微分積分学準備例

$(x + 2) (x - 3) (x + 8) > 0$

ステップ 1

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x + 2 = 0$

$x - 3 = 0$

$x + 8 = 0$

ステップ 2

$x + 2$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 2.1

$x + 2$ が $0$ に等しいとします。

$x + 2 = 0$

ステップ 2.2

方程式の両辺から $2$ を引きます。

$x = - 2$

ステップ 3

$x - 3$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 3.1

$x - 3$ が $0$ に等しいとします。

$x - 3 = 0$

ステップ 3.2

方程式の両辺に $3$ を足します。

$x = 3$

ステップ 4

$x + 8$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 4.1

$x + 8$ が $0$ に等しいとします。

$x + 8 = 0$

ステップ 4.2

方程式の両辺から $8$ を引きます。

$x = - 8$

ステップ 5

最終解は $(x + 2) (x - 3) (x + 8) > 0$ を真にするすべての値です。

$x = - 2, 3, - 8$

ステップ 6

各根を利用して検定区間を作成します。

$x < - 8$

$- 8 < x < - 2$

$- 2 < x < 3$

$x > 3$

ステップ 7

各区間から試験値を選び、この値を元の不等式に代入して、どの区間が不等式を満たすか判定します。

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ステップ 7.1

区間 $x < - 8$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 7.1.1

区間 $x < - 8$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = - 10$

ステップ 7.1.2

$x$ を元の不等式の $- 10$ で置き換えます。

$((- 10) + 2) ((- 10) - 3) ((- 10) + 8) > 0$

ステップ 7.1.3

左辺 $- 208$ は右辺 $0$ より大きくありません。つまり、与えられた文は偽です。

偽

ステップ 7.2

区間 $- 8 < x < - 2$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 7.2.1

区間 $- 8 < x < - 2$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = - 5$

ステップ 7.2.2

$x$ を元の不等式の $- 5$ で置き換えます。

$((- 5) + 2) ((- 5) - 3) ((- 5) + 8) > 0$

ステップ 7.2.3

左辺 $72$ は右辺 $0$ より大きいです。つまり、与えられた文は常に真です。

真

ステップ 7.3

区間 $- 2 < x < 3$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 7.3.1

区間 $- 2 < x < 3$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 0$

ステップ 7.3.2

$x$ を元の不等式の $0$ で置き換えます。

$((0) + 2) ((0) - 3) ((0) + 8) > 0$

ステップ 7.3.3

左辺 $- 48$ は右辺 $0$ より大きくありません。つまり、与えられた文は偽です。

偽

ステップ 7.4

区間 $x > 3$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 7.4.1

区間 $x > 3$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 6$

ステップ 7.4.2

$x$ を元の不等式の $6$ で置き換えます。

$((6) + 2) ((6) - 3) ((6) + 8) > 0$

ステップ 7.4.3

左辺 $336$ は右辺 $0$ より大きいです。つまり、与えられた文は常に真です。

真

ステップ 7.5

区間を比較して、どちらが元の不等式を満たすか判定します。

$x < - 8$ 偽

$- 8 < x < - 2$ 真

$- 2 < x < 3$ 偽

$x > 3$ 真

$x < - 8$ 偽

$- 8 < x < - 2$ 真

$- 2 < x < 3$ 偽

$x > 3$ 真

ステップ 8

解はすべての真の区間からなります。

$- 8 < x < - 2$ または $x > 3$

ステップ 9

不等式を区間記号に変換します。

$(- 8, - 2) \cup (3, \infty)$

ステップ 10

微分積分学準備 例

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