微分積分学準備例

$f (x) = \ln (20 - x - x^{2})$

ステップ 1

$\ln (20 - x - x^{2})$ の偏角を $0$ より大きいとして、式が定義である場所を求めます。

$20 - x - x^{2} > 0$

ステップ 2

$x$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

不等式を方程式に変換します。

$20 - x - x^{2} = 0$

ステップ 2.2

方程式の左辺を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$- 1$ を $20 - x - x^{2}$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1.1

式を並べ替えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1.1.1

$20$ を移動させます。

$- x - x^{2} + 20 = 0$

ステップ 2.2.1.1.2

$- x$ と $- x^{2}$ を並べ替えます。

$- x^{2} - x + 20 = 0$

ステップ 2.2.1.2

$- 1$ を $- x^{2}$ で因数分解します。

$- (x^{2}) - x + 20 = 0$

ステップ 2.2.1.3

$- 1$ を $- x$ で因数分解します。

$- (x^{2}) - (x) + 20 = 0$

ステップ 2.2.1.4

$20$ を $- 1 (- 20)$ に書き換えます。

$- (x^{2}) - (x) - 1 \cdot - 20 = 0$

ステップ 2.2.1.5

$- 1$ を $- (x^{2}) - (x)$ で因数分解します。

$- (x^{2} + x) - 1 \cdot - 20 = 0$

ステップ 2.2.1.6

$- 1$ を $- (x^{2} + x) - 1 (- 20)$ で因数分解します。

$- (x^{2} + x - 20) = 0$

ステップ 2.2.2

因数分解。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.2.1

たすき掛けを利用して $x^{2} + x - 20$ を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.2.1.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $- 20$ で、その和が $1$ です。

$- 4, 5$

ステップ 2.2.2.1.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$- ((x - 4) (x + 5)) = 0$

ステップ 2.2.2.2

不要な括弧を削除します。

$- (x - 4) (x + 5) = 0$

ステップ 2.3

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x - 4 = 0$

$x + 5 = 0$

ステップ 2.4

$x - 4$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.1

$x - 4$ が $0$ に等しいとします。

$x - 4 = 0$

ステップ 2.4.2

方程式の両辺に $4$ を足します。

$x = 4$

ステップ 2.5

$x + 5$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.1

$x + 5$ が $0$ に等しいとします。

$x + 5 = 0$

ステップ 2.5.2

方程式の両辺から $5$ を引きます。

$x = - 5$

ステップ 2.6

最終解は $- (x - 4) (x + 5) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 4, - 5$

ステップ 2.7

各根を利用して検定区間を作成します。

$x < - 5$

$- 5 < x < 4$

$x > 4$

ステップ 2.8

各区間から試験値を選び、この値を元の不等式に代入して、どの区間が不等式を満たすか判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.8.1

区間 $x < - 5$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.8.1.1

区間 $x < - 5$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = - 8$

ステップ 2.8.1.2

$x$ を元の不等式の $- 8$ で置き換えます。

$20 - (- 8) - {(- 8)}^{2} > 0$

ステップ 2.8.1.3

左辺 $- 36$ は右辺 $0$ より大きくありません。つまり、与えられた文は偽です。

偽

ステップ 2.8.2

区間 $- 5 < x < 4$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.8.2.1

区間 $- 5 < x < 4$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 0$

ステップ 2.8.2.2

$x$ を元の不等式の $0$ で置き換えます。

$20 - (0) - {(0)}^{2} > 0$

ステップ 2.8.2.3

左辺 $20$ は右辺 $0$ より大きいです。つまり、与えられた文は常に真です。

真

ステップ 2.8.3

区間 $x > 4$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.8.3.1

区間 $x > 4$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 6$

ステップ 2.8.3.2

$x$ を元の不等式の $6$ で置き換えます。

$20 - (6) - {(6)}^{2} > 0$

ステップ 2.8.3.3

左辺 $- 22$ は右辺 $0$ より大きくありません。つまり、与えられた文は偽です。

偽

ステップ 2.8.4

区間を比較して、どちらが元の不等式を満たすか判定します。

$x < - 5$ 偽

$- 5 < x < 4$ 真

$x > 4$ 偽

$x < - 5$ 偽

$- 5 < x < 4$ 真

$x > 4$ 偽

ステップ 2.9

解はすべての真の区間からなります。

$- 5 < x < 4$

ステップ 3

定義域は式が定義になる $x$ のすべての値です。

区間記号：

$(- 5, 4)$

集合の内包的記法：

${x | - 5 < x < 4}$

ステップ 4

微分積分学準備 例

微分積分学準備例