微分積分学準備例

$x^{4} + 4 x^{2}$

ステップ 1

$x^{4} + 4 x^{2}$ が $0$ に等しいとします。

$x^{4} + 4 x^{2} = 0$

ステップ 2

$x$ について解きます。

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ステップ 2.1

方程式の左辺を因数分解します。

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ステップ 2.1.1

$x^{4}$ を ${(x^{2})}^{2}$ に書き換えます。

${(x^{2})}^{2} + 4 x^{2} = 0$

ステップ 2.1.2

$u = x^{2}$ とします。 $u$ を $x^{2}$ に代入します。

$u^{2} + 4 u = 0$

ステップ 2.1.3

$u$ を $u^{2} + 4 u$ で因数分解します。

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ステップ 2.1.3.1

$u$ を $u^{2}$ で因数分解します。

$u \cdot u + 4 u = 0$

ステップ 2.1.3.2

$u$ を $4 u$ で因数分解します。

$u \cdot u + u \cdot 4 = 0$

ステップ 2.1.3.3

$u$ を $u \cdot u + u \cdot 4$ で因数分解します。

$u (u + 4) = 0$

ステップ 2.1.4

$u$ のすべての発生を $x^{2}$ で置き換えます。

$x^{2} (x^{2} + 4) = 0$

ステップ 2.2

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x^{2} = 0$

$x^{2} + 4 = 0$

ステップ 2.3

$x^{2}$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 2.3.1

$x^{2}$ が $0$ に等しいとします。

$x^{2} = 0$

ステップ 2.3.2

$x$ について $x^{2} = 0$ を解きます。

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ステップ 2.3.2.1

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$x = \pm \sqrt{0}$

ステップ 2.3.2.2

$\pm \sqrt{0}$ を簡約します。

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ステップ 2.3.2.2.1

$0$ を $0^{2}$ に書き換えます。

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

ステップ 2.3.2.2.2

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$x = \pm 0$

ステップ 2.3.2.2.3

プラスマイナス $0$ は $0$ です。

$x = 0$

ステップ 2.4

$x^{2} + 4$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 2.4.1

$x^{2} + 4$ が $0$ に等しいとします。

$x^{2} + 4 = 0$

ステップ 2.4.2

$x$ について $x^{2} + 4 = 0$ を解きます。

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ステップ 2.4.2.1

方程式の両辺から $4$ を引きます。

$x^{2} = - 4$

ステップ 2.4.2.2

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$x = \pm \sqrt{- 4}$

ステップ 2.4.2.3

$\pm \sqrt{- 4}$ を簡約します。

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ステップ 2.4.2.3.1

$- 4$ を $- 1 (4)$ に書き換えます。

$x = \pm \sqrt{- 1 (4)}$

ステップ 2.4.2.3.2

$\sqrt{- 1 (4)}$ を $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$ に書き換えます。

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$

ステップ 2.4.2.3.3

$\sqrt{- 1}$ を $i$ に書き換えます。

$x = \pm i \cdot \sqrt{4}$

ステップ 2.4.2.3.4

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$x = \pm i \cdot \sqrt{2^{2}}$

ステップ 2.4.2.3.5

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$x = \pm i \cdot 2$

ステップ 2.4.2.3.6

$2$ を $i$ の左に移動させます。

$x = \pm 2 i$

ステップ 2.4.2.4

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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ステップ 2.4.2.4.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$x = 2 i$

ステップ 2.4.2.4.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$x = - 2 i$

ステップ 2.4.2.4.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$x = 2 i, - 2 i$

ステップ 2.5

最終解は $x^{2} (x^{2} + 4) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 0, 2 i, - 2 i$

ステップ 3

微分積分学準備 例

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