微分積分学準備例

$16 y^{2} - x^{2} + 2 x + 64 y + 63 = 0$

ステップ 1

$y$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

二次方程式の解の公式を利用して解を求めます。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

ステップ 1.2

$a = 16$ 、 $b = 64$ 、および $c = - x^{2} + 2 x + 63$ を二次方程式の解の公式に代入し、 $y$ の値を求めます。

$\frac{- 64 \pm \sqrt{64^{2} - 4 \cdot (16 \cdot (- x^{2} + 2 x + 63))}}{2 \cdot 16}$

ステップ 1.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1.1

$64$ を $2$ 乗します。

$y = \frac{- 64 \pm \sqrt{4096 - 4 \cdot 16 \cdot (- x^{2} + 2 x + 63)}}{2 \cdot 16}$

ステップ 1.3.1.2

$- 4$ に $16$ をかけます。

$y = \frac{- 64 \pm \sqrt{4096 - 64 \cdot (- x^{2} + 2 x + 63)}}{2 \cdot 16}$

ステップ 1.3.1.3

分配則を当てはめます。

$y = \frac{- 64 \pm \sqrt{4096 - 64 (- x^{2}) - 64 (2 x) - 64 \cdot 63}}{2 \cdot 16}$

ステップ 1.3.1.4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1.4.1

$- 1$ に $- 64$ をかけます。

$y = \frac{- 64 \pm \sqrt{4096 + 64 x^{2} - 64 (2 x) - 64 \cdot 63}}{2 \cdot 16}$

ステップ 1.3.1.4.2

$2$ に $- 64$ をかけます。

$y = \frac{- 64 \pm \sqrt{4096 + 64 x^{2} - 128 x - 64 \cdot 63}}{2 \cdot 16}$

ステップ 1.3.1.4.3

$- 64$ に $63$ をかけます。

$y = \frac{- 64 \pm \sqrt{4096 + 64 x^{2} - 128 x - 4032}}{2 \cdot 16}$

ステップ 1.3.1.5

$4096$ から $4032$ を引きます。

$y = \frac{- 64 \pm \sqrt{64 x^{2} - 128 x + 64}}{2 \cdot 16}$

ステップ 1.3.1.6

因数分解した形で $64 x^{2} - 128 x + 64$ を書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1.6.1

$64$ を $64 x^{2} - 128 x + 64$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1.6.1.1

$64$ を $64 x^{2}$ で因数分解します。

$y = \frac{- 64 \pm \sqrt{64 (x^{2}) - 128 x + 64}}{2 \cdot 16}$

ステップ 1.3.1.6.1.2

$64$ を $- 128 x$ で因数分解します。

$y = \frac{- 64 \pm \sqrt{64 (x^{2}) + 64 (- 2 x) + 64}}{2 \cdot 16}$

ステップ 1.3.1.6.1.3

$64$ を $64$ で因数分解します。

$y = \frac{- 64 \pm \sqrt{64 (x^{2}) + 64 (- 2 x) + 64 (1)}}{2 \cdot 16}$

ステップ 1.3.1.6.1.4

$64$ を $64 (x^{2}) + 64 (- 2 x)$ で因数分解します。

$y = \frac{- 64 \pm \sqrt{64 (x^{2} - 2 x) + 64 (1)}}{2 \cdot 16}$

ステップ 1.3.1.6.1.5

$64$ を $64 (x^{2} - 2 x) + 64 (1)$ で因数分解します。

$y = \frac{- 64 \pm \sqrt{64 (x^{2} - 2 x + 1)}}{2 \cdot 16}$

ステップ 1.3.1.6.2

完全平方式を利用して因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1.6.2.1

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$y = \frac{- 64 \pm \sqrt{64 (x^{2} - 2 x + 1^{2})}}{2 \cdot 16}$

ステップ 1.3.1.6.2.2

中間項が、第1項と第3項で2乗される数の積の2倍であることを確認します。

$2 x = 2 \cdot x \cdot 1$

ステップ 1.3.1.6.2.3

多項式を書き換えます。

$y = \frac{- 64 \pm \sqrt{64 (x^{2} - 2 \cdot x \cdot 1 + 1^{2})}}{2 \cdot 16}$

ステップ 1.3.1.6.2.4

$a = x$ と $b = 1$ ならば、完全平方3項式 $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ を利用して因数分解します。

$y = \frac{- 64 \pm \sqrt{64 {(x - 1)}^{2}}}{2 \cdot 16}$

ステップ 1.3.1.7

$64 {(x - 1)}^{2}$ を ${(8 (x - 1))}^{2}$ に書き換えます。

$y = \frac{- 64 \pm \sqrt{{(8 (x - 1))}^{2}}}{2 \cdot 16}$

ステップ 1.3.1.8

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$y = \frac{- 64 \pm 8 (x - 1)}{2 \cdot 16}$

ステップ 1.3.1.9

分配則を当てはめます。

$y = \frac{- 64 \pm (8 x + 8 \cdot - 1)}{2 \cdot 16}$

ステップ 1.3.1.10

$8$ に $- 1$ をかけます。

$y = \frac{- 64 \pm (8 x - 8)}{2 \cdot 16}$

ステップ 1.3.2

$2$ に $16$ をかけます。

$y = \frac{- 64 \pm (8 x - 8)}{32}$

ステップ 1.4

式を簡約し、 $\pm$ の $+$ 部の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1.1

$64$ を $2$ 乗します。

$y = \frac{- 64 \pm \sqrt{4096 - 4 \cdot 16 \cdot (- x^{2} + 2 x + 63)}}{2 \cdot 16}$

ステップ 1.4.1.2

$- 4$ に $16$ をかけます。

$y = \frac{- 64 \pm \sqrt{4096 - 64 \cdot (- x^{2} + 2 x + 63)}}{2 \cdot 16}$

ステップ 1.4.1.3

分配則を当てはめます。

$y = \frac{- 64 \pm \sqrt{4096 - 64 (- x^{2}) - 64 (2 x) - 64 \cdot 63}}{2 \cdot 16}$

ステップ 1.4.1.4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1.4.1

$- 1$ に $- 64$ をかけます。

$y = \frac{- 64 \pm \sqrt{4096 + 64 x^{2} - 64 (2 x) - 64 \cdot 63}}{2 \cdot 16}$

ステップ 1.4.1.4.2

$2$ に $- 64$ をかけます。

$y = \frac{- 64 \pm \sqrt{4096 + 64 x^{2} - 128 x - 64 \cdot 63}}{2 \cdot 16}$

ステップ 1.4.1.4.3

$- 64$ に $63$ をかけます。

$y = \frac{- 64 \pm \sqrt{4096 + 64 x^{2} - 128 x - 4032}}{2 \cdot 16}$

ステップ 1.4.1.5

$4096$ から $4032$ を引きます。

$y = \frac{- 64 \pm \sqrt{64 x^{2} - 128 x + 64}}{2 \cdot 16}$

ステップ 1.4.1.6

因数分解した形で $64 x^{2} - 128 x + 64$ を書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1.6.1

$64$ を $64 x^{2} - 128 x + 64$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1.6.1.1

$64$ を $64 x^{2}$ で因数分解します。

$y = \frac{- 64 \pm \sqrt{64 (x^{2}) - 128 x + 64}}{2 \cdot 16}$

ステップ 1.4.1.6.1.2

$64$ を $- 128 x$ で因数分解します。

$y = \frac{- 64 \pm \sqrt{64 (x^{2}) + 64 (- 2 x) + 64}}{2 \cdot 16}$

ステップ 1.4.1.6.1.3

$64$ を $64$ で因数分解します。

$y = \frac{- 64 \pm \sqrt{64 (x^{2}) + 64 (- 2 x) + 64 (1)}}{2 \cdot 16}$

ステップ 1.4.1.6.1.4

$64$ を $64 (x^{2}) + 64 (- 2 x)$ で因数分解します。

$y = \frac{- 64 \pm \sqrt{64 (x^{2} - 2 x) + 64 (1)}}{2 \cdot 16}$

ステップ 1.4.1.6.1.5

$64$ を $64 (x^{2} - 2 x) + 64 (1)$ で因数分解します。

$y = \frac{- 64 \pm \sqrt{64 (x^{2} - 2 x + 1)}}{2 \cdot 16}$

ステップ 1.4.1.6.2

完全平方式を利用して因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1.6.2.1

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$y = \frac{- 64 \pm \sqrt{64 (x^{2} - 2 x + 1^{2})}}{2 \cdot 16}$

ステップ 1.4.1.6.2.2

中間項が、第1項と第3項で2乗される数の積の2倍であることを確認します。

$2 x = 2 \cdot x \cdot 1$

ステップ 1.4.1.6.2.3

多項式を書き換えます。

$y = \frac{- 64 \pm \sqrt{64 (x^{2} - 2 \cdot x \cdot 1 + 1^{2})}}{2 \cdot 16}$

ステップ 1.4.1.6.2.4

$a = x$ と $b = 1$ ならば、完全平方3項式 $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ を利用して因数分解します。

$y = \frac{- 64 \pm \sqrt{64 {(x - 1)}^{2}}}{2 \cdot 16}$

ステップ 1.4.1.7

$64 {(x - 1)}^{2}$ を ${(8 (x - 1))}^{2}$ に書き換えます。

$y = \frac{- 64 \pm \sqrt{{(8 (x - 1))}^{2}}}{2 \cdot 16}$

ステップ 1.4.1.8

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$y = \frac{- 64 \pm 8 (x - 1)}{2 \cdot 16}$

ステップ 1.4.1.9

分配則を当てはめます。

$y = \frac{- 64 \pm (8 x + 8 \cdot - 1)}{2 \cdot 16}$

ステップ 1.4.1.10

$8$ に $- 1$ をかけます。

$y = \frac{- 64 \pm (8 x - 8)}{2 \cdot 16}$

ステップ 1.4.2

$2$ に $16$ をかけます。

$y = \frac{- 64 \pm (8 x - 8)}{32}$

ステップ 1.4.3

$\pm$ を $+$ に変更します。

$y = \frac{- 64 + 8 x - 8}{32}$

ステップ 1.4.4

$- 64 + 8 x - 8$ と $32$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.4.1

$8$ を $- 64$ で因数分解します。

$y = \frac{8 (- 8) + 8 x - 8}{32}$

ステップ 1.4.4.2

$8$ を $8 x$ で因数分解します。

$y = \frac{8 (- 8) + 8 (x) - 8}{32}$

ステップ 1.4.4.3

$8$ を $- 8$ で因数分解します。

$y = \frac{8 \cdot - 8 + 8 (x) + 8 \cdot - 1}{32}$

ステップ 1.4.4.4

$8$ を $8 (x) + 8 (- 1)$ で因数分解します。

$y = \frac{8 (- 8) + 8 (x - 1)}{32}$

ステップ 1.4.4.5

$8$ を $8 (- 8) + 8 (x - 1)$ で因数分解します。

$y = \frac{8 (- 8 + x - 1)}{32}$

ステップ 1.4.4.6

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.4.6.1

$8$ を $32$ で因数分解します。

$y = \frac{8 (- 8 + x - 1)}{8 \cdot 4}$

ステップ 1.4.4.6.2

共通因数を約分します。

$y = \frac{8 (- 8 + x - 1)}{8 \cdot 4}$

ステップ 1.4.4.6.3

式を書き換えます。

$y = \frac{- 8 + x - 1}{4}$

ステップ 1.4.5

$- 8$ から $1$ を引きます。

$y = \frac{x - 9}{4}$

ステップ 1.5

式を簡約し、 $\pm$ の $-$ 部の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.1.1

$64$ を $2$ 乗します。

$y = \frac{- 64 \pm \sqrt{4096 - 4 \cdot 16 \cdot (- x^{2} + 2 x + 63)}}{2 \cdot 16}$

ステップ 1.5.1.2

$- 4$ に $16$ をかけます。

$y = \frac{- 64 \pm \sqrt{4096 - 64 \cdot (- x^{2} + 2 x + 63)}}{2 \cdot 16}$

ステップ 1.5.1.3

分配則を当てはめます。

$y = \frac{- 64 \pm \sqrt{4096 - 64 (- x^{2}) - 64 (2 x) - 64 \cdot 63}}{2 \cdot 16}$

ステップ 1.5.1.4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.1.4.1

$- 1$ に $- 64$ をかけます。

$y = \frac{- 64 \pm \sqrt{4096 + 64 x^{2} - 64 (2 x) - 64 \cdot 63}}{2 \cdot 16}$

ステップ 1.5.1.4.2

$2$ に $- 64$ をかけます。

$y = \frac{- 64 \pm \sqrt{4096 + 64 x^{2} - 128 x - 64 \cdot 63}}{2 \cdot 16}$

ステップ 1.5.1.4.3

$- 64$ に $63$ をかけます。

$y = \frac{- 64 \pm \sqrt{4096 + 64 x^{2} - 128 x - 4032}}{2 \cdot 16}$

ステップ 1.5.1.5

$4096$ から $4032$ を引きます。

$y = \frac{- 64 \pm \sqrt{64 x^{2} - 128 x + 64}}{2 \cdot 16}$

ステップ 1.5.1.6

因数分解した形で $64 x^{2} - 128 x + 64$ を書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.1.6.1

$64$ を $64 x^{2} - 128 x + 64$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.1.6.1.1

$64$ を $64 x^{2}$ で因数分解します。

$y = \frac{- 64 \pm \sqrt{64 (x^{2}) - 128 x + 64}}{2 \cdot 16}$

ステップ 1.5.1.6.1.2

$64$ を $- 128 x$ で因数分解します。

$y = \frac{- 64 \pm \sqrt{64 (x^{2}) + 64 (- 2 x) + 64}}{2 \cdot 16}$

ステップ 1.5.1.6.1.3

$64$ を $64$ で因数分解します。

$y = \frac{- 64 \pm \sqrt{64 (x^{2}) + 64 (- 2 x) + 64 (1)}}{2 \cdot 16}$

ステップ 1.5.1.6.1.4

$64$ を $64 (x^{2}) + 64 (- 2 x)$ で因数分解します。

$y = \frac{- 64 \pm \sqrt{64 (x^{2} - 2 x) + 64 (1)}}{2 \cdot 16}$

ステップ 1.5.1.6.1.5

$64$ を $64 (x^{2} - 2 x) + 64 (1)$ で因数分解します。

$y = \frac{- 64 \pm \sqrt{64 (x^{2} - 2 x + 1)}}{2 \cdot 16}$

ステップ 1.5.1.6.2

完全平方式を利用して因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.1.6.2.1

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$y = \frac{- 64 \pm \sqrt{64 (x^{2} - 2 x + 1^{2})}}{2 \cdot 16}$

ステップ 1.5.1.6.2.2

中間項が、第1項と第3項で2乗される数の積の2倍であることを確認します。

$2 x = 2 \cdot x \cdot 1$

ステップ 1.5.1.6.2.3

多項式を書き換えます。

$y = \frac{- 64 \pm \sqrt{64 (x^{2} - 2 \cdot x \cdot 1 + 1^{2})}}{2 \cdot 16}$

ステップ 1.5.1.6.2.4

$a = x$ と $b = 1$ ならば、完全平方3項式 $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ を利用して因数分解します。

$y = \frac{- 64 \pm \sqrt{64 {(x - 1)}^{2}}}{2 \cdot 16}$

ステップ 1.5.1.7

$64 {(x - 1)}^{2}$ を ${(8 (x - 1))}^{2}$ に書き換えます。

$y = \frac{- 64 \pm \sqrt{{(8 (x - 1))}^{2}}}{2 \cdot 16}$

ステップ 1.5.1.8

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$y = \frac{- 64 \pm 8 (x - 1)}{2 \cdot 16}$

ステップ 1.5.1.9

分配則を当てはめます。

$y = \frac{- 64 \pm (8 x + 8 \cdot - 1)}{2 \cdot 16}$

ステップ 1.5.1.10

$8$ に $- 1$ をかけます。

$y = \frac{- 64 \pm (8 x - 8)}{2 \cdot 16}$

ステップ 1.5.2

$2$ に $16$ をかけます。

$y = \frac{- 64 \pm (8 x - 8)}{32}$

ステップ 1.5.3

$\pm$ を $-$ に変更します。

$y = \frac{- 64 - (8 x - 8)}{32}$

ステップ 1.5.4

$- 64 - (8 x - 8)$ と $32$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.4.1

$- 64$ を $- 1 (64)$ に書き換えます。

$y = \frac{- 1 \cdot 64 - (8 x - 8)}{32}$

ステップ 1.5.4.2

$- 1$ を $- 1 (64) - (8 x - 8)$ で因数分解します。

$y = \frac{- 1 (64 + 8 x - 8)}{32}$

ステップ 1.5.4.3

$8$ を $- 1 (64 + 8 x - 8)$ で因数分解します。

$y = \frac{8 (- 1 (8 + x - 1))}{32}$

ステップ 1.5.4.4

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.4.4.1

$8$ を $32$ で因数分解します。

$y = \frac{8 (- 1 (8 + x - 1))}{8 (4)}$

ステップ 1.5.4.4.2

共通因数を約分します。

$y = \frac{8 (- 1 (8 + x - 1))}{8 \cdot 4}$

ステップ 1.5.4.4.3

式を書き換えます。

$y = \frac{- 1 (8 + x - 1)}{4}$

ステップ 1.5.5

$8$ から $1$ を引きます。

$y = \frac{- 1 (x + 7)}{4}$

ステップ 1.5.6

分数の前に負数を移動させます。

$y = - \frac{x + 7}{4}$

ステップ 1.6

最終的な答えは両方の解の組み合わせです。

$y = \frac{x - 9}{4}$

$y = - \frac{x + 7}{4}$

$y = \frac{x - 9}{4}$

$y = - \frac{x + 7}{4}$

ステップ 2

多項式を標準形で書くために、簡約し、項を降順に並べます。

$y = a x^{2} + b x + c$

ステップ 3

分数 $\frac{x - 9}{4}$ を2つの分数に分割します。

$y = \frac{x}{4} + \frac{- 9}{4}$

$y = - \frac{x + 7}{4}$

ステップ 4

分数の前に負数を移動させます。

$y = \frac{x}{4} - \frac{9}{4}$

$y = - \frac{x + 7}{4}$

ステップ 5

分数 $\frac{x + 7}{4}$ を2つの分数に分割します。

$y = \frac{x}{4} - \frac{9}{4}$

$y = - (\frac{x}{4} + \frac{7}{4})$

ステップ 6

分配則を当てはめます。

$y = \frac{x}{4} - \frac{9}{4}$

$y = - \frac{x}{4} - \frac{7}{4}$

ステップ 7

項を並べ替えます。

$y = \frac{1}{4} x - \frac{9}{4}$

$y = - (\frac{1}{4} x) - \frac{7}{4}$

ステップ 8

括弧を削除します。

$y = \frac{1}{4} x - \frac{9}{4}$

$y = - \frac{1}{4} x - \frac{7}{4}$

ステップ 9

微分積分学準備 例

微分積分学準備例