微分積分学準備例

$9 x^{2} + 4 y^{2} - 18 x + 8 y - 23 = 0$

ステップ 1

楕円の標準形を求めます。

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ステップ 1.1

方程式の両辺に $23$ を足します。

$9 x^{2} + 4 y^{2} - 18 x + 8 y = 23$

ステップ 1.2

$9 x^{2} - 18 x$ の平方完成。

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ステップ 1.2.1

式 $a x^{2} + b x + c$ を利用して、 $a$ 、 $b$ 、 $c$ の値を求めます。

$a = 9$

$b = - 18$

$c = 0$

ステップ 1.2.2

放物線の標準形を考えます。

$a {(x + d)}^{2} + e$

ステップ 1.2.3

公式 $d = \frac{b}{2 a}$ を利用して $d$ の値を求めます。

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ステップ 1.2.3.1

$a$ と $b$ の値を公式 $d = \frac{b}{2 a}$ に代入します。

$d = \frac{- 18}{2 \cdot 9}$

ステップ 1.2.3.2

右辺を簡約します。

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ステップ 1.2.3.2.1

$- 18$ と $2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.2.3.2.1.1

$2$ を $- 18$ で因数分解します。

$d = \frac{2 \cdot - 9}{2 \cdot 9}$

ステップ 1.2.3.2.1.2

共通因数を約分します。

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ステップ 1.2.3.2.1.2.1

$2$ を $2 \cdot 9$ で因数分解します。

$d = \frac{2 \cdot - 9}{2 (9)}$

ステップ 1.2.3.2.1.2.2

共通因数を約分します。

$d = \frac{2 \cdot - 9}{2 \cdot 9}$

ステップ 1.2.3.2.1.2.3

式を書き換えます。

$d = \frac{- 9}{9}$

ステップ 1.2.3.2.2

$- 9$ と $9$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.2.3.2.2.1

$9$ を $- 9$ で因数分解します。

$d = \frac{9 \cdot - 1}{9}$

ステップ 1.2.3.2.2.2

共通因数を約分します。

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ステップ 1.2.3.2.2.2.1

$9$ を $9$ で因数分解します。

$d = \frac{9 \cdot - 1}{9 (1)}$

ステップ 1.2.3.2.2.2.2

共通因数を約分します。

$d = \frac{9 \cdot - 1}{9 \cdot 1}$

ステップ 1.2.3.2.2.2.3

式を書き換えます。

$d = \frac{- 1}{1}$

ステップ 1.2.3.2.2.2.4

$- 1$ を $1$ で割ります。

$d = - 1$

ステップ 1.2.4

公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ を利用して $e$ の値を求めます。

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ステップ 1.2.4.1

$c$ 、 $b$ 、および $a$ の値を公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ に代入します。

$e = 0 - \frac{{(- 18)}^{2}}{4 \cdot 9}$

ステップ 1.2.4.2

右辺を簡約します。

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ステップ 1.2.4.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 1.2.4.2.1.1

$- 18$ を $2$ 乗します。

$e = 0 - \frac{324}{4 \cdot 9}$

ステップ 1.2.4.2.1.2

$4$ に $9$ をかけます。

$e = 0 - \frac{324}{36}$

ステップ 1.2.4.2.1.3

$324$ を $36$ で割ります。

$e = 0 - 1 \cdot 9$

ステップ 1.2.4.2.1.4

$- 1$ に $9$ をかけます。

$e = 0 - 9$

ステップ 1.2.4.2.2

$0$ から $9$ を引きます。

$e = - 9$

ステップ 1.2.5

$a$ 、 $d$ 、および $e$ の値を頂点形 $9 {(x - 1)}^{2} - 9$ に代入します。

$9 {(x - 1)}^{2} - 9$

ステップ 1.3

$9 {(x - 1)}^{2} - 9$ を方程式 $9 x^{2} + 4 y^{2} - 18 x + 8 y = 23$ の中の $9 x^{2} - 18 x$ に代入します。

$9 {(x - 1)}^{2} - 9 + 4 y^{2} + 8 y = 23$

ステップ 1.4

両辺に $9$ を加えて、 $- 9$ を方程式の右辺に移動させます。

$9 {(x - 1)}^{2} + 4 y^{2} + 8 y = 23 + 9$

ステップ 1.5

$4 y^{2} + 8 y$ の平方完成。

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ステップ 1.5.1

式 $a x^{2} + b x + c$ を利用して、 $a$ 、 $b$ 、 $c$ の値を求めます。

$a = 4$

$b = 8$

$c = 0$

ステップ 1.5.2

放物線の標準形を考えます。

$a {(x + d)}^{2} + e$

ステップ 1.5.3

公式 $d = \frac{b}{2 a}$ を利用して $d$ の値を求めます。

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ステップ 1.5.3.1

$a$ と $b$ の値を公式 $d = \frac{b}{2 a}$ に代入します。

$d = \frac{8}{2 \cdot 4}$

ステップ 1.5.3.2

右辺を簡約します。

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ステップ 1.5.3.2.1

$8$ と $2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.5.3.2.1.1

$2$ を $8$ で因数分解します。

$d = \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 4}$

ステップ 1.5.3.2.1.2

共通因数を約分します。

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ステップ 1.5.3.2.1.2.1

$2$ を $2 \cdot 4$ で因数分解します。

$d = \frac{2 \cdot 4}{2 (4)}$

ステップ 1.5.3.2.1.2.2

共通因数を約分します。

$d = \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 4}$

ステップ 1.5.3.2.1.2.3

式を書き換えます。

$d = \frac{4}{4}$

ステップ 1.5.3.2.2

$4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.3.2.2.1

共通因数を約分します。

$d = \frac{4}{4}$

ステップ 1.5.3.2.2.2

式を書き換えます。

$d = 1$

ステップ 1.5.4

公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ を利用して $e$ の値を求めます。

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ステップ 1.5.4.1

$c$ 、 $b$ 、および $a$ の値を公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ に代入します。

$e = 0 - \frac{8^{2}}{4 \cdot 4}$

ステップ 1.5.4.2

右辺を簡約します。

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ステップ 1.5.4.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 1.5.4.2.1.1

$8$ を $2$ 乗します。

$e = 0 - \frac{64}{4 \cdot 4}$

ステップ 1.5.4.2.1.2

$4$ に $4$ をかけます。

$e = 0 - \frac{64}{16}$

ステップ 1.5.4.2.1.3

$64$ を $16$ で割ります。

$e = 0 - 1 \cdot 4$

ステップ 1.5.4.2.1.4

$- 1$ に $4$ をかけます。

$e = 0 - 4$

ステップ 1.5.4.2.2

$0$ から $4$ を引きます。

$e = - 4$

ステップ 1.5.5

$a$ 、 $d$ 、および $e$ の値を頂点形 $4 {(y + 1)}^{2} - 4$ に代入します。

$4 {(y + 1)}^{2} - 4$

ステップ 1.6

$4 {(y + 1)}^{2} - 4$ を方程式 $9 x^{2} + 4 y^{2} - 18 x + 8 y = 23$ の中の $4 y^{2} + 8 y$ に代入します。

$9 {(x - 1)}^{2} + 4 {(y + 1)}^{2} - 4 = 23 + 9$

ステップ 1.7

両辺に $4$ を加えて、 $- 4$ を方程式の右辺に移動させます。

$9 {(x - 1)}^{2} + 4 {(y + 1)}^{2} = 23 + 9 + 4$

ステップ 1.8

$23 + 9 + 4$ を簡約します。

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ステップ 1.8.1

$23$ と $9$ をたし算します。

$9 {(x - 1)}^{2} + 4 {(y + 1)}^{2} = 32 + 4$

ステップ 1.8.2

$32$ と $4$ をたし算します。

$9 {(x - 1)}^{2} + 4 {(y + 1)}^{2} = 36$

ステップ 1.9

各項を $36$ で割り、右辺を1と等しくします。

$\frac{9 {(x - 1)}^{2}}{36} + \frac{4 {(y + 1)}^{2}}{36} = \frac{36}{36}$

ステップ 1.10

方程式の各項を簡約し、右辺を $1$ に等しくします。楕円または双曲線の標準形は、方程式の右辺が $1$ に等しいことが必要です。

$\frac{{(x - 1)}^{2}}{4} + \frac{{(y + 1)}^{2}}{9} = 1$

ステップ 2

楕円の形です。この形を利用して、楕円の長軸と短軸、および中心を求めるために使用する値を決定します。

$\frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} = 1$

ステップ 3

この楕円の中の値を標準形の値と一致させます。変数 $a$ は楕円の長軸の半径を、 $b$ は楕円の短軸の半径を、 $h$ は原点からのx補正値を、 $k$ は原点からのy補正値を表します。

$a = 3$

$b = 2$

$k = - 1$

$h = 1$

ステップ 4

楕円の中心は $(h, k)$ の形に従います。 $h$ と $k$ の値に代入します。

$(1, - 1)$

ステップ 5

微分積分学準備 例

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