微分積分学準備例

$\frac{(x + 11) (x - 9)}{x - 1} \geq 0$

ステップ 1

各因数を $0$ に等しくして解くことで、式が負から正に切り替わるすべての値を求めます。

$x + 11 = 0$

$x - 9 = 0$

$x - 1 = 0$

ステップ 2

方程式の両辺から $11$ を引きます。

$x = - 11$

ステップ 3

方程式の両辺に $9$ を足します。

$x = 9$

ステップ 4

方程式の両辺に $1$ を足します。

$x = 1$

ステップ 5

各因数について解き、絶対値式が負から正になる値を求めます。

$x = - 11$

$x = 9$

$x = 1$

ステップ 6

解をまとめます。

$x = - 11, 9, 1$

ステップ 7

$\frac{(x + 11) (x - 9)}{x - 1}$ の定義域を求めます。

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ステップ 7.1

$\frac{(x + 11) (x - 9)}{x - 1}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

$x - 1 = 0$

ステップ 7.2

方程式の両辺に $1$ を足します。

$x = 1$

ステップ 7.3

定義域は式が定義になる $x$ のすべての値です。

$(- \infty, 1) \cup (1, \infty)$

ステップ 8

各根を利用して検定区間を作成します。

$x < - 11$

$- 11 < x < 1$

$1 < x < 9$

$x > 9$

ステップ 9

各区間から試験値を選び、この値を元の不等式に代入して、どの区間が不等式を満たすか判定します。

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ステップ 9.1

区間 $x < - 11$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 9.1.1

区間 $x < - 11$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = - 14$

ステップ 9.1.2

$x$ を元の不等式の $- 14$ で置き換えます。

$\frac{((- 14) + 11) ((- 14) - 9)}{(- 14) - 1} \geq 0$

ステップ 9.1.3

左辺 $- 4.6$ は右辺 $0$ より小さいです。つまり、与えられた文は偽です。

偽

ステップ 9.2

区間 $- 11 < x < 1$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 9.2.1

区間 $- 11 < x < 1$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 0$

ステップ 9.2.2

$x$ を元の不等式の $0$ で置き換えます。

$\frac{((0) + 11) ((0) - 9)}{(0) - 1} \geq 0$

ステップ 9.2.3

左辺 $99$ は右辺 $0$ より大きいです。つまり、与えられた文は常に真です。

真

ステップ 9.3

区間 $1 < x < 9$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 9.3.1

区間 $1 < x < 9$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 5$

ステップ 9.3.2

$x$ を元の不等式の $5$ で置き換えます。

$\frac{((5) + 11) ((5) - 9)}{(5) - 1} \geq 0$

ステップ 9.3.3

左辺 $- 16$ は右辺 $0$ より小さいです。つまり、与えられた文は偽です。

偽

ステップ 9.4

区間 $x > 9$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 9.4.1

区間 $x > 9$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 12$

ステップ 9.4.2

$x$ を元の不等式の $12$ で置き換えます。

$\frac{((12) + 11) ((12) - 9)}{(12) - 1} \geq 0$

ステップ 9.4.3

左辺 $6.\overline{27}$ は右辺 $0$ より大きいです。つまり、与えられた文は常に真です。

真

ステップ 9.5

区間を比較して、どちらが元の不等式を満たすか判定します。

$x < - 11$ 偽

$- 11 < x < 1$ 真

$1 < x < 9$ 偽

$x > 9$ 真

$x < - 11$ 偽

$- 11 < x < 1$ 真

$1 < x < 9$ 偽

$x > 9$ 真

ステップ 10

解はすべての真の区間からなります。

$- 11 \leq x < 1$ または $x \geq 9$

ステップ 11

不等式を区間記号に変換します。

$[- 11, 1) \cup [9, \infty)$

ステップ 12

微分積分学準備 例

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