微分積分学準備例

$\frac{x}{(x + 2) (x + 4)}$

ステップ 1

分数を分解し、公分母を掛けます。

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ステップ 1.1

分母の各因数に対して、その因数を分母として、未知の値を分子として利用し、新たな分数を作成します。分母の因数は線形なので、その場所 $A$ には1個の変数を置きます。

$\frac{A}{x + 2}$

ステップ 1.2

分母の各因数に対して、その因数を分母として、未知の値を分子として利用し、新たな分数を作成します。分母の因数は線形なので、その場所 $B$ には1個の変数を置きます。

$\frac{A}{x + 2} + \frac{B}{x + 4}$

ステップ 1.3

方程式の各分数に元の式の分母を掛けます。この場合、分母は $(x + 2) (x + 4)$ です。

$\frac{x (x + 2) (x + 4)}{(x + 2) (x + 4)} = \frac{(A) (x + 2) (x + 4)}{x + 2} + \frac{(B) (x + 2) (x + 4)}{x + 4}$

ステップ 1.4

$x + 2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{x (x + 2) (x + 4)}{(x + 2) (x + 4)} = \frac{(A) (x + 2) (x + 4)}{x + 2} + \frac{(B) (x + 2) (x + 4)}{x + 4}$

ステップ 1.4.2

式を書き換えます。

$\frac{x (x + 4)}{x + 4} = \frac{(A) (x + 2) (x + 4)}{x + 2} + \frac{(B) (x + 2) (x + 4)}{x + 4}$

ステップ 1.5

$x + 4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.5.1

共通因数を約分します。

$\frac{x (x + 4)}{x + 4} = \frac{(A) (x + 2) (x + 4)}{x + 2} + \frac{(B) (x + 2) (x + 4)}{x + 4}$

ステップ 1.5.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{(A) (x + 2) (x + 4)}{x + 2} + \frac{(B) (x + 2) (x + 4)}{x + 4}$

ステップ 1.6

各項を簡約します。

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ステップ 1.6.1

$x + 2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.6.1.1

共通因数を約分します。

$x = \frac{A (x + 2) (x + 4)}{x + 2} + \frac{(B) (x + 2) (x + 4)}{x + 4}$

ステップ 1.6.1.2

$(A) (x + 4)$ を $1$ で割ります。

$x = (A) (x + 4) + \frac{(B) (x + 2) (x + 4)}{x + 4}$

ステップ 1.6.2

分配則を当てはめます。

$x = A x + A \cdot 4 + \frac{(B) (x + 2) (x + 4)}{x + 4}$

ステップ 1.6.3

$4$ を $A$ の左に移動させます。

$x = A x + 4 \cdot A + \frac{(B) (x + 2) (x + 4)}{x + 4}$

ステップ 1.6.4

$x + 4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.6.4.1

共通因数を約分します。

$x = A x + 4 A + \frac{(B) (x + 2) (x + 4)}{x + 4}$

ステップ 1.6.4.2

$(B) (x + 2)$ を $1$ で割ります。

$x = A x + 4 A + (B) (x + 2)$

ステップ 1.6.5

分配則を当てはめます。

$x = A x + 4 A + B x + B \cdot 2$

ステップ 1.6.6

$2$ を $B$ の左に移動させます。

$x = A x + 4 A + B x + 2 B$

ステップ 1.7

$4 A$ を移動させます。

$x = A x + B x + 4 A + 2 B$

ステップ 2

部分分数の変数について方程式を作成し、それらを使って連立方程式を立てます。

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ステップ 2.1

式の両辺から $x$ の係数を等しくし、部分分数の変数の方程式を作成します。方程式を等しくするために、方程式の両辺の等価係数は等しくなければなりません。

$1 = A + B$

ステップ 2.2

式の両辺から $x$ を含まない項の係数を等しくし、部分分数の変数の方程式を作成します。方程式を等しくするために、方程式の両辺の等価係数は等しくなければなりません。

$0 = 4 A + 2 B$

ステップ 2.3

連立方程式を立て、部分分数の係数を求めます。

$1 = A + B$

$0 = 4 A + 2 B$

$1 = A + B$

$0 = 4 A + 2 B$

ステップ 3

連立方程式を解きます。

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ステップ 3.1

$1 = A + B$ の $A$ について解きます。

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ステップ 3.1.1

方程式を $A + B = 1$ として書き換えます。

$A + B = 1$

$0 = 4 A + 2 B$

ステップ 3.1.2

方程式の両辺から $B$ を引きます。

$A = 1 - B$

$0 = 4 A + 2 B$

$A = 1 - B$

$0 = 4 A + 2 B$

ステップ 3.2

各方程式の $A$ のすべての発生を $1 - B$ で置き換えます。

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ステップ 3.2.1

$0 = 4 A + 2 B$ の $A$ のすべての発生を $1 - B$ で置き換えます。

$0 = 4 (1 - B) + 2 B$

$A = 1 - B$

ステップ 3.2.2

右辺を簡約します。

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ステップ 3.2.2.1

$4 (1 - B) + 2 B$ を簡約します。

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ステップ 3.2.2.1.1

各項を簡約します。

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ステップ 3.2.2.1.1.1

分配則を当てはめます。

$0 = 4 \cdot 1 + 4 (- B) + 2 B$

$A = 1 - B$

ステップ 3.2.2.1.1.2

$4$ に $1$ をかけます。

$0 = 4 + 4 (- B) + 2 B$

$A = 1 - B$

ステップ 3.2.2.1.1.3

$- 1$ に $4$ をかけます。

$0 = 4 - 4 B + 2 B$

$A = 1 - B$

$0 = 4 - 4 B + 2 B$

$A = 1 - B$

ステップ 3.2.2.1.2

$- 4 B$ と $2 B$ をたし算します。

$0 = 4 - 2 B$

$A = 1 - B$

$0 = 4 - 2 B$

$A = 1 - B$

$0 = 4 - 2 B$

$A = 1 - B$

$0 = 4 - 2 B$

$A = 1 - B$

ステップ 3.3

$0 = 4 - 2 B$ の $B$ について解きます。

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ステップ 3.3.1

方程式を $4 - 2 B = 0$ として書き換えます。

$4 - 2 B = 0$

$A = 1 - B$

ステップ 3.3.2

方程式の両辺から $4$ を引きます。

$- 2 B = - 4$

$A = 1 - B$

ステップ 3.3.3

$- 2 B = - 4$ の各項を $- 2$ で割り、簡約します。

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ステップ 3.3.3.1

$- 2 B = - 4$ の各項を $- 2$ で割ります。

$\frac{- 2 B}{- 2} = \frac{- 4}{- 2}$

$A = 1 - B$

ステップ 3.3.3.2

左辺を簡約します。

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ステップ 3.3.3.2.1

$- 2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.3.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{- 2 B}{- 2} = \frac{- 4}{- 2}$

$A = 1 - B$

ステップ 3.3.3.2.1.2

$B$ を $1$ で割ります。

$B = \frac{- 4}{- 2}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{- 4}{- 2}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{- 4}{- 2}$

$A = 1 - B$

ステップ 3.3.3.3

右辺を簡約します。

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ステップ 3.3.3.3.1

$- 4$ を $- 2$ で割ります。

$B = 2$

$A = 1 - B$

$B = 2$

$A = 1 - B$

$B = 2$

$A = 1 - B$

$B = 2$

$A = 1 - B$

ステップ 3.4

各方程式の $B$ のすべての発生を $2$ で置き換えます。

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ステップ 3.4.1

$A = 1 - B$ の $B$ のすべての発生を $2$ で置き換えます。

$A = 1 - (2)$

$B = 2$

ステップ 3.4.2

右辺を簡約します。

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ステップ 3.4.2.1

$1 - (2)$ を簡約します。

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ステップ 3.4.2.1.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$A = 1 - 2$

$B = 2$

ステップ 3.4.2.1.2

$1$ から $2$ を引きます。

$A = - 1$

$B = 2$

$A = - 1$

$B = 2$

$A = - 1$

$B = 2$

$A = - 1$

$B = 2$

ステップ 3.5

すべての解をまとめます。

$A = - 1, B = 2$

ステップ 4

$\frac{A}{x + 2} + \frac{B}{x + 4}$ の各部分分数の係数を $A$ と $B$ で求めた値で置き換えます。

$\frac{- 1}{x + 2} + \frac{2}{x + 4}$

微分積分学準備 例

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