微分積分学準備例

${(x + 2 y)}^{6}$

ステップ 1

パスカルの三角形はこのように表すことができます：

$1$

$1 - 1$

$1 - 2 - 1$

$1 - 3 - 3 - 1$

$1 - 4 - 6 - 4 - 1$

$1 - 5 - 10 - 10 - 5 - 1$

$1 - 6 - 15 - 20 - 15 - 6 - 1$

三角形は、指数 $n$ をとり $1$ を足すと ${(a + b)}^{n}$ の展開の係数を計算するために利用することができます。係数は三角形の線 $n + 1$ に対応します。 ${(x + 2 y)}^{6}$ に対して $n = 6$ なので、展開の係数は線 $7$ に対応します。

ステップ 2

展開は法則 ${(a + b)}^{n} = c_{0} a^{n} b^{0} + c_{1} a^{n - 1} b^{1} + c_{n - 1} a^{1} b^{n - 1} + c_{n} a^{0} b^{n}$ に従います。三角形からの係数の値は $1 - 6 - 15 - 20 - 15 - 6 - 1$ です。

$1 a^{6} b^{0} + 6 a^{5} b + 15 a^{4} b^{2} + 20 a^{3} b^{3} + 15 a^{2} b^{4} + 6 a b^{5} + 1 a^{0} b^{6}$

ステップ 3

$a$ $x$ と $b$ $2 y$ の実価を式に代入します。

$1 {(x)}^{6} {(2 y)}^{0} + 6 {(x)}^{5} {(2 y)}^{1} + 15 {(x)}^{4} {(2 y)}^{2} + 20 {(x)}^{3} {(2 y)}^{3} + 15 {(x)}^{2} {(2 y)}^{4} + 6 {(x)}^{1} {(2 y)}^{5} + 1 {(x)}^{0} {(2 y)}^{6}$

ステップ 4

各項を簡約します。

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ステップ 4.1

${(x)}^{6}$ に $1$ をかけます。

${(x)}^{6} {(2 y)}^{0} + 6 {(x)}^{5} {(2 y)}^{1} + 15 {(x)}^{4} {(2 y)}^{2} + 20 {(x)}^{3} {(2 y)}^{3} + 15 {(x)}^{2} {(2 y)}^{4} + 6 {(x)}^{1} {(2 y)}^{5} + 1 {(x)}^{0} {(2 y)}^{6}$

ステップ 4.2

積の法則を $2 y$ に当てはめます。

$x^{6} (2^{0} y^{0}) + 6 {(x)}^{5} {(2 y)}^{1} + 15 {(x)}^{4} {(2 y)}^{2} + 20 {(x)}^{3} {(2 y)}^{3} + 15 {(x)}^{2} {(2 y)}^{4} + 6 {(x)}^{1} {(2 y)}^{5} + 1 {(x)}^{0} {(2 y)}^{6}$

ステップ 4.3

積の可換性を利用して書き換えます。

$2^{0} x^{6} y^{0} + 6 {(x)}^{5} {(2 y)}^{1} + 15 {(x)}^{4} {(2 y)}^{2} + 20 {(x)}^{3} {(2 y)}^{3} + 15 {(x)}^{2} {(2 y)}^{4} + 6 {(x)}^{1} {(2 y)}^{5} + 1 {(x)}^{0} {(2 y)}^{6}$

ステップ 4.4

$0$ にべき乗するものは $1$ となります。

$1 x^{6} y^{0} + 6 {(x)}^{5} {(2 y)}^{1} + 15 {(x)}^{4} {(2 y)}^{2} + 20 {(x)}^{3} {(2 y)}^{3} + 15 {(x)}^{2} {(2 y)}^{4} + 6 {(x)}^{1} {(2 y)}^{5} + 1 {(x)}^{0} {(2 y)}^{6}$

ステップ 4.5

$x^{6}$ に $1$ をかけます。

$x^{6} y^{0} + 6 {(x)}^{5} {(2 y)}^{1} + 15 {(x)}^{4} {(2 y)}^{2} + 20 {(x)}^{3} {(2 y)}^{3} + 15 {(x)}^{2} {(2 y)}^{4} + 6 {(x)}^{1} {(2 y)}^{5} + 1 {(x)}^{0} {(2 y)}^{6}$

ステップ 4.6

$0$ にべき乗するものは $1$ となります。

$x^{6} \cdot 1 + 6 {(x)}^{5} {(2 y)}^{1} + 15 {(x)}^{4} {(2 y)}^{2} + 20 {(x)}^{3} {(2 y)}^{3} + 15 {(x)}^{2} {(2 y)}^{4} + 6 {(x)}^{1} {(2 y)}^{5} + 1 {(x)}^{0} {(2 y)}^{6}$

ステップ 4.7

$x^{6}$ に $1$ をかけます。

$x^{6} + 6 {(x)}^{5} {(2 y)}^{1} + 15 {(x)}^{4} {(2 y)}^{2} + 20 {(x)}^{3} {(2 y)}^{3} + 15 {(x)}^{2} {(2 y)}^{4} + 6 {(x)}^{1} {(2 y)}^{5} + 1 {(x)}^{0} {(2 y)}^{6}$

ステップ 4.8

簡約します。

$x^{6} + 6 x^{5} (2 y) + 15 {(x)}^{4} {(2 y)}^{2} + 20 {(x)}^{3} {(2 y)}^{3} + 15 {(x)}^{2} {(2 y)}^{4} + 6 {(x)}^{1} {(2 y)}^{5} + 1 {(x)}^{0} {(2 y)}^{6}$

ステップ 4.9

積の可換性を利用して書き換えます。

$x^{6} + 6 \cdot 2 x^{5} y + 15 {(x)}^{4} {(2 y)}^{2} + 20 {(x)}^{3} {(2 y)}^{3} + 15 {(x)}^{2} {(2 y)}^{4} + 6 {(x)}^{1} {(2 y)}^{5} + 1 {(x)}^{0} {(2 y)}^{6}$

ステップ 4.10

$6$ に $2$ をかけます。

$x^{6} + 12 x^{5} y + 15 {(x)}^{4} {(2 y)}^{2} + 20 {(x)}^{3} {(2 y)}^{3} + 15 {(x)}^{2} {(2 y)}^{4} + 6 {(x)}^{1} {(2 y)}^{5} + 1 {(x)}^{0} {(2 y)}^{6}$

ステップ 4.11

積の法則を $2 y$ に当てはめます。

$x^{6} + 12 x^{5} y + 15 x^{4} (2^{2} y^{2}) + 20 {(x)}^{3} {(2 y)}^{3} + 15 {(x)}^{2} {(2 y)}^{4} + 6 {(x)}^{1} {(2 y)}^{5} + 1 {(x)}^{0} {(2 y)}^{6}$

ステップ 4.12

積の可換性を利用して書き換えます。

$x^{6} + 12 x^{5} y + 15 \cdot 2^{2} x^{4} y^{2} + 20 {(x)}^{3} {(2 y)}^{3} + 15 {(x)}^{2} {(2 y)}^{4} + 6 {(x)}^{1} {(2 y)}^{5} + 1 {(x)}^{0} {(2 y)}^{6}$

ステップ 4.13

$2$ を $2$ 乗します。

$x^{6} + 12 x^{5} y + 15 \cdot 4 x^{4} y^{2} + 20 {(x)}^{3} {(2 y)}^{3} + 15 {(x)}^{2} {(2 y)}^{4} + 6 {(x)}^{1} {(2 y)}^{5} + 1 {(x)}^{0} {(2 y)}^{6}$

ステップ 4.14

$15$ に $4$ をかけます。

$x^{6} + 12 x^{5} y + 60 x^{4} y^{2} + 20 {(x)}^{3} {(2 y)}^{3} + 15 {(x)}^{2} {(2 y)}^{4} + 6 {(x)}^{1} {(2 y)}^{5} + 1 {(x)}^{0} {(2 y)}^{6}$

ステップ 4.15

積の法則を $2 y$ に当てはめます。

$x^{6} + 12 x^{5} y + 60 x^{4} y^{2} + 20 x^{3} (2^{3} y^{3}) + 15 {(x)}^{2} {(2 y)}^{4} + 6 {(x)}^{1} {(2 y)}^{5} + 1 {(x)}^{0} {(2 y)}^{6}$

ステップ 4.16

積の可換性を利用して書き換えます。

$x^{6} + 12 x^{5} y + 60 x^{4} y^{2} + 20 \cdot 2^{3} x^{3} y^{3} + 15 {(x)}^{2} {(2 y)}^{4} + 6 {(x)}^{1} {(2 y)}^{5} + 1 {(x)}^{0} {(2 y)}^{6}$

ステップ 4.17

$2$ を $3$ 乗します。

$x^{6} + 12 x^{5} y + 60 x^{4} y^{2} + 20 \cdot 8 x^{3} y^{3} + 15 {(x)}^{2} {(2 y)}^{4} + 6 {(x)}^{1} {(2 y)}^{5} + 1 {(x)}^{0} {(2 y)}^{6}$

ステップ 4.18

$20$ に $8$ をかけます。

$x^{6} + 12 x^{5} y + 60 x^{4} y^{2} + 160 x^{3} y^{3} + 15 {(x)}^{2} {(2 y)}^{4} + 6 {(x)}^{1} {(2 y)}^{5} + 1 {(x)}^{0} {(2 y)}^{6}$

ステップ 4.19

積の法則を $2 y$ に当てはめます。

$x^{6} + 12 x^{5} y + 60 x^{4} y^{2} + 160 x^{3} y^{3} + 15 x^{2} (2^{4} y^{4}) + 6 {(x)}^{1} {(2 y)}^{5} + 1 {(x)}^{0} {(2 y)}^{6}$

ステップ 4.20

積の可換性を利用して書き換えます。

$x^{6} + 12 x^{5} y + 60 x^{4} y^{2} + 160 x^{3} y^{3} + 15 \cdot 2^{4} x^{2} y^{4} + 6 {(x)}^{1} {(2 y)}^{5} + 1 {(x)}^{0} {(2 y)}^{6}$

ステップ 4.21

$2$ を $4$ 乗します。

$x^{6} + 12 x^{5} y + 60 x^{4} y^{2} + 160 x^{3} y^{3} + 15 \cdot 16 x^{2} y^{4} + 6 {(x)}^{1} {(2 y)}^{5} + 1 {(x)}^{0} {(2 y)}^{6}$

ステップ 4.22

$15$ に $16$ をかけます。

$x^{6} + 12 x^{5} y + 60 x^{4} y^{2} + 160 x^{3} y^{3} + 240 x^{2} y^{4} + 6 {(x)}^{1} {(2 y)}^{5} + 1 {(x)}^{0} {(2 y)}^{6}$

ステップ 4.23

簡約します。

$x^{6} + 12 x^{5} y + 60 x^{4} y^{2} + 160 x^{3} y^{3} + 240 x^{2} y^{4} + 6 x {(2 y)}^{5} + 1 {(x)}^{0} {(2 y)}^{6}$

ステップ 4.24

積の法則を $2 y$ に当てはめます。

$x^{6} + 12 x^{5} y + 60 x^{4} y^{2} + 160 x^{3} y^{3} + 240 x^{2} y^{4} + 6 x (2^{5} y^{5}) + 1 {(x)}^{0} {(2 y)}^{6}$

ステップ 4.25

積の可換性を利用して書き換えます。

$x^{6} + 12 x^{5} y + 60 x^{4} y^{2} + 160 x^{3} y^{3} + 240 x^{2} y^{4} + 6 \cdot 2^{5} x y^{5} + 1 {(x)}^{0} {(2 y)}^{6}$

ステップ 4.26

$2$ を $5$ 乗します。

$x^{6} + 12 x^{5} y + 60 x^{4} y^{2} + 160 x^{3} y^{3} + 240 x^{2} y^{4} + 6 \cdot 32 x y^{5} + 1 {(x)}^{0} {(2 y)}^{6}$

ステップ 4.27

$6$ に $32$ をかけます。

$x^{6} + 12 x^{5} y + 60 x^{4} y^{2} + 160 x^{3} y^{3} + 240 x^{2} y^{4} + 192 x y^{5} + 1 {(x)}^{0} {(2 y)}^{6}$

ステップ 4.28

${(x)}^{0}$ に $1$ をかけます。

$x^{6} + 12 x^{5} y + 60 x^{4} y^{2} + 160 x^{3} y^{3} + 240 x^{2} y^{4} + 192 x y^{5} + {(x)}^{0} {(2 y)}^{6}$

ステップ 4.29

$0$ にべき乗するものは $1$ となります。

$x^{6} + 12 x^{5} y + 60 x^{4} y^{2} + 160 x^{3} y^{3} + 240 x^{2} y^{4} + 192 x y^{5} + 1 {(2 y)}^{6}$

ステップ 4.30

${(2 y)}^{6}$ に $1$ をかけます。

$x^{6} + 12 x^{5} y + 60 x^{4} y^{2} + 160 x^{3} y^{3} + 240 x^{2} y^{4} + 192 x y^{5} + {(2 y)}^{6}$

ステップ 4.31

積の法則を $2 y$ に当てはめます。

$x^{6} + 12 x^{5} y + 60 x^{4} y^{2} + 160 x^{3} y^{3} + 240 x^{2} y^{4} + 192 x y^{5} + 2^{6} y^{6}$

ステップ 4.32

$2$ を $6$ 乗します。

$x^{6} + 12 x^{5} y + 60 x^{4} y^{2} + 160 x^{3} y^{3} + 240 x^{2} y^{4} + 192 x y^{5} + 64 y^{6}$

微分積分学準備 例

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