微分積分学準備例

$y = 2^{x} - 3$

ステップ 1

変数を入れ替えます。

$x = 2^{y} - 3$

ステップ 2

$y$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

方程式を $2^{y} - 3 = x$ として書き換えます。

$2^{y} - 3 = x$

ステップ 2.2

方程式の両辺に $3$ を足します。

$2^{y} = x + 3$

ステップ 2.3

方程式の両辺の自然対数をとり、指数から変数を削除します。

$\ln (2^{y}) = \ln (x + 3)$

ステップ 2.4

$y$ を対数の外に移動させて、 $\ln (2^{y})$ を展開します。

$y \ln (2) = \ln (x + 3)$

ステップ 2.5

$y \ln (2) = \ln (x + 3)$ の各項を $\ln (2)$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.1

$y \ln (2) = \ln (x + 3)$ の各項を $\ln (2)$ で割ります。

$\frac{y \ln (2)}{\ln (2)} = \frac{\ln (x + 3)}{\ln (2)}$

ステップ 2.5.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.2.1

$\ln (2)$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{y \ln (2)}{\ln (2)} = \frac{\ln (x + 3)}{\ln (2)}$

ステップ 2.5.2.1.2

$y$ を $1$ で割ります。

$y = \frac{\ln (x + 3)}{\ln (2)}$

ステップ 3

$y$ を $f^{- 1} (x)$ で置き換え、最終回答を表示します。

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x + 3)}{\ln (2)}$

ステップ 4

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x + 3)}{\ln (2)}$ が $f (x) = 2^{x} - 3$ の逆か確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

逆を確認するために、 $f^{- 1} (f (x)) = x$ と $f (f^{- 1} (x)) = x$ か確認します。

ステップ 4.2

$f^{- 1} (f (x))$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1

合成結果関数を立てます。

$f^{- 1} (f (x))$

ステップ 4.2.2

$f^{- 1}$ に $f$ の値を代入し、 $f^{- 1} (2^{x} - 3)$ の値を求めます。

$f^{- 1} (2^{x} - 3) = \frac{\ln ((2^{x} - 3) + 3)}{\ln (2)}$

ステップ 4.2.3

$2^{x} - 3 + 3$ の反対側の項を組み合わせます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.3.1

$- 3$ と $3$ をたし算します。

$f^{- 1} (2^{x} - 3) = \frac{\ln (2^{x} + 0)}{\ln (2)}$

ステップ 4.2.3.2

$2^{x}$ と $0$ をたし算します。

$f^{- 1} (2^{x} - 3) = \frac{\ln (2^{x})}{\ln (2)}$

ステップ 4.2.4

$x$ を対数の外に移動させて、 $\ln (2^{x})$ を展開します。

$f^{- 1} (2^{x} - 3) = \frac{x \ln (2)}{\ln (2)}$

ステップ 4.2.5

$\ln (2)$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.5.1

共通因数を約分します。

$f^{- 1} (2^{x} - 3) = \frac{x \ln (2)}{\ln (2)}$

ステップ 4.2.5.2

$x$ を $1$ で割ります。

$f^{- 1} (2^{x} - 3) = x$

ステップ 4.3

$f (f^{- 1} (x))$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1

合成結果関数を立てます。

$f (f^{- 1} (x))$

ステップ 4.3.2

$f$ に $f^{- 1}$ の値を代入し、 $f (\frac{\ln (x + 3)}{\ln (2)})$ の値を求めます。

$f (\frac{\ln (x + 3)}{\ln (2)}) = 2^{\frac{\ln (x + 3)}{\ln (2)}} - 3$

ステップ 4.3.3

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.3.1

底の変換公式 $\frac{\log_{b} (x)}{\log_{b} (a)} = \log_{a} (x)$ を利用します。

$f (\frac{\ln (x + 3)}{\ln (2)}) = 2^{\log_{2} (x + 3)} - 3$

ステップ 4.3.3.2

指数関数と対数関数は逆関数です。

$f (\frac{\ln (x + 3)}{\ln (2)}) = x + 3 - 3$

ステップ 4.3.4

$x + 3 - 3$ の反対側の項を組み合わせます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.4.1

$3$ から $3$ を引きます。

$f (\frac{\ln (x + 3)}{\ln (2)}) = x + 0$

ステップ 4.3.4.2

$x$ と $0$ をたし算します。

$f (\frac{\ln (x + 3)}{\ln (2)}) = x$

ステップ 4.4

$f^{- 1} (f (x)) = x$ と $f (f^{- 1} (x)) = x$ なので、 $f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x + 3)}{\ln (2)}$ は $f (x) = 2^{x} - 3$ の逆です。

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x + 3)}{\ln (2)}$

微分積分学準備 例

微分積分学準備例