微分積分学準備例

$\frac{x^{2} + 9 x + 20}{x^{2} - x - 20} \geq 0$

ステップ 1

各因数を $0$ に等しくして解くことで、式が負から正に切り替わるすべての値を求めます。

$x^{2} + 9 x + 20 = 0$

$x^{2} - x - 20 = 0$

ステップ 2

たすき掛けを利用して $x^{2} + 9 x + 20$ を因数分解します。

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ステップ 2.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $20$ で、その和が $9$ です。

$4, 5$

ステップ 2.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$(x + 4) (x + 5) = 0$

ステップ 3

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x + 4 = 0$

$x + 5 = 0$

ステップ 4

$x + 4$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 4.1

$x + 4$ が $0$ に等しいとします。

$x + 4 = 0$

ステップ 4.2

方程式の両辺から $4$ を引きます。

$x = - 4$

ステップ 5

$x + 5$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 5.1

$x + 5$ が $0$ に等しいとします。

$x + 5 = 0$

ステップ 5.2

方程式の両辺から $5$ を引きます。

$x = - 5$

ステップ 6

最終解は $(x + 4) (x + 5) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = - 4, - 5$

ステップ 7

たすき掛けを利用して $x^{2} - x - 20$ を因数分解します。

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ステップ 7.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $- 20$ で、その和が $- 1$ です。

$- 5, 4$

ステップ 7.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$(x - 5) (x + 4) = 0$

ステップ 8

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x - 5 = 0$

$x + 4 = 0$

ステップ 9

$x - 5$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 9.1

$x - 5$ が $0$ に等しいとします。

$x - 5 = 0$

ステップ 9.2

方程式の両辺に $5$ を足します。

$x = 5$

ステップ 10

$x + 4$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 10.1

$x + 4$ が $0$ に等しいとします。

$x + 4 = 0$

ステップ 10.2

方程式の両辺から $4$ を引きます。

$x = - 4$

ステップ 11

最終解は $(x - 5) (x + 4) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 5, - 4$

ステップ 12

各因数について解き、絶対値式が負から正になる値を求めます。

$x = - 4, - 5$

$x = 5, - 4$

ステップ 13

解をまとめます。

$x = - 4, - 5, 5, - 4$

ステップ 14

$\frac{x^{2} + 9 x + 20}{x^{2} - x - 20}$ の定義域を求めます。

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ステップ 14.1

$\frac{x^{2} + 9 x + 20}{x^{2} - x - 20}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

$x^{2} - x - 20 = 0$

ステップ 14.2

$x$ について解きます。

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ステップ 14.2.1

たすき掛けを利用して $x^{2} - x - 20$ を因数分解します。

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ステップ 14.2.1.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $- 20$ で、その和が $- 1$ です。

$- 5, 4$

ステップ 14.2.1.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$(x - 5) (x + 4) = 0$

ステップ 14.2.2

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x - 5 = 0$

$x + 4 = 0$

ステップ 14.2.3

$x - 5$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 14.2.3.1

$x - 5$ が $0$ に等しいとします。

$x - 5 = 0$

ステップ 14.2.3.2

方程式の両辺に $5$ を足します。

$x = 5$

ステップ 14.2.4

$x + 4$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 14.2.4.1

$x + 4$ が $0$ に等しいとします。

$x + 4 = 0$

ステップ 14.2.4.2

方程式の両辺から $4$ を引きます。

$x = - 4$

ステップ 14.2.5

最終解は $(x - 5) (x + 4) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 5, - 4$

ステップ 14.3

定義域は式が定義になる $x$ のすべての値です。

$(- \infty, - 4) \cup (- 4, 5) \cup (5, \infty)$

ステップ 15

各根を利用して検定区間を作成します。

$x < - 5$

$- 5 < x < - 4$

$- 4 < x < 5$

$x > 5$

ステップ 16

各区間から試験値を選び、この値を元の不等式に代入して、どの区間が不等式を満たすか判定します。

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ステップ 16.1

区間 $x < - 5$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 16.1.1

区間 $x < - 5$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = - 8$

ステップ 16.1.2

$x$ を元の不等式の $- 8$ で置き換えます。

$\frac{{(- 8)}^{2} + 9 (- 8) + 20}{{(- 8)}^{2} - (- 8) - 20} \geq 0$

ステップ 16.1.3

左辺 $0.\overline{230769}$ は右辺 $0$ より大きいです。つまり、与えられた文は常に真です。

真

ステップ 16.2

区間 $- 5 < x < - 4$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 16.2.1

区間 $- 5 < x < - 4$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = - 4.5$

ステップ 16.2.2

$x$ を元の不等式の $- 4.5$ で置き換えます。

$\frac{{(- 4.5)}^{2} + 9 (- 4.5) + 20}{{(- 4.5)}^{2} - (- 4.5) - 20} \geq 0$

ステップ 16.2.3

左辺 $- 0.05263157$ は右辺 $0$ より小さいです。つまり、与えられた文は偽です。

偽

ステップ 16.3

区間 $- 4 < x < 5$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 16.3.1

区間 $- 4 < x < 5$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 0$

ステップ 16.3.2

$x$ を元の不等式の $0$ で置き換えます。

$\frac{{(0)}^{2} + 9 (0) + 20}{{(0)}^{2} - (0) - 20} \geq 0$

ステップ 16.3.3

左辺 $- 1$ は右辺 $0$ より小さいです。つまり、与えられた文は偽です。

偽

ステップ 16.4

区間 $x > 5$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 16.4.1

区間 $x > 5$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 8$

ステップ 16.4.2

$x$ を元の不等式の $8$ で置き換えます。

$\frac{{(8)}^{2} + 9 (8) + 20}{{(8)}^{2} - (8) - 20} \geq 0$

ステップ 16.4.3

左辺 $4.\overline{3}$ は右辺 $0$ より大きいです。つまり、与えられた文は常に真です。

真

ステップ 16.5

区間を比較して、どちらが元の不等式を満たすか判定します。

$x < - 5$ 真

$- 5 < x < - 4$ 偽

$- 4 < x < 5$ 偽

$x > 5$ 真

$x < - 5$ 真

$- 5 < x < - 4$ 偽

$- 4 < x < 5$ 偽

$x > 5$ 真

ステップ 17

解はすべての真の区間からなります。

$x \leq - 5$ または $x > 5$

ステップ 18

不等式を区間記号に変換します。

$(- \infty, - 5] \cup (5, \infty)$

ステップ 19

微分積分学準備 例

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