微分積分学準備例

$0.25 (t) = \frac{t}{3 t^{2} + 1}$

ステップ 1

方程式の項の最小公分母を求めます。

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ステップ 1.1

値のリストの最小公分母を求めることは、それらの値の分母の最小公倍数を求めることと同じです。

$1, 3 t^{2} + 1$

ステップ 1.2

括弧を削除します。

$1, 3 t^{2} + 1$

ステップ 1.3

1と任意の式の最小公倍数はその式です。

$3 t^{2} + 1$

ステップ 2

$0.25 t = \frac{t}{3 t^{2} + 1}$ の各項に $3 t^{2} + 1$ を掛け、分数を消去します。

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ステップ 2.1

$0.25 t = \frac{t}{3 t^{2} + 1}$ の各項に $3 t^{2} + 1$ を掛けます。

$0.25 t (3 t^{2} + 1) = \frac{t}{3 t^{2} + 1} (3 t^{2} + 1)$

ステップ 2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 2.2.1

両辺を掛けて簡約します。

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ステップ 2.2.1.1

分配則を当てはめます。

$0.25 t (3 t^{2}) + 0.25 t \cdot 1 = \frac{t}{3 t^{2} + 1} (3 t^{2} + 1)$

ステップ 2.2.1.2

式を簡約します。

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ステップ 2.2.1.2.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$0.25 \cdot 3 t \cdot t^{2} + 0.25 t \cdot 1 = \frac{t}{3 t^{2} + 1} (3 t^{2} + 1)$

ステップ 2.2.1.2.2

$0.25$ に $1$ をかけます。

$0.25 \cdot 3 t \cdot t^{2} + 0.25 t = \frac{t}{3 t^{2} + 1} (3 t^{2} + 1)$

ステップ 2.2.2

各項を簡約します。

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ステップ 2.2.2.1

指数を足して $t$ に $t^{2}$ を掛けます。

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ステップ 2.2.2.1.1

$t^{2}$ を移動させます。

$0.25 \cdot 3 (t^{2} t) + 0.25 t = \frac{t}{3 t^{2} + 1} (3 t^{2} + 1)$

ステップ 2.2.2.1.2

$t^{2}$ に $t$ をかけます。

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ステップ 2.2.2.1.2.1

$t$ を $1$ 乗します。

$0.25 \cdot 3 (t^{2} t^{1}) + 0.25 t = \frac{t}{3 t^{2} + 1} (3 t^{2} + 1)$

ステップ 2.2.2.1.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$0.25 \cdot 3 t^{2 + 1} + 0.25 t = \frac{t}{3 t^{2} + 1} (3 t^{2} + 1)$

ステップ 2.2.2.1.3

$2$ と $1$ をたし算します。

$0.25 \cdot 3 t^{3} + 0.25 t = \frac{t}{3 t^{2} + 1} (3 t^{2} + 1)$

ステップ 2.2.2.2

$0.25$ に $3$ をかけます。

$0.75 t^{3} + 0.25 t = \frac{t}{3 t^{2} + 1} (3 t^{2} + 1)$

ステップ 2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 2.3.1

$3 t^{2} + 1$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.3.1.1

共通因数を約分します。

$0.75 t^{3} + 0.25 t = \frac{t}{3 t^{2} + 1} (3 t^{2} + 1)$

ステップ 2.3.1.2

式を書き換えます。

$0.75 t^{3} + 0.25 t = t$

ステップ 3

方程式を解きます。

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ステップ 3.1

$t$ を含むすべての項を方程式の左辺に移動させます。

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ステップ 3.1.1

方程式の両辺から $t$ を引きます。

$0.75 t^{3} + 0.25 t - t = 0$

ステップ 3.1.2

$0.25 t$ から $t$ を引きます。

$0.75 t^{3} - 0.75 t = 0$

ステップ 3.2

方程式の左辺を因数分解します。

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ステップ 3.2.1

$0.75 t$ を $0.75 t^{3} - 0.75 t$ で因数分解します。

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ステップ 3.2.1.1

$0.75 t$ を $0.75 t^{3}$ で因数分解します。

$0.75 t (t^{2}) - 0.75 t = 0$

ステップ 3.2.1.2

$0.75 t$ を $- 0.75 t$ で因数分解します。

$0.75 t (t^{2}) + 0.75 t (- 1) = 0$

ステップ 3.2.1.3

$0.75 t$ を $0.75 t (t^{2}) + 0.75 t (- 1)$ で因数分解します。

$0.75 t (t^{2} - 1) = 0$

ステップ 3.2.2

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$0.75 t (t^{2} - 1^{2}) = 0$

ステップ 3.2.3

因数分解。

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ステップ 3.2.3.1

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = t$ であり、 $b = 1$ です。

$0.75 t ((t + 1) (t - 1)) = 0$

ステップ 3.2.3.2

不要な括弧を削除します。

$0.75 t (t + 1) (t - 1) = 0$

ステップ 3.3

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$t = 0$

$t + 1 = 0$

$t - 1 = 0$

ステップ 3.4

$t$ が $0$ に等しいとします。

$t = 0$

ステップ 3.5

$t + 1$ を $0$ に等しくし、 $t$ を解きます。

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ステップ 3.5.1

$t + 1$ が $0$ に等しいとします。

$t + 1 = 0$

ステップ 3.5.2

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$t = - 1$

ステップ 3.6

$t - 1$ を $0$ に等しくし、 $t$ を解きます。

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ステップ 3.6.1

$t - 1$ が $0$ に等しいとします。

$t - 1 = 0$

ステップ 3.6.2

方程式の両辺に $1$ を足します。

$t = 1$

ステップ 3.7

最終解は $0.75 t (t + 1) (t - 1) = 0$ を真にするすべての値です。

$t = 0, - 1, 1$

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