微分積分学準備例

$4 x^{2} + y^{2} + 126 x + 2 y + 433 = 0$

ステップ 1

方程式の両辺から $433$ を引きます。

$4 x^{2} + y^{2} + 126 x + 2 y = - 433$

ステップ 2

$4 x^{2} + 126 x$ の平方完成。

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ステップ 2.1

式 $a x^{2} + b x + c$ を利用して、 $a$ 、 $b$ 、 $c$ の値を求めます。

$a = 4$

$b = 126$

$c = 0$

ステップ 2.2

放物線の標準形を考えます。

$a {(x + d)}^{2} + e$

ステップ 2.3

公式 $d = \frac{b}{2 a}$ を利用して $d$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

$a$ と $b$ の値を公式 $d = \frac{b}{2 a}$ に代入します。

$d = \frac{126}{2 \cdot 4}$

ステップ 2.3.2

$126$ と $2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.2.1

$2$ を $126$ で因数分解します。

$d = \frac{2 \cdot 63}{2 \cdot 4}$

ステップ 2.3.2.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.2.2.1

$2$ を $2 \cdot 4$ で因数分解します。

$d = \frac{2 \cdot 63}{2 (4)}$

ステップ 2.3.2.2.2

共通因数を約分します。

$d = \frac{2 \cdot 63}{2 \cdot 4}$

ステップ 2.3.2.2.3

式を書き換えます。

$d = \frac{63}{4}$

ステップ 2.4

公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ を利用して $e$ の値を求めます。

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ステップ 2.4.1

$c$ 、 $b$ 、および $a$ の値を公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ に代入します。

$e = 0 - \frac{126^{2}}{4 \cdot 4}$

ステップ 2.4.2

右辺を簡約します。

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ステップ 2.4.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.2.1.1

$126$ を $2$ 乗します。

$e = 0 - \frac{15876}{4 \cdot 4}$

ステップ 2.4.2.1.2

$4$ に $4$ をかけます。

$e = 0 - \frac{15876}{16}$

ステップ 2.4.2.1.3

$15876$ と $16$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.4.2.1.3.1

$4$ を $15876$ で因数分解します。

$e = 0 - \frac{4 (3969)}{16}$

ステップ 2.4.2.1.3.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.2.1.3.2.1

$4$ を $16$ で因数分解します。

$e = 0 - \frac{4 \cdot 3969}{4 \cdot 4}$

ステップ 2.4.2.1.3.2.2

共通因数を約分します。

$e = 0 - \frac{4 \cdot 3969}{4 \cdot 4}$

ステップ 2.4.2.1.3.2.3

式を書き換えます。

$e = 0 - \frac{3969}{4}$

ステップ 2.4.2.2

$0$ から $\frac{3969}{4}$ を引きます。

$e = - \frac{3969}{4}$

ステップ 2.5

$a$ 、 $d$ 、および $e$ の値を頂点形 $4 {(x + \frac{63}{4})}^{2} - \frac{3969}{4}$ に代入します。

$4 {(x + \frac{63}{4})}^{2} - \frac{3969}{4}$

ステップ 3

$4 {(x + \frac{63}{4})}^{2} - \frac{3969}{4}$ を方程式 $4 x^{2} + y^{2} + 126 x + 2 y = - 433$ の中の $4 x^{2} + 126 x$ に代入します。

$4 {(x + \frac{63}{4})}^{2} - \frac{3969}{4} + y^{2} + 2 y = - 433$

ステップ 4

両辺に $\frac{3969}{4}$ を加えて、 $- \frac{3969}{4}$ を方程式の右辺に移動させます。

$4 {(x + \frac{63}{4})}^{2} + y^{2} + 2 y = - 433 + \frac{3969}{4}$

ステップ 5

$y^{2} + 2 y$ の平方完成。

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ステップ 5.1

式 $a x^{2} + b x + c$ を利用して、 $a$ 、 $b$ 、 $c$ の値を求めます。

$a = 1$

$b = 2$

$c = 0$

ステップ 5.2

放物線の標準形を考えます。

$a {(x + d)}^{2} + e$

ステップ 5.3

公式 $d = \frac{b}{2 a}$ を利用して $d$ の値を求めます。

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ステップ 5.3.1

$a$ と $b$ の値を公式 $d = \frac{b}{2 a}$ に代入します。

$d = \frac{2}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.3.2

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.3.2.1

共通因数を約分します。

$d = \frac{2}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.3.2.2

式を書き換えます。

$d = 1$

ステップ 5.4

公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ を利用して $e$ の値を求めます。

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ステップ 5.4.1

$c$ 、 $b$ 、および $a$ の値を公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ に代入します。

$e = 0 - \frac{2^{2}}{4 \cdot 1}$

ステップ 5.4.2

右辺を簡約します。

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ステップ 5.4.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 5.4.2.1.1

$2$ を $2$ 乗します。

$e = 0 - \frac{4}{4 \cdot 1}$

ステップ 5.4.2.1.2

$4$ に $1$ をかけます。

$e = 0 - \frac{4}{4}$

ステップ 5.4.2.1.3

$4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.4.2.1.3.1

共通因数を約分します。

$e = 0 - \frac{4}{4}$

ステップ 5.4.2.1.3.2

式を書き換えます。

$e = 0 - 1 \cdot 1$

ステップ 5.4.2.1.4

$- 1$ に $1$ をかけます。

$e = 0 - 1$

ステップ 5.4.2.2

$0$ から $1$ を引きます。

$e = - 1$

ステップ 5.5

$a$ 、 $d$ 、および $e$ の値を頂点形 ${(y + 1)}^{2} - 1$ に代入します。

${(y + 1)}^{2} - 1$

ステップ 6

${(y + 1)}^{2} - 1$ を方程式 $4 x^{2} + y^{2} + 126 x + 2 y = - 433$ の中の $y^{2} + 2 y$ に代入します。

$4 {(x + \frac{63}{4})}^{2} + {(y + 1)}^{2} - 1 = - 433 + \frac{3969}{4}$

ステップ 7

両辺に $1$ を加えて、 $- 1$ を方程式の右辺に移動させます。

$4 {(x + \frac{63}{4})}^{2} + {(y + 1)}^{2} = - 433 + \frac{3969}{4} + 1$

ステップ 8

$- 433 + \frac{3969}{4} + 1$ を簡約します。

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ステップ 8.1

公分母を求めます。

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ステップ 8.1.1

$- 433$ を分母 $1$ をもつ分数で書きます。

$4 {(x + \frac{63}{4})}^{2} + {(y + 1)}^{2} = \frac{- 433}{1} + \frac{3969}{4} + 1$

ステップ 8.1.2

$\frac{- 433}{1}$ に $\frac{4}{4}$ をかけます。

$4 {(x + \frac{63}{4})}^{2} + {(y + 1)}^{2} = \frac{- 433}{1} \cdot \frac{4}{4} + \frac{3969}{4} + 1$

ステップ 8.1.3

$\frac{- 433}{1}$ に $\frac{4}{4}$ をかけます。

$4 {(x + \frac{63}{4})}^{2} + {(y + 1)}^{2} = \frac{- 433 \cdot 4}{4} + \frac{3969}{4} + 1$

ステップ 8.1.4

$1$ を分母 $1$ をもつ分数で書きます。

$4 {(x + \frac{63}{4})}^{2} + {(y + 1)}^{2} = \frac{- 433 \cdot 4}{4} + \frac{3969}{4} + \frac{1}{1}$

ステップ 8.1.5

$\frac{1}{1}$ に $\frac{4}{4}$ をかけます。

$4 {(x + \frac{63}{4})}^{2} + {(y + 1)}^{2} = \frac{- 433 \cdot 4}{4} + \frac{3969}{4} + \frac{1}{1} \cdot \frac{4}{4}$

ステップ 8.1.6

$\frac{1}{1}$ に $\frac{4}{4}$ をかけます。

$4 {(x + \frac{63}{4})}^{2} + {(y + 1)}^{2} = \frac{- 433 \cdot 4}{4} + \frac{3969}{4} + \frac{4}{4}$

ステップ 8.2

公分母の分子をまとめます。

$4 {(x + \frac{63}{4})}^{2} + {(y + 1)}^{2} = \frac{- 433 \cdot 4 + 3969 + 4}{4}$

ステップ 8.3

式を簡約します。

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ステップ 8.3.1

$- 433$ に $4$ をかけます。

$4 {(x + \frac{63}{4})}^{2} + {(y + 1)}^{2} = \frac{- 1732 + 3969 + 4}{4}$

ステップ 8.3.2

$- 1732$ と $3969$ をたし算します。

$4 {(x + \frac{63}{4})}^{2} + {(y + 1)}^{2} = \frac{2237 + 4}{4}$

ステップ 8.3.3

$2237$ と $4$ をたし算します。

$4 {(x + \frac{63}{4})}^{2} + {(y + 1)}^{2} = \frac{2241}{4}$

ステップ 9

各項を $\frac{2241}{4}$ で割り、右辺を1と等しくします。

$\frac{4 {(x + \frac{63}{4})}^{2}}{\frac{2241}{4}} + \frac{{(y + 1)}^{2}}{\frac{2241}{4}} = \frac{\frac{2241}{4}}{\frac{2241}{4}}$

ステップ 10

方程式の各項を簡約し、右辺を $1$ に等しくします。楕円または双曲線の標準形は、方程式の右辺が $1$ に等しいことが必要です。

$\frac{{(x + \frac{63}{4})}^{2}}{\frac{2241}{16}} + \frac{{(y + 1)}^{2}}{\frac{2241}{4}} = 1$

微分積分学準備 例

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