微分積分学準備例

$\frac{49 x^{2} - 81}{x^{2} - 64} \leq 0$

ステップ 1

各因数を $0$ に等しくして解くことで、式が負から正に切り替わるすべての値を求めます。

$49 x^{2} - 81 = 0$

$x^{2} - 64 = 0$

ステップ 2

方程式の両辺に $81$ を足します。

$49 x^{2} = 81$

ステップ 3

$49 x^{2} = 81$ の各項を $49$ で割り、簡約します。

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ステップ 3.1

$49 x^{2} = 81$ の各項を $49$ で割ります。

$\frac{49 x^{2}}{49} = \frac{81}{49}$

ステップ 3.2

左辺を簡約します。

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ステップ 3.2.1

$49$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{49 x^{2}}{49} = \frac{81}{49}$

ステップ 3.2.1.2

$x^{2}$ を $1$ で割ります。

$x^{2} = \frac{81}{49}$

ステップ 4

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$x = \pm \sqrt{\frac{81}{49}}$

ステップ 5

$\pm \sqrt{\frac{81}{49}}$ を簡約します。

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ステップ 5.1

$\sqrt{\frac{81}{49}}$ を $\frac{\sqrt{81}}{\sqrt{49}}$ に書き換えます。

$x = \pm \frac{\sqrt{81}}{\sqrt{49}}$

ステップ 5.2

分子を簡約します。

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ステップ 5.2.1

$81$ を $9^{2}$ に書き換えます。

$x = \pm \frac{\sqrt{9^{2}}}{\sqrt{49}}$

ステップ 5.2.2

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$x = \pm \frac{9}{\sqrt{49}}$

ステップ 5.3

分母を簡約します。

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ステップ 5.3.1

$49$ を $7^{2}$ に書き換えます。

$x = \pm \frac{9}{\sqrt{7^{2}}}$

ステップ 5.3.2

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$x = \pm \frac{9}{7}$

ステップ 6

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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ステップ 6.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$x = \frac{9}{7}$

ステップ 6.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$x = - \frac{9}{7}$

ステップ 6.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$x = \frac{9}{7}, - \frac{9}{7}$

ステップ 7

方程式の両辺に $64$ を足します。

$x^{2} = 64$

ステップ 8

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$x = \pm \sqrt{64}$

ステップ 9

$\pm \sqrt{64}$ を簡約します。

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ステップ 9.1

$64$ を $8^{2}$ に書き換えます。

$x = \pm \sqrt{8^{2}}$

ステップ 9.2

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$x = \pm 8$

ステップ 10

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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ステップ 10.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$x = 8$

ステップ 10.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$x = - 8$

ステップ 10.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$x = 8, - 8$

ステップ 11

各因数について解き、絶対値式が負から正になる値を求めます。

$x = \frac{9}{7}, - \frac{9}{7}$

$x = 8, - 8$

ステップ 12

解をまとめます。

$x = \frac{9}{7}, - \frac{9}{7}, 8, - 8$

ステップ 13

$\frac{49 x^{2} - 81}{x^{2} - 64}$ の定義域を求めます。

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ステップ 13.1

$\frac{49 x^{2} - 81}{x^{2} - 64}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

$x^{2} - 64 = 0$

ステップ 13.2

$x$ について解きます。

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ステップ 13.2.1

方程式の両辺に $64$ を足します。

$x^{2} = 64$

ステップ 13.2.2

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$x = \pm \sqrt{64}$

ステップ 13.2.3

$\pm \sqrt{64}$ を簡約します。

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ステップ 13.2.3.1

$64$ を $8^{2}$ に書き換えます。

$x = \pm \sqrt{8^{2}}$

ステップ 13.2.3.2

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$x = \pm 8$

ステップ 13.2.4

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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ステップ 13.2.4.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$x = 8$

ステップ 13.2.4.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$x = - 8$

ステップ 13.2.4.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$x = 8, - 8$

ステップ 13.3

定義域は式が定義になる $x$ のすべての値です。

$(- \infty, - 8) \cup (- 8, 8) \cup (8, \infty)$

ステップ 14

各根を利用して検定区間を作成します。

$x < - 8$

$- 8 < x < - \frac{9}{7}$

$- \frac{9}{7} < x < \frac{9}{7}$

$\frac{9}{7} < x < 8$

$x > 8$

ステップ 15

各区間から試験値を選び、この値を元の不等式に代入して、どの区間が不等式を満たすか判定します。

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ステップ 15.1

区間 $x < - 8$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 15.1.1

区間 $x < - 8$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = - 10$

ステップ 15.1.2

$x$ を元の不等式の $- 10$ で置き換えます。

$\frac{49 {(- 10)}^{2} - 81}{{(- 10)}^{2} - 64} \leq 0$

ステップ 15.1.3

左辺 $133.86\overline{1}$ は右辺 $0$ より大きいです。つまり、与えられた文は偽です。

偽

ステップ 15.2

区間 $- 8 < x < - \frac{9}{7}$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 15.2.1

区間 $- 8 < x < - \frac{9}{7}$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = - 5$

ステップ 15.2.2

$x$ を元の不等式の $- 5$ で置き換えます。

$\frac{49 {(- 5)}^{2} - 81}{{(- 5)}^{2} - 64} \leq 0$

ステップ 15.2.3

左辺 $- 29.\overline{3}$ は右辺 $0$ より小さいです。つまり、与えられた文は常に真です。

真

ステップ 15.3

区間 $- \frac{9}{7} < x < \frac{9}{7}$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 15.3.1

区間 $- \frac{9}{7} < x < \frac{9}{7}$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 0$

ステップ 15.3.2

$x$ を元の不等式の $0$ で置き換えます。

$\frac{49 {(0)}^{2} - 81}{{(0)}^{2} - 64} \leq 0$

ステップ 15.3.3

左辺 $1.265625$ は右辺 $0$ より大きいです。つまり、与えられた文は偽です。

偽

ステップ 15.4

区間 $\frac{9}{7} < x < 8$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 15.4.1

区間 $\frac{9}{7} < x < 8$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 5$

ステップ 15.4.2

$x$ を元の不等式の $5$ で置き換えます。

$\frac{49 {(5)}^{2} - 81}{{(5)}^{2} - 64} \leq 0$

ステップ 15.4.3

左辺 $- 29.\overline{3}$ は右辺 $0$ より小さいです。つまり、与えられた文は常に真です。

真

ステップ 15.5

区間 $x > 8$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 15.5.1

区間 $x > 8$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 10$

ステップ 15.5.2

$x$ を元の不等式の $10$ で置き換えます。

$\frac{49 {(10)}^{2} - 81}{{(10)}^{2} - 64} \leq 0$

ステップ 15.5.3

左辺 $133.86\overline{1}$ は右辺 $0$ より大きいです。つまり、与えられた文は偽です。

偽

ステップ 15.6

区間を比較して、どちらが元の不等式を満たすか判定します。

$x < - 8$ 偽

$- 8 < x < - \frac{9}{7}$ 真

$- \frac{9}{7} < x < \frac{9}{7}$ 偽

$\frac{9}{7} < x < 8$ 真

$x > 8$ 偽

$x < - 8$ 偽

$- 8 < x < - \frac{9}{7}$ 真

$- \frac{9}{7} < x < \frac{9}{7}$ 偽

$\frac{9}{7} < x < 8$ 真

$x > 8$ 偽

ステップ 16

解はすべての真の区間からなります。

$- 8 < x \leq - \frac{9}{7}$ または $\frac{9}{7} \leq x < 8$

ステップ 17

不等式を区間記号に変換します。

$(- 8, - \frac{9}{7}] \cup [\frac{9}{7}, 8)$

ステップ 18

微分積分学準備 例

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