微分積分学準備例

$x > - \frac{3}{x - 4}$

ステップ 1

不等式の両辺に $\frac{3}{x - 4}$ を足します。

$x + \frac{3}{x - 4} > 0$

ステップ 2

$x + \frac{3}{x - 4}$ を簡約します。

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ステップ 2.1

$x$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{x - 4}{x - 4}$ を掛けます。

$\frac{x (x - 4)}{x - 4} + \frac{3}{x - 4} > 0$

ステップ 2.2

公分母の分子をまとめます。

$\frac{x (x - 4) + 3}{x - 4} > 0$

ステップ 2.3

分子を簡約します。

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ステップ 2.3.1

分配則を当てはめます。

$\frac{x \cdot x + x \cdot - 4 + 3}{x - 4} > 0$

ステップ 2.3.2

$x$ に $x$ をかけます。

$\frac{x^{2} + x \cdot - 4 + 3}{x - 4} > 0$

ステップ 2.3.3

$- 4$ を $x$ の左に移動させます。

$\frac{x^{2} - 4 \cdot x + 3}{x - 4} > 0$

ステップ 2.3.4

たすき掛けを利用して $x^{2} - 4 x + 3$ を因数分解します。

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ステップ 2.3.4.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $3$ で、その和が $- 4$ です。

$- 3, - 1$

ステップ 2.3.4.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$\frac{(x - 3) (x - 1)}{x - 4} > 0$

ステップ 3

各因数を $0$ に等しくして解くことで、式が負から正に切り替わるすべての値を求めます。

$x - 3 = 0$

$x - 1 = 0$

$x - 4 = 0$

ステップ 4

方程式の両辺に $3$ を足します。

$x = 3$

ステップ 5

方程式の両辺に $1$ を足します。

$x = 1$

ステップ 6

方程式の両辺に $4$ を足します。

$x = 4$

ステップ 7

各因数について解き、絶対値式が負から正になる値を求めます。

$x = 3$

$x = 1$

$x = 4$

ステップ 8

解をまとめます。

$x = 3, 1, 4$

ステップ 9

$\frac{(x - 3) (x - 1)}{x - 4}$ の定義域を求めます。

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ステップ 9.1

$\frac{(x - 3) (x - 1)}{x - 4}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

$x - 4 = 0$

ステップ 9.2

方程式の両辺に $4$ を足します。

$x = 4$

ステップ 9.3

定義域は式が定義になる $x$ のすべての値です。

$(- \infty, 4) \cup (4, \infty)$

ステップ 10

各根を利用して検定区間を作成します。

$x < 1$

$1 < x < 3$

$3 < x < 4$

$x > 4$

ステップ 11

各区間から試験値を選び、この値を元の不等式に代入して、どの区間が不等式を満たすか判定します。

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ステップ 11.1

区間 $x < 1$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 11.1.1

区間 $x < 1$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 0$

ステップ 11.1.2

$x$ を元の不等式の $0$ で置き換えます。

$0 > - \frac{3}{(0) - 4}$

ステップ 11.1.3

左辺 $0$ は右辺 $0.75$ より大きくありません。つまり、与えられた文は偽です。

偽

ステップ 11.2

区間 $1 < x < 3$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 11.2.1

区間 $1 < x < 3$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 2$

ステップ 11.2.2

$x$ を元の不等式の $2$ で置き換えます。

$2 > - \frac{3}{(2) - 4}$

ステップ 11.2.3

左辺 $2$ は右辺 $1.5$ より大きいです。つまり、与えられた文は常に真です。

真

ステップ 11.3

区間 $3 < x < 4$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 11.3.1

区間 $3 < x < 4$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 3.5$

ステップ 11.3.2

$x$ を元の不等式の $3.5$ で置き換えます。

$3.5 > - \frac{3}{(3.5) - 4}$

ステップ 11.3.3

左辺 $3.5$ は右辺 $6$ より大きくありません。つまり、与えられた文は偽です。

偽

ステップ 11.4

区間 $x > 4$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 11.4.1

区間 $x > 4$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 6$

ステップ 11.4.2

$x$ を元の不等式の $6$ で置き換えます。

$6 > - \frac{3}{(6) - 4}$

ステップ 11.4.3

左辺 $6$ は右辺 $- 1.5$ より大きいです。つまり、与えられた文は常に真です。

真

ステップ 11.5

区間を比較して、どちらが元の不等式を満たすか判定します。

$x < 1$ 偽

$1 < x < 3$ 真

$3 < x < 4$ 偽

$x > 4$ 真

$x < 1$ 偽

$1 < x < 3$ 真

$3 < x < 4$ 偽

$x > 4$ 真

ステップ 12

解はすべての真の区間からなります。

$1 < x < 3$ または $x > 4$

ステップ 13

不等式を区間記号に変換します。

$(1, 3) \cup (4, \infty)$

ステップ 14

微分積分学準備 例

微分積分学準備例