微分積分学準備例

$\log_{5} (2 x - 1)$

ステップ 1

変数を入れ替えます。

$x = \log_{5} (2 y - 1)$

ステップ 2

$y$ について解きます。

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ステップ 2.1

方程式を $\log_{5} (2 y - 1) = x$ として書き換えます。

$\log_{5} (2 y - 1) = x$

ステップ 2.2

対数の定義を利用して $\log_{5} (2 y - 1) = x$ を指数表記に書き換えます。 $x$ と $b$ が正の実数で $b \neq 1$ ならば、 $\log_{b} (x) = y$ は $b^{y} = x$ と同値です。

$5^{x} = 2 y - 1$

ステップ 2.3

$y$ について解きます。

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ステップ 2.3.1

方程式を $2 y - 1 = 5^{x}$ として書き換えます。

$2 y - 1 = 5^{x}$

ステップ 2.3.2

方程式の両辺に $1$ を足します。

$2 y = 5^{x} + 1$

ステップ 2.3.3

$2 y = 5^{x} + 1$ の各項を $2$ で割り、簡約します。

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ステップ 2.3.3.1

$2 y = 5^{x} + 1$ の各項を $2$ で割ります。

$\frac{2 y}{2} = \frac{5^{x}}{2} + \frac{1}{2}$

ステップ 2.3.3.2

左辺を簡約します。

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ステップ 2.3.3.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.3.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 y}{2} = \frac{5^{x}}{2} + \frac{1}{2}$

ステップ 2.3.3.2.1.2

$y$ を $1$ で割ります。

$y = \frac{5^{x}}{2} + \frac{1}{2}$

ステップ 3

$y$ を $f^{- 1} (x)$ で置き換え、最終回答を表示します。

$f^{- 1} (x) = \frac{5^{x}}{2} + \frac{1}{2}$

ステップ 4

$f^{- 1} (x) = \frac{5^{x}}{2} + \frac{1}{2}$ が $f (x) = \log_{5} (2 x - 1)$ の逆か確認します。

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ステップ 4.1

逆を確認するために、 $f^{- 1} (f (x)) = x$ と $f (f^{- 1} (x)) = x$ か確認します。

ステップ 4.2

$f^{- 1} (f (x))$ の値を求めます。

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ステップ 4.2.1

合成結果関数を立てます。

$f^{- 1} (f (x))$

ステップ 4.2.2

$f^{- 1}$ に $f$ の値を代入し、 $f^{- 1} (\log_{5} (2 x - 1))$ の値を求めます。

$f^{- 1} (\log_{5} (2 x - 1)) = \frac{5^{\log_{5} (2 x - 1)}}{2} + \frac{1}{2}$

ステップ 4.2.3

公分母の分子をまとめます。

$f^{- 1} (\log_{5} (2 x - 1)) = \frac{5^{\log_{5} (2 x - 1)} + 1}{2}$

ステップ 4.2.4

指数関数と対数関数は逆関数です。

$f^{- 1} (\log_{5} (2 x - 1)) = \frac{2 x - 1 + 1}{2}$

ステップ 4.2.5

$2 x - 1 + 1$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 4.2.5.1

$- 1$ と $1$ をたし算します。

$f^{- 1} (\log_{5} (2 x - 1)) = \frac{2 x + 0}{2}$

ステップ 4.2.5.2

$2 x$ と $0$ をたし算します。

$f^{- 1} (\log_{5} (2 x - 1)) = \frac{2 x}{2}$

ステップ 4.2.6

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.2.6.1

共通因数を約分します。

$f^{- 1} (\log_{5} (2 x - 1)) = \frac{2 x}{2}$

ステップ 4.2.6.2

$x$ を $1$ で割ります。

$f^{- 1} (\log_{5} (2 x - 1)) = x$

ステップ 4.3

$f (f^{- 1} (x))$ の値を求めます。

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ステップ 4.3.1

合成結果関数を立てます。

$f (f^{- 1} (x))$

ステップ 4.3.2

$f$ に $f^{- 1}$ の値を代入し、 $f (\frac{5^{x}}{2} + \frac{1}{2})$ の値を求めます。

$f (\frac{5^{x}}{2} + \frac{1}{2}) = \log_{5} (2 (\frac{5^{x}}{2} + \frac{1}{2}) - 1)$

ステップ 4.3.3

各項を簡約します。

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ステップ 4.3.3.1

分配則を当てはめます。

$f (\frac{5^{x}}{2} + \frac{1}{2}) = \log_{5} (2 (\frac{5^{x}}{2}) + 2 (\frac{1}{2}) - 1)$

ステップ 4.3.3.2

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.3.2.1

共通因数を約分します。

$f (\frac{5^{x}}{2} + \frac{1}{2}) = \log_{5} (2 (\frac{5^{x}}{2}) + 2 (\frac{1}{2}) - 1)$

ステップ 4.3.3.2.2

式を書き換えます。

$f (\frac{5^{x}}{2} + \frac{1}{2}) = \log_{5} (5^{x} + 2 (\frac{1}{2}) - 1)$

ステップ 4.3.3.3

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.3.3.1

共通因数を約分します。

$f (\frac{5^{x}}{2} + \frac{1}{2}) = \log_{5} (5^{x} + 2 (\frac{1}{2}) - 1)$

ステップ 4.3.3.3.2

式を書き換えます。

$f (\frac{5^{x}}{2} + \frac{1}{2}) = \log_{5} (5^{x} + 1 - 1)$

ステップ 4.3.4

$5^{x} + 1 - 1$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 4.3.4.1

$1$ から $1$ を引きます。

$f (\frac{5^{x}}{2} + \frac{1}{2}) = \log_{5} (5^{x} + 0)$

ステップ 4.3.4.2

$5^{x}$ と $0$ をたし算します。

$f (\frac{5^{x}}{2} + \frac{1}{2}) = \log_{5} (5^{x})$

ステップ 4.3.5

対数の法則を利用して指数の外に $x$ を移動します。

$f (\frac{5^{x}}{2} + \frac{1}{2}) = x \log_{5} (5)$

ステップ 4.3.6

$5$ の対数の底 $5$ は $1$ です。

$f (\frac{5^{x}}{2} + \frac{1}{2}) = x \cdot 1$

ステップ 4.3.7

$x$ に $1$ をかけます。

$f (\frac{5^{x}}{2} + \frac{1}{2}) = x$

ステップ 4.4

$f^{- 1} (f (x)) = x$ と $f (f^{- 1} (x)) = x$ なので、 $f^{- 1} (x) = \frac{5^{x}}{2} + \frac{1}{2}$ は $f (x) = \log_{5} (2 x - 1)$ の逆です。

$f^{- 1} (x) = \frac{5^{x}}{2} + \frac{1}{2}$

微分積分学準備 例

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