微分積分学準備例

$- 9 x^{2} + 4 y^{2} - 36 x - 16 y - 164 = 0$

ステップ 1

方程式の両辺に $164$ を足します。

$- 9 x^{2} + 4 y^{2} - 36 x - 16 y = 164$

ステップ 2

$- 9 x^{2} - 36 x$ の平方完成。

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ステップ 2.1

式 $a x^{2} + b x + c$ を利用して、 $a$ 、 $b$ 、 $c$ の値を求めます。

$a = - 9$

$b = - 36$

$c = 0$

ステップ 2.2

放物線の標準形を考えます。

$a {(x + d)}^{2} + e$

ステップ 2.3

公式 $d = \frac{b}{2 a}$ を利用して $d$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

$a$ と $b$ の値を公式 $d = \frac{b}{2 a}$ に代入します。

$d = \frac{- 36}{2 \cdot - 9}$

ステップ 2.3.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.2.1

$- 36$ と $2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.2.1.1

$2$ を $- 36$ で因数分解します。

$d = \frac{2 \cdot - 18}{2 \cdot - 9}$

ステップ 2.3.2.1.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.2.1.2.1

$2$ を $2 \cdot - 9$ で因数分解します。

$d = \frac{2 \cdot - 18}{2 (- 9)}$

ステップ 2.3.2.1.2.2

共通因数を約分します。

$d = \frac{2 \cdot - 18}{2 \cdot - 9}$

ステップ 2.3.2.1.2.3

式を書き換えます。

$d = \frac{- 18}{- 9}$

ステップ 2.3.2.2

$- 18$ と $- 9$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.2.2.1

$- 9$ を $- 18$ で因数分解します。

$d = \frac{- 9 (2)}{- 9}$

ステップ 2.3.2.2.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.2.2.2.1

$- 9$ を $- 9$ で因数分解します。

$d = \frac{- 9 \cdot 2}{- 9 \cdot 1}$

ステップ 2.3.2.2.2.2

共通因数を約分します。

$d = \frac{- 9 \cdot 2}{- 9 \cdot 1}$

ステップ 2.3.2.2.2.3

式を書き換えます。

$d = \frac{2}{1}$

ステップ 2.3.2.2.2.4

$2$ を $1$ で割ります。

$d = 2$

ステップ 2.4

公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ を利用して $e$ の値を求めます。

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ステップ 2.4.1

$c$ 、 $b$ 、および $a$ の値を公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ に代入します。

$e = 0 - \frac{{(- 36)}^{2}}{4 \cdot - 9}$

ステップ 2.4.2

右辺を簡約します。

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ステップ 2.4.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 2.4.2.1.1

$- 36$ を $2$ 乗します。

$e = 0 - \frac{1296}{4 \cdot - 9}$

ステップ 2.4.2.1.2

$4$ に $- 9$ をかけます。

$e = 0 - \frac{1296}{- 36}$

ステップ 2.4.2.1.3

$1296$ を $- 36$ で割ります。

$e = 0 - - 36$

ステップ 2.4.2.1.4

$- 1$ に $- 36$ をかけます。

$e = 0 + 36$

ステップ 2.4.2.2

$0$ と $36$ をたし算します。

$e = 36$

ステップ 2.5

$a$ 、 $d$ 、および $e$ の値を頂点形 $- 9 {(x + 2)}^{2} + 36$ に代入します。

$- 9 {(x + 2)}^{2} + 36$

ステップ 3

$- 9 {(x + 2)}^{2} + 36$ を方程式 $- 9 x^{2} + 4 y^{2} - 36 x - 16 y = 164$ の中の $- 9 x^{2} - 36 x$ に代入します。

$- 9 {(x + 2)}^{2} + 36 + 4 y^{2} - 16 y = 164$

ステップ 4

両辺に $36$ を加えて、 $36$ を方程式の右辺に移動させます。

$- 9 {(x + 2)}^{2} + 4 y^{2} - 16 y = 164 - 36$

ステップ 5

$4 y^{2} - 16 y$ の平方完成。

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ステップ 5.1

式 $a x^{2} + b x + c$ を利用して、 $a$ 、 $b$ 、 $c$ の値を求めます。

$a = 4$

$b = - 16$

$c = 0$

ステップ 5.2

放物線の標準形を考えます。

$a {(x + d)}^{2} + e$

ステップ 5.3

公式 $d = \frac{b}{2 a}$ を利用して $d$ の値を求めます。

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ステップ 5.3.1

$a$ と $b$ の値を公式 $d = \frac{b}{2 a}$ に代入します。

$d = \frac{- 16}{2 \cdot 4}$

ステップ 5.3.2

右辺を簡約します。

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ステップ 5.3.2.1

$- 16$ と $2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.2.1.1

$2$ を $- 16$ で因数分解します。

$d = \frac{2 \cdot - 8}{2 \cdot 4}$

ステップ 5.3.2.1.2

共通因数を約分します。

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ステップ 5.3.2.1.2.1

$2$ を $2 \cdot 4$ で因数分解します。

$d = \frac{2 \cdot - 8}{2 (4)}$

ステップ 5.3.2.1.2.2

共通因数を約分します。

$d = \frac{2 \cdot - 8}{2 \cdot 4}$

ステップ 5.3.2.1.2.3

式を書き換えます。

$d = \frac{- 8}{4}$

ステップ 5.3.2.2

$- 8$ と $4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.3.2.2.1

$4$ を $- 8$ で因数分解します。

$d = \frac{4 \cdot - 2}{4}$

ステップ 5.3.2.2.2

共通因数を約分します。

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ステップ 5.3.2.2.2.1

$4$ を $4$ で因数分解します。

$d = \frac{4 \cdot - 2}{4 (1)}$

ステップ 5.3.2.2.2.2

共通因数を約分します。

$d = \frac{4 \cdot - 2}{4 \cdot 1}$

ステップ 5.3.2.2.2.3

式を書き換えます。

$d = \frac{- 2}{1}$

ステップ 5.3.2.2.2.4

$- 2$ を $1$ で割ります。

$d = - 2$

ステップ 5.4

公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ を利用して $e$ の値を求めます。

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ステップ 5.4.1

$c$ 、 $b$ 、および $a$ の値を公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ に代入します。

$e = 0 - \frac{{(- 16)}^{2}}{4 \cdot 4}$

ステップ 5.4.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.2.1.1

$- 16$ を $2$ 乗します。

$e = 0 - \frac{256}{4 \cdot 4}$

ステップ 5.4.2.1.2

$4$ に $4$ をかけます。

$e = 0 - \frac{256}{16}$

ステップ 5.4.2.1.3

$256$ を $16$ で割ります。

$e = 0 - 1 \cdot 16$

ステップ 5.4.2.1.4

$- 1$ に $16$ をかけます。

$e = 0 - 16$

ステップ 5.4.2.2

$0$ から $16$ を引きます。

$e = - 16$

ステップ 5.5

$a$ 、 $d$ 、および $e$ の値を頂点形 $4 {(y - 2)}^{2} - 16$ に代入します。

$4 {(y - 2)}^{2} - 16$

ステップ 6

$4 {(y - 2)}^{2} - 16$ を方程式 $- 9 x^{2} + 4 y^{2} - 36 x - 16 y = 164$ の中の $4 y^{2} - 16 y$ に代入します。

$- 9 {(x + 2)}^{2} + 4 {(y - 2)}^{2} - 16 = 164 - 36$

ステップ 7

両辺に $16$ を加えて、 $- 16$ を方程式の右辺に移動させます。

$- 9 {(x + 2)}^{2} + 4 {(y - 2)}^{2} = 164 - 36 + 16$

ステップ 8

$164 - 36 + 16$ を簡約します。

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ステップ 8.1

$164$ から $36$ を引きます。

$- 9 {(x + 2)}^{2} + 4 {(y - 2)}^{2} = 128 + 16$

ステップ 8.2

$128$ と $16$ をたし算します。

$- 9 {(x + 2)}^{2} + 4 {(y - 2)}^{2} = 144$

ステップ 9

各項を $144$ で割り、右辺を1と等しくします。

$- \frac{9 {(x + 2)}^{2}}{144} + \frac{4 {(y - 2)}^{2}}{144} = \frac{144}{144}$

ステップ 10

方程式の各項を簡約し、右辺を $1$ に等しくします。楕円または双曲線の標準形は、方程式の右辺が $1$ に等しいことが必要です。

$\frac{{(y - 2)}^{2}}{36} - \frac{{(x + 2)}^{2}}{16} = 1$

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