.5 + 10$

ステップ 2.1.1.3.7

$- 17$ に $0.5$ をかけます。

$- 1.5 - 8.5 + 10$

ステップ 2.1.1.3.8

$- 1.5$ から $8.5$ を引きます。

$- 10 + 10$

ステップ 2.1.1.3.9

$- 10$ と $10$ をたし算します。

$0$

ステップ 2.1.1.4

$0.5$ は既知の根なので、多項式を $2 x - 1$ で割り、多項式の商を求めます。この多項式は他の根を求めるために利用できます。

$\frac{2 x^{3} - 7 x^{2} - 17 x + 10}{2 x - 1}$

ステップ 2.1.1.5

$2 x^{3} - 7 x^{2} - 17 x + 10$ を $2 x - 1$ で割ります。

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ステップ 2.1.1.5.1

多項式を分割します。すべての指数に項がない場合、 $0$ の値の項を挿入します。

$2 x$

$1$

$2 x^{3}$

$7 x^{2}$

$17 x$

$10$

ステップ 2.1.1.5.2

被除数 $2 x^{3}$ の最高次項を除数 $2 x$ の最高次項で割ります。

					$x^{2}$
	$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$7 x^{2}$	-	$17 x$	+	$10$

ステップ 2.1.1.5.3

新しい商の項に除数を掛けます。

				$x^{2}$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$7 x^{2}$	-	$17 x$	+	$10$
			+	$2 x^{3}$	-	$x^{2}$

ステップ 2.1.1.5.4

式は被除数から引く必要があるので、 $2 x^{3} - x^{2}$ の符号をすべて変更します。

				$x^{2}$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$7 x^{2}$	-	$17 x$	+	$10$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$

ステップ 2.1.1.5.5

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

				$x^{2}$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$7 x^{2}$	-	$17 x$	+	$10$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$6 x^{2}$

ステップ 2.1.1.5.6

元の被除数から次の項を現在の被除数に引き下げます。

				$x^{2}$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$7 x^{2}$	-	$17 x$	+	$10$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	-	$17 x$

ステップ 2.1.1.5.7

被除数 $- 6 x^{2}$ の最高次項を除数 $2 x$ の最高次項で割ります。

				$x^{2}$	-	$3 x$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$7 x^{2}$	-	$17 x$	+	$10$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	-	$17 x$

ステップ 2.1.1.5.8

新しい商の項に除数を掛けます。

				$x^{2}$	-	$3 x$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$7 x^{2}$	-	$17 x$	+	$10$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	-	$17 x$
					-	$6 x^{2}$	+	$3 x$

ステップ 2.1.1.5.9

式は被除数から引く必要があるので、 $- 6 x^{2} + 3 x$ の符号をすべて変更します。

				$x^{2}$	-	$3 x$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$7 x^{2}$	-	$17 x$	+	$10$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	-	$17 x$
					+	$6 x^{2}$	-	$3 x$

ステップ 2.1.1.5.10

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

				$x^{2}$	-	$3 x$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$7 x^{2}$	-	$17 x$	+	$10$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	-	$17 x$
					+	$6 x^{2}$	-	$3 x$
							-	$20 x$

ステップ 2.1.1.5.11

元の被除数から次の項を現在の被除数に引き下げます。

				$x^{2}$	-	$3 x$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$7 x^{2}$	-	$17 x$	+	$10$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	-	$17 x$
					+	$6 x^{2}$	-	$3 x$
							-	$20 x$	+	$10$

ステップ 2.1.1.5.12

被除数 $- 20 x$ の最高次項を除数 $2 x$ の最高次項で割ります。

				$x^{2}$	-	$3 x$	-	$10$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$7 x^{2}$	-	$17 x$	+	$10$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	-	$17 x$
					+	$6 x^{2}$	-	$3 x$
							-	$20 x$	+	$10$

ステップ 2.1.1.5.13

新しい商の項に除数を掛けます。

				$x^{2}$	-	$3 x$	-	$10$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$7 x^{2}$	-	$17 x$	+	$10$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	-	$17 x$
					+	$6 x^{2}$	-	$3 x$
							-	$20 x$	+	$10$
							-	$20 x$	+	$10$

ステップ 2.1.1.5.14

式は被除数から引く必要があるので、 $- 20 x + 10$ の符号をすべて変更します。

				$x^{2}$	-	$3 x$	-	$10$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$7 x^{2}$	-	$17 x$	+	$10$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	-	$17 x$
					+	$6 x^{2}$	-	$3 x$
							-	$20 x$	+	$10$
							+	$20 x$	-	$10$

ステップ 2.1.1.5.15

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

				$x^{2}$	-	$3 x$	-	$10$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$7 x^{2}$	-	$17 x$	+	$10$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	-	$17 x$
					+	$6 x^{2}$	-	$3 x$
							-	$20 x$	+	$10$
							+	$20 x$	-	$10$
										$0$

ステップ 2.1.1.5.16

余りが $0$ なので、最終回答は商です。

$x^{2} - 3 x - 10$

ステップ 2.1.1.6

$2 x^{3} - 7 x^{2} - 17 x + 10$ を因数の集合として書き換えます。

$(2 x - 1) (x^{2} - 3 x - 10) = 0$

ステップ 2.1.2

たすき掛けを利用して $x^{2} - 3 x - 10$ を因数分解します。

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ステップ 2.1.2.1

たすき掛けを利用して $x^{2} - 3 x - 10$ を因数分解します。

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ステップ 2.1.2.1.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $- 10$ で、その和が $- 3$ です。

$- 5, 2$

ステップ 2.1.2.1.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$(2 x - 1) ((x - 5) (x + 2)) = 0$

ステップ 2.1.2.2

不要な括弧を削除します。

$(2 x - 1) (x - 5) (x + 2) = 0$

ステップ 2.2

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$2 x - 1 = 0$

$x - 5 = 0$

$x + 2 = 0$

ステップ 2.3

$2 x - 1$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 2.3.1

$2 x - 1$ が $0$ に等しいとします。

$2 x - 1 = 0$

ステップ 2.3.2

$x$ について $2 x - 1 = 0$ を解きます。

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ステップ 2.3.2.1

方程式の両辺に $1$ を足します。

$2 x = 1$

ステップ 2.3.2.2

$2 x = 1$ の各項を $2$ で割り、簡約します。

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ステップ 2.3.2.2.1

$2 x = 1$ の各項を $2$ で割ります。

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

ステップ 2.3.2.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 2.3.2.2.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.3.2.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

ステップ 2.3.2.2.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{1}{2}$

ステップ 2.4

$x - 5$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 2.4.1

$x - 5$ が $0$ に等しいとします。

$x - 5 = 0$

ステップ 2.4.2

方程式の両辺に $5$ を足します。

$x = 5$

ステップ 2.5

$x + 2$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 2.5.1

$x + 2$ が $0$ に等しいとします。

$x + 2 = 0$

ステップ 2.5.2

方程式の両辺から $2$ を引きます。

$x = - 2$

ステップ 2.6

最終解は $(2 x - 1) (x - 5) (x + 2) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = \frac{1}{2}, 5, - 2$

ステップ 3

微分積分学準備 例

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