微分積分学準備例

$z^{3} = 27$

ステップ 1

方程式の両辺から $27$ を引きます。

$z^{3} - 27 = 0$

ステップ 2

方程式の左辺を因数分解します。

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ステップ 2.1

$27$ を $3^{3}$ に書き換えます。

$z^{3} - 3^{3} = 0$

ステップ 2.2

両項とも完全立方なので、立方の差の公式 $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = z$ であり、 $b = 3$ です。

$(z - 3) (z^{2} + z \cdot 3 + 3^{2}) = 0$

ステップ 2.3

簡約します。

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ステップ 2.3.1

$3$ を $z$ の左に移動させます。

$(z - 3) (z^{2} + 3 z + 3^{2}) = 0$

ステップ 2.3.2

$3$ を $2$ 乗します。

$(z - 3) (z^{2} + 3 z + 9) = 0$

ステップ 3

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$z - 3 = 0$

$z^{2} + 3 z + 9 = 0$

ステップ 4

$z - 3$ を $0$ に等しくし、 $z$ を解きます。

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ステップ 4.1

$z - 3$ が $0$ に等しいとします。

$z - 3 = 0$

ステップ 4.2

方程式の両辺に $3$ を足します。

$z = 3$

ステップ 5

$z^{2} + 3 z + 9$ を $0$ に等しくし、 $z$ を解きます。

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ステップ 5.1

$z^{2} + 3 z + 9$ が $0$ に等しいとします。

$z^{2} + 3 z + 9 = 0$

ステップ 5.2

$z$ について $z^{2} + 3 z + 9 = 0$ を解きます。

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ステップ 5.2.1

二次方程式の解の公式を利用して解を求めます。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

ステップ 5.2.2

$a = 1$ 、 $b = 3$ 、および $c = 9$ を二次方程式の解の公式に代入し、 $z$ の値を求めます。

$\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 9)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.2.3

簡約します。

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ステップ 5.2.3.1

分子を簡約します。

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ステップ 5.2.3.1.1

$3$ を $2$ 乗します。

$z = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1 \cdot 9}}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.2.3.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot 9$ を掛けます。

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ステップ 5.2.3.1.2.1

$- 4$ に $1$ をかけます。

$z = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 9}}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.2.3.1.2.2

$- 4$ に $9$ をかけます。

$z = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 36}}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.2.3.1.3

$9$ から $36$ を引きます。

$z = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 27}}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.2.3.1.4

$- 27$ を $- 1 (27)$ に書き換えます。

$z = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1 \cdot 27}}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.2.3.1.5

$\sqrt{- 1 (27)}$ を $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{27}$ に書き換えます。

$z = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{27}}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.2.3.1.6

$\sqrt{- 1}$ を $i$ に書き換えます。

$z = \frac{- 3 \pm i \cdot \sqrt{27}}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.2.3.1.7

$27$ を $3^{2} \cdot 3$ に書き換えます。

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ステップ 5.2.3.1.7.1

$9$ を $27$ で因数分解します。

$z = \frac{- 3 \pm i \cdot \sqrt{9 (3)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.2.3.1.7.2

$9$ を $3^{2}$ に書き換えます。

$z = \frac{- 3 \pm i \cdot \sqrt{3^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.2.3.1.8

累乗根の下から項を取り出します。

$z = \frac{- 3 \pm i \cdot (3 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.2.3.1.9

$3$ を $i$ の左に移動させます。

$z = \frac{- 3 \pm 3 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.2.3.2

$2$ に $1$ をかけます。

$z = \frac{- 3 \pm 3 i \sqrt{3}}{2}$

ステップ 5.2.4

最終的な答えは両方の解の組み合わせです。

$z = - \frac{3 - 3 i \sqrt{3}}{2}, - \frac{3 + 3 i \sqrt{3}}{2}$

ステップ 6

最終解は $(z - 3) (z^{2} + 3 z + 9) = 0$ を真にするすべての値です。

$z = 3, - \frac{3 - 3 i \sqrt{3}}{2}, - \frac{3 + 3 i \sqrt{3}}{2}$

微分積分学準備 例

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