微分積分学準備例

$\sqrt{3 x^{2} - 6 x}$

ステップ 1

$\sqrt{3 x^{2} - 6 x}$ の被開数を $0$ 以上として、式が定義である場所を求めます。

$3 x^{2} - 6 x \geq 0$

ステップ 2

$x$ について解きます。

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ステップ 2.1

不等式を方程式に変換します。

$3 x^{2} - 6 x = 0$

ステップ 2.2

$3 x$ を $3 x^{2} - 6 x$ で因数分解します。

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ステップ 2.2.1

$3 x$ を $3 x^{2}$ で因数分解します。

$3 x (x) - 6 x = 0$

ステップ 2.2.2

$3 x$ を $- 6 x$ で因数分解します。

$3 x (x) + 3 x (- 2) = 0$

ステップ 2.2.3

$3 x$ を $3 x (x) + 3 x (- 2)$ で因数分解します。

$3 x (x - 2) = 0$

ステップ 2.3

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x = 0$

$x - 2 = 0$

ステップ 2.4

$x$ が $0$ に等しいとします。

$x = 0$

ステップ 2.5

$x - 2$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 2.5.1

$x - 2$ が $0$ に等しいとします。

$x - 2 = 0$

ステップ 2.5.2

方程式の両辺に $2$ を足します。

$x = 2$

ステップ 2.6

最終解は $3 x (x - 2) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 0, 2$

ステップ 2.7

各根を利用して検定区間を作成します。

$x < 0$

$0 < x < 2$

$x > 2$

ステップ 2.8

各区間から試験値を選び、この値を元の不等式に代入して、どの区間が不等式を満たすか判定します。

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ステップ 2.8.1

区間 $x < 0$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 2.8.1.1

区間 $x < 0$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = - 2$

ステップ 2.8.1.2

$x$ を元の不等式の $- 2$ で置き換えます。

$3 {(- 2)}^{2} - 6 \cdot - 2 \geq 0$

ステップ 2.8.1.3

左辺 $24$ は右辺 $0$ より大きいです。つまり、与えられた文は常に真です。

真

ステップ 2.8.2

区間 $0 < x < 2$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 2.8.2.1

区間 $0 < x < 2$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 1$

ステップ 2.8.2.2

$x$ を元の不等式の $1$ で置き換えます。

$3 {(1)}^{2} - 6 \cdot 1 \geq 0$

ステップ 2.8.2.3

左辺 $- 3$ は右辺 $0$ より小さいです。つまり、与えられた文は偽です。

偽

ステップ 2.8.3

区間 $x > 2$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 2.8.3.1

区間 $x > 2$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 4$

ステップ 2.8.3.2

$x$ を元の不等式の $4$ で置き換えます。

$3 {(4)}^{2} - 6 \cdot 4 \geq 0$

ステップ 2.8.3.3

左辺 $24$ は右辺 $0$ より大きいです。つまり、与えられた文は常に真です。

真

ステップ 2.8.4

区間を比較して、どちらが元の不等式を満たすか判定します。

$x < 0$ 真

$0 < x < 2$ 偽

$x > 2$ 真

$x < 0$ 真

$0 < x < 2$ 偽

$x > 2$ 真

ステップ 2.9

解はすべての真の区間からなります。

$x \leq 0$ または $x \geq 2$

ステップ 3

定義域は式が定義になる $x$ のすべての値です。

区間記号：

$(- \infty, 0] \cup [2, \infty)$

集合の内包的記法：

${x | x \leq 0, x \geq 2}$

ステップ 4

微分積分学準備 例

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