微分積分学準備例

$[\begin{array}{c} 5 & 4 \\ - 3 & 2 \end{array}] x = [\begin{array}{c} 10 \\ - 16 \end{array}]$

ステップ 1

$[\begin{array}{c} 5 & 4 \\ - 3 & 2 \end{array}]$ の逆数を求めます。

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ステップ 1.1

$2 \times 2$ 行列の逆行列は公式 $\frac{1}{a d - b c} [\begin{array}{c} d & - b \\ - c & a \end{array}]$ を利用して求めることができます。ここで、 $a d - b c$ は行列式です。

ステップ 1.2

行列式を求めます。

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ステップ 1.2.1

$2 \times 2$ 行列の行列式は公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ を利用して求めることができます。

$5 \cdot 2 - (- 3 \cdot 4)$

ステップ 1.2.2

行列式を簡約します。

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ステップ 1.2.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 1.2.2.1.1

$5$ に $2$ をかけます。

$10 - (- 3 \cdot 4)$

ステップ 1.2.2.1.2

$- (- 3 \cdot 4)$ を掛けます。

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ステップ 1.2.2.1.2.1

$- 3$ に $4$ をかけます。

$10 - - 12$

ステップ 1.2.2.1.2.2

$- 1$ に $- 12$ をかけます。

$10 + 12$

ステップ 1.2.2.2

$10$ と $12$ をたし算します。

$22$

ステップ 1.3

行列式がゼロではないので、逆行列が存在します。

ステップ 1.4

既知の値を逆数の公式に代入します。

$\frac{1}{22} [\begin{array}{c} 2 & - 4 \\ 3 & 5 \end{array}]$

ステップ 1.5

$\frac{1}{22}$ に行列の各要素を掛けます。

$[\begin{array}{c} \frac{1}{22} \cdot 2 & \frac{1}{22} \cdot - 4 \\ \frac{1}{22} \cdot 3 & \frac{1}{22} \cdot 5 \end{array}]$

ステップ 1.6

行列の各要素を簡約します。

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ステップ 1.6.1

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.6.1.1

$2$ を $22$ で因数分解します。

$[\begin{array}{c} \frac{1}{2 (11)} \cdot 2 & \frac{1}{22} \cdot - 4 \\ \frac{1}{22} \cdot 3 & \frac{1}{22} \cdot 5 \end{array}]$

ステップ 1.6.1.2

共通因数を約分します。

$[\begin{array}{c} \frac{1}{2 \cdot 11} \cdot 2 & \frac{1}{22} \cdot - 4 \\ \frac{1}{22} \cdot 3 & \frac{1}{22} \cdot 5 \end{array}]$

ステップ 1.6.1.3

式を書き換えます。

$[\begin{array}{c} \frac{1}{11} & \frac{1}{22} \cdot - 4 \\ \frac{1}{22} \cdot 3 & \frac{1}{22} \cdot 5 \end{array}]$

ステップ 1.6.2

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.6.2.1

$2$ を $22$ で因数分解します。

$[\begin{array}{c} \frac{1}{11} & \frac{1}{2 (11)} \cdot - 4 \\ \frac{1}{22} \cdot 3 & \frac{1}{22} \cdot 5 \end{array}]$

ステップ 1.6.2.2

$2$ を $- 4$ で因数分解します。

$[\begin{array}{c} \frac{1}{11} & \frac{1}{2 \cdot 11} \cdot (2 \cdot - 2) \\ \frac{1}{22} \cdot 3 & \frac{1}{22} \cdot 5 \end{array}]$

ステップ 1.6.2.3

共通因数を約分します。

$[\begin{array}{c} \frac{1}{11} & \frac{1}{2 \cdot 11} \cdot (2 \cdot - 2) \\ \frac{1}{22} \cdot 3 & \frac{1}{22} \cdot 5 \end{array}]$

ステップ 1.6.2.4

式を書き換えます。

$[\begin{array}{c} \frac{1}{11} & \frac{1}{11} \cdot - 2 \\ \frac{1}{22} \cdot 3 & \frac{1}{22} \cdot 5 \end{array}]$

ステップ 1.6.3

$\frac{1}{11}$ と $- 2$ をまとめます。

$[\begin{array}{c} \frac{1}{11} & \frac{- 2}{11} \\ \frac{1}{22} \cdot 3 & \frac{1}{22} \cdot 5 \end{array}]$

ステップ 1.6.4

分数の前に負数を移動させます。

$[\begin{array}{c} \frac{1}{11} & - \frac{2}{11} \\ \frac{1}{22} \cdot 3 & \frac{1}{22} \cdot 5 \end{array}]$

ステップ 1.6.5

$\frac{1}{22}$ と $3$ をまとめます。

$[\begin{array}{c} \frac{1}{11} & - \frac{2}{11} \\ \frac{3}{22} & \frac{1}{22} \cdot 5 \end{array}]$

ステップ 1.6.6

$\frac{1}{22}$ と $5$ をまとめます。

$[\begin{array}{c} \frac{1}{11} & - \frac{2}{11} \\ \frac{3}{22} & \frac{5}{22} \end{array}]$

ステップ 2

両辺に $[\begin{array}{c} 5 & 4 \\ - 3 & 2 \end{array}]$ の逆数を掛けます。

$[\begin{array}{c} \frac{1}{11} & - \frac{2}{11} \\ \frac{3}{22} & \frac{5}{22} \end{array}] [\begin{array}{c} 5 & 4 \\ - 3 & 2 \end{array}] x = [\begin{array}{c} \frac{1}{11} & - \frac{2}{11} \\ \frac{3}{22} & \frac{5}{22} \end{array}] [\begin{array}{c} 10 \\ - 16 \end{array}]$

ステップ 3

方程式を簡約します。

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ステップ 3.1

$[\begin{array}{c} \frac{1}{11} & - \frac{2}{11} \\ \frac{3}{22} & \frac{5}{22} \end{array}] [\begin{array}{c} 5 & 4 \\ - 3 & 2 \end{array}]$ を掛けます。

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ステップ 3.1.1

2つの行列は、第一の行列の列数が第二の行列の行数に等しい場合のみ、乗算できます。ここでは第一の行列は $2 \times 2$ 、第二の行列は $2 \times 2$ です。

ステップ 3.1.2

1番目の行列の各行と2番目の行列の各列を掛けます。

$[\begin{array}{c} \frac{1}{11} \cdot 5 - \frac{2}{11} \cdot - 3 & \frac{1}{11} \cdot 4 - \frac{2}{11} \cdot 2 \\ \frac{3}{22} \cdot 5 + \frac{5}{22} \cdot - 3 & \frac{3}{22} \cdot 4 + \frac{5}{22} \cdot 2 \end{array}] x = [\begin{array}{c} \frac{1}{11} & - \frac{2}{11} \\ \frac{3}{22} & \frac{5}{22} \end{array}] [\begin{array}{c} 10 \\ - 16 \end{array}]$

ステップ 3.1.3

すべての式を掛けて、行列の各要素を簡約します。

$[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}] x = [\begin{array}{c} \frac{1}{11} & - \frac{2}{11} \\ \frac{3}{22} & \frac{5}{22} \end{array}] [\begin{array}{c} 10 \\ - 16 \end{array}]$

ステップ 3.2

単位行列になんらかの行列 $A$ を掛けても、結果はその行列 $A$ になります。

$x = [\begin{array}{c} \frac{1}{11} & - \frac{2}{11} \\ \frac{3}{22} & \frac{5}{22} \end{array}] [\begin{array}{c} 10 \\ - 16 \end{array}]$

ステップ 3.3

$[\begin{array}{c} \frac{1}{11} & - \frac{2}{11} \\ \frac{3}{22} & \frac{5}{22} \end{array}] [\begin{array}{c} 10 \\ - 16 \end{array}]$ を掛けます。

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ステップ 3.3.1

2つの行列は、第一の行列の列数が第二の行列の行数に等しい場合のみ、乗算できます。ここでは第一の行列は $2 \times 2$ 、第二の行列は $2 \times 1$ です。

ステップ 3.3.2

1番目の行列の各行と2番目の行列の各列を掛けます。

$x = [\begin{array}{c} \frac{1}{11} \cdot 10 - \frac{2}{11} \cdot - 16 \\ \frac{3}{22} \cdot 10 + \frac{5}{22} \cdot - 16 \end{array}]$

ステップ 3.3.3

すべての式を掛けて、行列の各要素を簡約します。

$x = [\begin{array}{c} \frac{42}{11} \\ - \frac{25}{11} \end{array}]$

微分積分学準備 例

微分積分学準備例