微分積分学準備例

$x \leq 15 - 2 x^{2}$

ステップ 1

不等式の両辺に $2 x^{2}$ を足します。

$x + 2 x^{2} \leq 15$

ステップ 2

不等式を方程式に変換します。

$x + 2 x^{2} = 15$

ステップ 3

方程式の両辺から $15$ を引きます。

$x + 2 x^{2} - 15 = 0$

ステップ 4

方程式の左辺を因数分解します。

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ステップ 4.1

$u = x$ とします。 $u$ を $x$ に代入します。

$u + 2 u^{2} - 15 = 0$

ステップ 4.2

群による因数分解。

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ステップ 4.2.1

項を並べ替えます。

$2 u^{2} + u - 15 = 0$

ステップ 4.2.2

$a x^{2} + b x + c$ の形の多項式について、積が $a \cdot c = 2 \cdot - 15 = - 30$ で和が $b = 1$ である2項の和に中央の項を書き換えます。

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ステップ 4.2.2.1

$1$ を掛けます。

$2 u^{2} + 1 u - 15 = 0$

ステップ 4.2.2.2

$1$ を $- 5$ プラス $6$ に書き換える

$2 u^{2} + (- 5 + 6) u - 15 = 0$

ステップ 4.2.2.3

分配則を当てはめます。

$2 u^{2} - 5 u + 6 u - 15 = 0$

ステップ 4.2.3

各群から最大公約数を因数分解します。

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ステップ 4.2.3.1

前の2項と後ろの2項をまとめます。

$(2 u^{2} - 5 u) + 6 u - 15 = 0$

ステップ 4.2.3.2

各群から最大公約数を因数分解します。

$u (2 u - 5) + 3 (2 u - 5) = 0$

ステップ 4.2.4

最大公約数 $2 u - 5$ を因数分解して、多項式を因数分解します。

$(2 u - 5) (u + 3) = 0$

ステップ 4.3

$u$ のすべての発生を $x$ で置き換えます。

$(2 x - 5) (x + 3) = 0$

ステップ 5

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$2 x - 5 = 0$

$x + 3 = 0$

ステップ 6

$2 x - 5$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 6.1

$2 x - 5$ が $0$ に等しいとします。

$2 x - 5 = 0$

ステップ 6.2

$x$ について $2 x - 5 = 0$ を解きます。

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ステップ 6.2.1

方程式の両辺に $5$ を足します。

$2 x = 5$

ステップ 6.2.2

$2 x = 5$ の各項を $2$ で割り、簡約します。

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ステップ 6.2.2.1

$2 x = 5$ の各項を $2$ で割ります。

$\frac{2 x}{2} = \frac{5}{2}$

ステップ 6.2.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 6.2.2.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.2.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 x}{2} = \frac{5}{2}$

ステップ 6.2.2.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{5}{2}$

ステップ 7

$x + 3$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 7.1

$x + 3$ が $0$ に等しいとします。

$x + 3 = 0$

ステップ 7.2

方程式の両辺から $3$ を引きます。

$x = - 3$

ステップ 8

最終解は $(2 x - 5) (x + 3) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = \frac{5}{2}, - 3$

ステップ 9

各根を利用して検定区間を作成します。

$x < - 3$

$- 3 < x < \frac{5}{2}$

$x > \frac{5}{2}$

ステップ 10

各区間から試験値を選び、この値を元の不等式に代入して、どの区間が不等式を満たすか判定します。

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ステップ 10.1

区間 $x < - 3$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 10.1.1

区間 $x < - 3$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = - 6$

ステップ 10.1.2

$x$ を元の不等式の $- 6$ で置き換えます。

$- 6 \leq 15 - 2 {(- 6)}^{2}$

ステップ 10.1.3

左辺 $- 6$ は右辺 $- 57$ より大きいです。つまり、与えられた文は偽です。

偽

ステップ 10.2

区間 $- 3 < x < \frac{5}{2}$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 10.2.1

区間 $- 3 < x < \frac{5}{2}$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 0$

ステップ 10.2.2

$x$ を元の不等式の $0$ で置き換えます。

$0 \leq 15 - 2 {(0)}^{2}$

ステップ 10.2.3

左辺 $0$ は右辺 $15$ より小さいです。つまり、与えられた文は常に真です。

真

ステップ 10.3

区間 $x > \frac{5}{2}$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 10.3.1

区間 $x > \frac{5}{2}$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 5$

ステップ 10.3.2

$x$ を元の不等式の $5$ で置き換えます。

$5 \leq 15 - 2 {(5)}^{2}$

ステップ 10.3.3

左辺 $5$ は右辺 $- 35$ より大きいです。つまり、与えられた文は偽です。

偽

ステップ 10.4

区間を比較して、どちらが元の不等式を満たすか判定します。

$x < - 3$ 偽

$- 3 < x < \frac{5}{2}$ 真

$x > \frac{5}{2}$ 偽

$x < - 3$ 偽

$- 3 < x < \frac{5}{2}$ 真

$x > \frac{5}{2}$ 偽

ステップ 11

解はすべての真の区間からなります。

$- 3 \leq x \leq \frac{5}{2}$

ステップ 12

不等式を区間記号に変換します。

$[- 3, \frac{5}{2}]$

ステップ 13

微分積分学準備 例

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