微分積分学準備例

$f (x) = x^{4} - 8 x^{3} + 16 x^{2}$

ステップ 1

x切片を求めます。

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ステップ 1.1

x切片を求めるために、 $0$ を $y$ に代入し $x$ を解きます。

$0 = x^{4} - 8 x^{3} + 16 x^{2}$

ステップ 1.2

方程式を解きます。

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ステップ 1.2.1

方程式を $x^{4} - 8 x^{3} + 16 x^{2} = 0$ として書き換えます。

$x^{4} - 8 x^{3} + 16 x^{2} = 0$

ステップ 1.2.2

方程式の左辺を因数分解します。

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ステップ 1.2.2.1

$x^{2}$ を $x^{4} - 8 x^{3} + 16 x^{2}$ で因数分解します。

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ステップ 1.2.2.1.1

$x^{2}$ を $x^{4}$ で因数分解します。

$x^{2} x^{2} - 8 x^{3} + 16 x^{2} = 0$

ステップ 1.2.2.1.2

$x^{2}$ を $- 8 x^{3}$ で因数分解します。

$x^{2} x^{2} + x^{2} (- 8 x) + 16 x^{2} = 0$

ステップ 1.2.2.1.3

$x^{2}$ を $16 x^{2}$ で因数分解します。

$x^{2} x^{2} + x^{2} (- 8 x) + x^{2} \cdot 16 = 0$

ステップ 1.2.2.1.4

$x^{2}$ を $x^{2} x^{2} + x^{2} (- 8 x)$ で因数分解します。

$x^{2} (x^{2} - 8 x) + x^{2} \cdot 16 = 0$

ステップ 1.2.2.1.5

$x^{2}$ を $x^{2} (x^{2} - 8 x) + x^{2} \cdot 16$ で因数分解します。

$x^{2} (x^{2} - 8 x + 16) = 0$

ステップ 1.2.2.2

完全平方式を利用して因数分解します。

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ステップ 1.2.2.2.1

$16$ を $4^{2}$ に書き換えます。

$x^{2} (x^{2} - 8 x + 4^{2}) = 0$

ステップ 1.2.2.2.2

中間項が、第1項と第3項で2乗される数の積の2倍であることを確認します。

$8 x = 2 \cdot x \cdot 4$

ステップ 1.2.2.2.3

多項式を書き換えます。

$x^{2} (x^{2} - 2 \cdot x \cdot 4 + 4^{2}) = 0$

ステップ 1.2.2.2.4

$a = x$ と $b = 4$ ならば、完全平方3項式 $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ を利用して因数分解します。

$x^{2} {(x - 4)}^{2} = 0$

ステップ 1.2.3

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x^{2} = 0$

${(x - 4)}^{2} = 0$

ステップ 1.2.4

$x^{2}$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 1.2.4.1

$x^{2}$ が $0$ に等しいとします。

$x^{2} = 0$

ステップ 1.2.4.2

$x$ について $x^{2} = 0$ を解きます。

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ステップ 1.2.4.2.1

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$x = \pm \sqrt{0}$

ステップ 1.2.4.2.2

$\pm \sqrt{0}$ を簡約します。

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ステップ 1.2.4.2.2.1

$0$ を $0^{2}$ に書き換えます。

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

ステップ 1.2.4.2.2.2

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$x = \pm 0$

ステップ 1.2.4.2.2.3

プラスマイナス $0$ は $0$ です。

$x = 0$

ステップ 1.2.5

${(x - 4)}^{2}$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 1.2.5.1

${(x - 4)}^{2}$ が $0$ に等しいとします。

${(x - 4)}^{2} = 0$

ステップ 1.2.5.2

$x$ について ${(x - 4)}^{2} = 0$ を解きます。

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ステップ 1.2.5.2.1

$x - 4$ が $0$ に等しいとします。

$x - 4 = 0$

ステップ 1.2.5.2.2

方程式の両辺に $4$ を足します。

$x = 4$

ステップ 1.2.6

最終解は $x^{2} {(x - 4)}^{2} = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 0, 4$

ステップ 1.3

点形式のx切片です。

x切片： $(0, 0), (4, 0)$

ステップ 2

y切片を求めます。

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ステップ 2.1

y切片を求めるために、 $0$ を $x$ に代入し $y$ を解きます。

$y = {(0)}^{4} - 8 {(0)}^{3} + 16 {(0)}^{2}$

ステップ 2.2

方程式を解きます。

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ステップ 2.2.1

括弧を削除します。

$y = 0^{4} - 8 {(0)}^{3} + 16 {(0)}^{2}$

ステップ 2.2.2

括弧を削除します。

$y = 0^{4} - 8 \cdot 0^{3} + 16 {(0)}^{2}$

ステップ 2.2.3

括弧を削除します。

$y = 0^{4} - 8 \cdot 0^{3} + 16 \cdot 0^{2}$

ステップ 2.2.4

括弧を削除します。

$y = {(0)}^{4} - 8 {(0)}^{3} + 16 {(0)}^{2}$

ステップ 2.2.5

${(0)}^{4} - 8 {(0)}^{3} + 16 {(0)}^{2}$ を簡約します。

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ステップ 2.2.5.1

各項を簡約します。

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ステップ 2.2.5.1.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$y = 0 - 8 {(0)}^{3} + 16 {(0)}^{2}$

ステップ 2.2.5.1.2

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$y = 0 - 8 \cdot 0 + 16 {(0)}^{2}$

ステップ 2.2.5.1.3

$- 8$ に $0$ をかけます。

$y = 0 + 0 + 16 {(0)}^{2}$

ステップ 2.2.5.1.4

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$y = 0 + 0 + 16 \cdot 0$

ステップ 2.2.5.1.5

$16$ に $0$ をかけます。

$y = 0 + 0 + 0$

ステップ 2.2.5.2

数を加えて簡約します。

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ステップ 2.2.5.2.1

$0$ と $0$ をたし算します。

$y = 0 + 0$

ステップ 2.2.5.2.2

$0$ と $0$ をたし算します。

$y = 0$

ステップ 2.3

点形式のy切片です。

y切片： $(0, 0)$

ステップ 3

交点を一覧にします。

x切片： $(0, 0), (4, 0)$

y切片： $(0, 0)$

ステップ 4

微分積分学準備 例

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