微分積分学準備例

$3 y^{2} - 2 y + x + 1 = 0$

ステップ 1

方程式を頂点形で書き換えます。

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ステップ 1.1

$x$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 1.1.1

方程式の両辺から $3 y^{2}$ を引きます。

$- 2 y + x + 1 = - 3 y^{2}$

ステップ 1.1.2

方程式の両辺に $2 y$ を足します。

$x + 1 = - 3 y^{2} + 2 y$

ステップ 1.1.3

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$x = - 3 y^{2} + 2 y - 1$

ステップ 1.2

$- 3 y^{2} + 2 y - 1$ の平方完成。

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ステップ 1.2.1

式 $a x^{2} + b x + c$ を利用して、 $a$ 、 $b$ 、 $c$ の値を求めます。

$a = - 3$

$b = 2$

$c = - 1$

ステップ 1.2.2

放物線の標準形を考えます。

$a {(x + d)}^{2} + e$

ステップ 1.2.3

公式 $d = \frac{b}{2 a}$ を利用して $d$ の値を求めます。

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ステップ 1.2.3.1

$a$ と $b$ の値を公式 $d = \frac{b}{2 a}$ に代入します。

$d = \frac{2}{2 \cdot - 3}$

ステップ 1.2.3.2

右辺を簡約します。

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ステップ 1.2.3.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.2.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$d = \frac{2}{2 \cdot - 3}$

ステップ 1.2.3.2.1.2

式を書き換えます。

$d = \frac{1}{- 3}$

ステップ 1.2.3.2.2

分数の前に負数を移動させます。

$d = - \frac{1}{3}$

ステップ 1.2.4

公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ を利用して $e$ の値を求めます。

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ステップ 1.2.4.1

$c$ 、 $b$ 、および $a$ の値を公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ に代入します。

$e = - 1 - \frac{2^{2}}{4 \cdot - 3}$

ステップ 1.2.4.2

右辺を簡約します。

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ステップ 1.2.4.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 1.2.4.2.1.1

$2$ を $2$ 乗します。

$e = - 1 - \frac{4}{4 \cdot - 3}$

ステップ 1.2.4.2.1.2

$4$ に $- 3$ をかけます。

$e = - 1 - \frac{4}{- 12}$

ステップ 1.2.4.2.1.3

$4$ と $- 12$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.2.4.2.1.3.1

$4$ を $4$ で因数分解します。

$e = - 1 - \frac{4 (1)}{- 12}$

ステップ 1.2.4.2.1.3.2

共通因数を約分します。

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ステップ 1.2.4.2.1.3.2.1

$4$ を $- 12$ で因数分解します。

$e = - 1 - \frac{4 \cdot 1}{4 \cdot - 3}$

ステップ 1.2.4.2.1.3.2.2

共通因数を約分します。

$e = - 1 - \frac{4 \cdot 1}{4 \cdot - 3}$

ステップ 1.2.4.2.1.3.2.3

式を書き換えます。

$e = - 1 - \frac{1}{- 3}$

ステップ 1.2.4.2.1.4

分数の前に負数を移動させます。

$e = - 1 - - \frac{1}{3}$

ステップ 1.2.4.2.1.5

$- - \frac{1}{3}$ を掛けます。

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ステップ 1.2.4.2.1.5.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$e = - 1 + 1 (\frac{1}{3})$

ステップ 1.2.4.2.1.5.2

$\frac{1}{3}$ に $1$ をかけます。

$e = - 1 + \frac{1}{3}$

ステップ 1.2.4.2.2

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$e = - 1 \cdot \frac{3}{3} + \frac{1}{3}$

ステップ 1.2.4.2.3

$- 1$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$e = \frac{- 1 \cdot 3}{3} + \frac{1}{3}$

ステップ 1.2.4.2.4

公分母の分子をまとめます。

$e = \frac{- 1 \cdot 3 + 1}{3}$

ステップ 1.2.4.2.5

分子を簡約します。

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ステップ 1.2.4.2.5.1

$- 1$ に $3$ をかけます。

$e = \frac{- 3 + 1}{3}$

ステップ 1.2.4.2.5.2

$- 3$ と $1$ をたし算します。

$e = \frac{- 2}{3}$

ステップ 1.2.4.2.6

分数の前に負数を移動させます。

$e = - \frac{2}{3}$

ステップ 1.2.5

$a$ 、 $d$ 、および $e$ の値を頂点形 $- 3 {(y - \frac{1}{3})}^{2} - \frac{2}{3}$ に代入します。

$- 3 {(y - \frac{1}{3})}^{2} - \frac{2}{3}$

ステップ 1.3

$x$ は新しい右辺と等しいとします。

$x = - 3 {(y - \frac{1}{3})}^{2} - \frac{2}{3}$

ステップ 2

頂点形、 $x = a {(y - k)}^{2} + h$ 、を利用して $a$ 、 $h$ 、 $k$ の値を求めます。

$a = - 3$

$h = - \frac{2}{3}$

$k = \frac{1}{3}$

ステップ 3

$a$ の値が負なので、放物線は左に開です。

左に開

ステップ 4

頂点 $(h, k)$ を求めます。

$(- \frac{2}{3}, \frac{1}{3})$

ステップ 5

頂点から焦点までの距離 $p$ を求めます。

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ステップ 5.1

次の式を利用して放物線の交点から焦点までの距離を求めます。

$\frac{1}{4 a}$

ステップ 5.2

$a$ の値を公式に代入します。

$\frac{1}{4 \cdot - 3}$

ステップ 5.3

簡約します。

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ステップ 5.3.1

$4$ に $- 3$ をかけます。

$\frac{1}{- 12}$

ステップ 5.3.2

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{1}{12}$

ステップ 6

焦点を求めます。

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ステップ 6.1

放物線の焦点は、放物線が左右に開の場合、 $p$ をx座標 $h$ に加えて求められます。

$(h + p, k)$

ステップ 6.2

$h$ と $p$ 、および $k$ の既知数を公式に代入し、簡約します。

$(- \frac{3}{4}, \frac{1}{3})$

ステップ 7

交点と焦点を通る線を求め、対称軸を求めます。

$y = \frac{1}{3}$

ステップ 8

準線を求めます。

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ステップ 8.1

放物線の準線は、放物線が左右に開の場合、頂点のx座標 $h$ から $p$ を引いて求められる垂直線です。

$x = h - p$

ステップ 8.2

$p$ と $h$ の既知数を公式に代入し、簡約します。

$x = - \frac{7}{12}$

ステップ 9

放物線の性質を利用して放物線を分析しグラフに描きます。

方向：左に開

頂点： $(- \frac{2}{3}, \frac{1}{3})$

焦点： $(- \frac{3}{4}, \frac{1}{3})$

対称軸： $y = \frac{1}{3}$

準線： $x = - \frac{7}{12}$

ステップ 10

微分積分学準備 例

微分積分学準備例