微分積分学準備例

$\frac{48 - 8 x}{x^{3} - 8 x^{2} + 16 x}$

ステップ 1

分数を分解し、公分母を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

分数を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

$8$ を $48 - 8 x$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.1

$8$ を $48$ で因数分解します。

$\frac{8 (6) - 8 x}{x^{3} - 8 x^{2} + 16 x}$

ステップ 1.1.1.2

$8$ を $- 8 x$ で因数分解します。

$\frac{8 (6) + 8 (- x)}{x^{3} - 8 x^{2} + 16 x}$

ステップ 1.1.1.3

$8$ を $8 (6) + 8 (- x)$ で因数分解します。

$\frac{8 (6 - x)}{x^{3} - 8 x^{2} + 16 x}$

ステップ 1.1.2

$x$ を $x^{3} - 8 x^{2} + 16 x$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.1

$x$ を $x^{3}$ で因数分解します。

$\frac{8 (6 - x)}{x \cdot x^{2} - 8 x^{2} + 16 x}$

ステップ 1.1.2.2

$x$ を $- 8 x^{2}$ で因数分解します。

$\frac{8 (6 - x)}{x \cdot x^{2} + x (- 8 x) + 16 x}$

ステップ 1.1.2.3

$x$ を $16 x$ で因数分解します。

$\frac{8 (6 - x)}{x \cdot x^{2} + x (- 8 x) + x \cdot 16}$

ステップ 1.1.2.4

$x$ を $x \cdot x^{2} + x (- 8 x)$ で因数分解します。

$\frac{8 (6 - x)}{x (x^{2} - 8 x) + x \cdot 16}$

ステップ 1.1.2.5

$x$ を $x (x^{2} - 8 x) + x \cdot 16$ で因数分解します。

$\frac{8 (6 - x)}{x (x^{2} - 8 x + 16)}$

ステップ 1.1.3

完全平方式を利用して因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.1

$16$ を $4^{2}$ に書き換えます。

$\frac{8 (6 - x)}{x (x^{2} - 8 x + 4^{2})}$

ステップ 1.1.3.2

中間項が、第1項と第3項で2乗される数の積の2倍であることを確認します。

$8 x = 2 \cdot x \cdot 4$

ステップ 1.1.3.3

多項式を書き換えます。

$\frac{8 (6 - x)}{x (x^{2} - 2 \cdot x \cdot 4 + 4^{2})}$

ステップ 1.1.3.4

$a = x$ と $b = 4$ ならば、完全平方3項式 $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ を利用して因数分解します。

$\frac{8 (6 - x)}{x {(x - 4)}^{2}}$

ステップ 1.2

分母の各因数に対して、その因数を分母として、未知の値を分子として利用し、新たな分数を作成します。分母の因数は線形なので、その場所 $B$ には1個の変数を置きます。

$\frac{A}{x} + \frac{B}{{(x - 4)}^{2}}$

ステップ 1.3

分母の各因数に対して、その因数を分母として、未知の値を分子として利用し、新たな分数を作成します。分母の因数は線形なので、その場所 $C$ には1個の変数を置きます。

$\frac{A}{x} + \frac{B}{{(x - 4)}^{2}} + \frac{C}{x - 4}$

ステップ 1.4

方程式の各分数に元の式の分母を掛けます。この場合、分母は $x {(x - 4)}^{2}$ です。

$\frac{8 (6 - x) (x {(x - 4)}^{2})}{x {(x - 4)}^{2}} = \frac{A (x {(x - 4)}^{2})}{x} + \frac{(B) (x {(x - 4)}^{2})}{{(x - 4)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x - 4)}^{2})}{x - 4}$

ステップ 1.5

$x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.1

共通因数を約分します。

$\frac{8 (6 - x) (x {(x - 4)}^{2})}{x {(x - 4)}^{2}} = \frac{A (x {(x - 4)}^{2})}{x} + \frac{(B) (x {(x - 4)}^{2})}{{(x - 4)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x - 4)}^{2})}{x - 4}$

ステップ 1.5.2

式を書き換えます。

$\frac{8 (6 - x) ({(x - 4)}^{2})}{{(x - 4)}^{2}} = \frac{A (x {(x - 4)}^{2})}{x} + \frac{(B) (x {(x - 4)}^{2})}{{(x - 4)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x - 4)}^{2})}{x - 4}$

ステップ 1.6

${(x - 4)}^{2}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.6.1

共通因数を約分します。

$\frac{8 (6 - x) {(x - 4)}^{2}}{{(x - 4)}^{2}} = \frac{A (x {(x - 4)}^{2})}{x} + \frac{(B) (x {(x - 4)}^{2})}{{(x - 4)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x - 4)}^{2})}{x - 4}$

ステップ 1.6.2

$8 (6 - x)$ を $1$ で割ります。

$8 (6 - x) = \frac{A (x {(x - 4)}^{2})}{x} + \frac{(B) (x {(x - 4)}^{2})}{{(x - 4)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x - 4)}^{2})}{x - 4}$

ステップ 1.7

分配則を当てはめます。

$8 \cdot 6 + 8 (- x) = \frac{A (x {(x - 4)}^{2})}{x} + \frac{(B) (x {(x - 4)}^{2})}{{(x - 4)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x - 4)}^{2})}{x - 4}$

ステップ 1.8

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.8.1

$8$ に $6$ をかけます。

$48 + 8 (- x) = \frac{A (x {(x - 4)}^{2})}{x} + \frac{(B) (x {(x - 4)}^{2})}{{(x - 4)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x - 4)}^{2})}{x - 4}$

ステップ 1.8.2

$- 1$ に $8$ をかけます。

$48 - 8 x = \frac{A (x {(x - 4)}^{2})}{x} + \frac{(B) (x {(x - 4)}^{2})}{{(x - 4)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x - 4)}^{2})}{x - 4}$

ステップ 1.8.3

$48$ と $- 8 x$ を並べ替えます。

$- 8 x + 48 = \frac{A (x {(x - 4)}^{2})}{x} + \frac{(B) (x {(x - 4)}^{2})}{{(x - 4)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x - 4)}^{2})}{x - 4}$

ステップ 1.9

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.9.1

$x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.9.1.1

共通因数を約分します。

$- 8 x + 48 = \frac{A (x {(x - 4)}^{2})}{x} + \frac{(B) (x {(x - 4)}^{2})}{{(x - 4)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x - 4)}^{2})}{x - 4}$

ステップ 1.9.1.2

$A ({(x - 4)}^{2})$ を $1$ で割ります。

$- 8 x + 48 = A ({(x - 4)}^{2}) + \frac{(B) (x {(x - 4)}^{2})}{{(x - 4)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x - 4)}^{2})}{x - 4}$

ステップ 1.9.2

${(x - 4)}^{2}$ を $(x - 4) (x - 4)$ に書き換えます。

$- 8 x + 48 = A ((x - 4) (x - 4)) + \frac{(B) (x {(x - 4)}^{2})}{{(x - 4)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x - 4)}^{2})}{x - 4}$

ステップ 1.9.3

分配法則（FOIL法）を使って $(x - 4) (x - 4)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.9.3.1

分配則を当てはめます。

$- 8 x + 48 = A (x (x - 4) - 4 (x - 4)) + \frac{(B) (x {(x - 4)}^{2})}{{(x - 4)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x - 4)}^{2})}{x - 4}$

ステップ 1.9.3.2

分配則を当てはめます。

$- 8 x + 48 = A (x \cdot x + x \cdot - 4 - 4 (x - 4)) + \frac{(B) (x {(x - 4)}^{2})}{{(x - 4)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x - 4)}^{2})}{x - 4}$

ステップ 1.9.3.3

分配則を当てはめます。

$- 8 x + 48 = A (x \cdot x + x \cdot - 4 - 4 x - 4 \cdot - 4) + \frac{(B) (x {(x - 4)}^{2})}{{(x - 4)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x - 4)}^{2})}{x - 4}$

ステップ 1.9.4

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.9.4.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.9.4.1.1

$x$ に $x$ をかけます。

$- 8 x + 48 = A (x^{2} + x \cdot - 4 - 4 x - 4 \cdot - 4) + \frac{(B) (x {(x - 4)}^{2})}{{(x - 4)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x - 4)}^{2})}{x - 4}$

ステップ 1.9.4.1.2

$- 4$ を $x$ の左に移動させます。

$- 8 x + 48 = A (x^{2} - 4 \cdot x - 4 x - 4 \cdot - 4) + \frac{(B) (x {(x - 4)}^{2})}{{(x - 4)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x - 4)}^{2})}{x - 4}$

ステップ 1.9.4.1.3

$- 4$ に $- 4$ をかけます。

$- 8 x + 48 = A (x^{2} - 4 x - 4 x + 16) + \frac{(B) (x {(x - 4)}^{2})}{{(x - 4)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x - 4)}^{2})}{x - 4}$

ステップ 1.9.4.2

$- 4 x$ から $4 x$ を引きます。

$- 8 x + 48 = A (x^{2} - 8 x + 16) + \frac{(B) (x {(x - 4)}^{2})}{{(x - 4)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x - 4)}^{2})}{x - 4}$

ステップ 1.9.5

分配則を当てはめます。

$- 8 x + 48 = A x^{2} + A (- 8 x) + A \cdot 16 + \frac{(B) (x {(x - 4)}^{2})}{{(x - 4)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x - 4)}^{2})}{x - 4}$

ステップ 1.9.6

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.9.6.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$- 8 x + 48 = A x^{2} - 8 A x + A \cdot 16 + \frac{(B) (x {(x - 4)}^{2})}{{(x - 4)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x - 4)}^{2})}{x - 4}$

ステップ 1.9.6.2

$16$ を $A$ の左に移動させます。

$- 8 x + 48 = A x^{2} - 8 A x + 16 \cdot A + \frac{(B) (x {(x - 4)}^{2})}{{(x - 4)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x - 4)}^{2})}{x - 4}$

ステップ 1.9.7

${(x - 4)}^{2}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.9.7.1

共通因数を約分します。

$- 8 x + 48 = A x^{2} - 8 A x + 16 A + \frac{B (x {(x - 4)}^{2})}{{(x - 4)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x - 4)}^{2})}{x - 4}$

ステップ 1.9.7.2

$(B) (x)$ を $1$ で割ります。

$- 8 x + 48 = A x^{2} - 8 A x + 16 A + (B) (x) + \frac{(C) (x {(x - 4)}^{2})}{x - 4}$

ステップ 1.9.8

${(x - 4)}^{2}$ と $x - 4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.9.8.1

$x - 4$ を $(C) (x {(x - 4)}^{2})$ で因数分解します。

$- 8 x + 48 = A x^{2} - 8 A x + 16 A + B x + \frac{(x - 4) (C (x (x - 4)))}{x - 4}$

ステップ 1.9.8.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.9.8.2.1

$1$ を掛けます。

$- 8 x + 48 = A x^{2} - 8 A x + 16 A + B x + \frac{(x - 4) (C (x (x - 4)))}{(x - 4) \cdot 1}$

ステップ 1.9.8.2.2

共通因数を約分します。

$- 8 x + 48 = A x^{2} - 8 A x + 16 A + B x + \frac{(x - 4) (C (x (x - 4)))}{(x - 4) \cdot 1}$

ステップ 1.9.8.2.3

式を書き換えます。

$- 8 x + 48 = A x^{2} - 8 A x + 16 A + B x + \frac{C (x (x - 4))}{1}$

ステップ 1.9.8.2.4

$C (x (x - 4))$ を $1$ で割ります。

$- 8 x + 48 = A x^{2} - 8 A x + 16 A + B x + C (x (x - 4))$

ステップ 1.9.9

分配則を当てはめます。

$- 8 x + 48 = A x^{2} - 8 A x + 16 A + B x + C (x \cdot x + x \cdot - 4)$

ステップ 1.9.10

$x$ に $x$ をかけます。

$- 8 x + 48 = A x^{2} - 8 A x + 16 A + B x + C (x^{2} + x \cdot - 4)$

ステップ 1.9.11

$- 4$ を $x$ の左に移動させます。

$- 8 x + 48 = A x^{2} - 8 A x + 16 A + B x + C (x^{2} - 4 \cdot x)$

ステップ 1.9.12

分配則を当てはめます。

$- 8 x + 48 = A x^{2} - 8 A x + 16 A + B x + C x^{2} + C (- 4 x)$

ステップ 1.9.13

積の可換性を利用して書き換えます。

$- 8 x + 48 = A x^{2} - 8 A x + 16 A + B x + C x^{2} - 4 C x$

ステップ 1.10

式を簡約します。

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ステップ 1.10.1

$A$ を移動させます。

$- 8 x + 48 = A x^{2} - 8 x A + 16 A + B x + C x^{2} - 4 C x$

ステップ 1.10.2

$B$ と $x$ を並べ替えます。

$- 8 x + 48 = A x^{2} - 8 x A + 16 A + B x + C x^{2} - 4 C x$

ステップ 1.10.3

$16 A$ を移動させます。

$- 8 x + 48 = A x^{2} - 8 x A + B x + C x^{2} - 4 C x + 16 A$

ステップ 1.10.4

$B x$ を移動させます。

$- 8 x + 48 = A x^{2} - 8 x A + C x^{2} + B x - 4 C x + 16 A$

ステップ 1.10.5

$- 8 x A$ を移動させます。

$- 8 x + 48 = A x^{2} + C x^{2} - 8 x A + B x - 4 C x + 16 A$

ステップ 2

部分分数の変数について方程式を作成し、それらを使って連立方程式を立てます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

式の両辺から $x^{2}$ の係数を等しくし、部分分数の変数の方程式を作成します。方程式を等しくするために、方程式の両辺の等価係数は等しくなければなりません。

$0 = A + C$

ステップ 2.2

式の両辺から $x$ の係数を等しくし、部分分数の変数の方程式を作成します。方程式を等しくするために、方程式の両辺の等価係数は等しくなければなりません。

$- 8 = - 8 A + B - 4 C$

ステップ 2.3

式の両辺から $x$ を含まない項の係数を等しくし、部分分数の変数の方程式を作成します。方程式を等しくするために、方程式の両辺の等価係数は等しくなければなりません。

$48 = 16 A$

ステップ 2.4

連立方程式を立て、部分分数の係数を求めます。

$0 = A + C$

$- 8 = - 8 A + B - 4 C$

$48 = 16 A$

$0 = A + C$

$- 8 = - 8 A + B - 4 C$

$48 = 16 A$

ステップ 3

連立方程式を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$48 = 16 A$ の $A$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.1

方程式を $16 A = 48$ として書き換えます。

$16 A = 48$

$0 = A + C$

$- 8 = - 8 A + B - 4 C$

ステップ 3.1.2

$16 A = 48$ の各項を $16$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.2.1

$16 A = 48$ の各項を $16$ で割ります。

$\frac{16 A}{16} = \frac{48}{16}$

$0 = A + C$

$- 8 = - 8 A + B - 4 C$

ステップ 3.1.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.2.2.1

$16$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{16 A}{16} = \frac{48}{16}$

$0 = A + C$

$- 8 = - 8 A + B - 4 C$

ステップ 3.1.2.2.1.2

$A$ を $1$ で割ります。

$A = \frac{48}{16}$

$0 = A + C$

$- 8 = - 8 A + B - 4 C$

$A = \frac{48}{16}$

$0 = A + C$

$- 8 = - 8 A + B - 4 C$

$A = \frac{48}{16}$

$0 = A + C$

$- 8 = - 8 A + B - 4 C$

ステップ 3.1.2.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.2.3.1

$48$ を $16$ で割ります。

$A = 3$

$0 = A + C$

$- 8 = - 8 A + B - 4 C$

$A = 3$

$0 = A + C$

$- 8 = - 8 A + B - 4 C$

$A = 3$

$0 = A + C$

$- 8 = - 8 A + B - 4 C$

$A = 3$

$0 = A + C$

$- 8 = - 8 A + B - 4 C$

ステップ 3.2

各方程式の $A$ のすべての発生を $3$ で置き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

$0 = A + C$ の $A$ のすべての発生を $3$ で置き換えます。

$0 = (3) + C$

$A = 3$

$- 8 = - 8 A + B - 4 C$

ステップ 3.2.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.1

括弧を削除します。

$0 = 3 + C$

$A = 3$

$- 8 = - 8 A + B - 4 C$

$0 = 3 + C$

$A = 3$

$- 8 = - 8 A + B - 4 C$

ステップ 3.2.3

$- 8 = - 8 A + B - 4 C$ の $A$ のすべての発生を $3$ で置き換えます。

$- 8 = - 8 \cdot 3 + B - 4 C$

$0 = 3 + C$

$A = 3$

ステップ 3.2.4

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.4.1

$- 8$ に $3$ をかけます。

$- 8 = - 24 + B - 4 C$

$0 = 3 + C$

$A = 3$

$- 8 = - 24 + B - 4 C$

$0 = 3 + C$

$A = 3$

$- 8 = - 24 + B - 4 C$

$0 = 3 + C$

$A = 3$

ステップ 3.3

$0 = 3 + C$ の $C$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1

方程式を $3 + C = 0$ として書き換えます。

$3 + C = 0$

$- 8 = - 24 + B - 4 C$

$A = 3$

ステップ 3.3.2

方程式の両辺から $3$ を引きます。

$C = - 3$

$- 8 = - 24 + B - 4 C$

$A = 3$

$C = - 3$

$- 8 = - 24 + B - 4 C$

$A = 3$

ステップ 3.4

各方程式の $C$ のすべての発生を $- 3$ で置き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.1

$- 8 = - 24 + B - 4 C$ の $C$ のすべての発生を $- 3$ で置き換えます。

$- 8 = - 24 + B - 4 \cdot - 3$

$C = - 3$

$A = 3$

ステップ 3.4.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.2.1

$- 24 + B - 4 \cdot - 3$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.2.1.1

$- 4$ に $- 3$ をかけます。

$- 8 = - 24 + B + 12$

$C = - 3$

$A = 3$

ステップ 3.4.2.1.2

$- 24$ と $12$ をたし算します。

$- 8 = B - 12$

$C = - 3$

$A = 3$

$- 8 = B - 12$

$C = - 3$

$A = 3$

$- 8 = B - 12$

$C = - 3$

$A = 3$

$- 8 = B - 12$

$C = - 3$

$A = 3$

ステップ 3.5

$- 8 = B - 12$ の $B$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.1

方程式を $B - 12 = - 8$ として書き換えます。

$B - 12 = - 8$

$C = - 3$

$A = 3$

ステップ 3.5.2

$B$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.2.1

方程式の両辺に $12$ を足します。

$B = - 8 + 12$

$C = - 3$

$A = 3$

ステップ 3.5.2.2

$- 8$ と $12$ をたし算します。

$B = 4$

$C = - 3$

$A = 3$

$B = 4$

$C = - 3$

$A = 3$

$B = 4$

$C = - 3$

$A = 3$

ステップ 3.6

連立方程式を解きます。

$B = 4 C = - 3 A = 3$

ステップ 3.7

すべての解をまとめます。

$B = 4, C = - 3, A = 3$

ステップ 4

$\frac{A}{x} + \frac{B}{{(x - 4)}^{2}} + \frac{C}{x - 4}$ の各部分分数の係数を $A$ 、 $B$ 、および $C$ で求めた値で置き換えます。

$\frac{3}{x} + \frac{4}{{(x - 4)}^{2}} + \frac{- 3}{x - 4}$

微分積分学準備 例

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